重大电磁场原理习题习题第2章

1、实用标准文案第二章习题答案2-2真空中有一长度为l 的细直线，均匀带电，电荷线密度为。试计算P 点的电场强度：（ 1） P 点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l 远处；（ 2） P 点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l 远处。解：（ 1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z 轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角无关，这样z 处取的元电荷dqd z ，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：dzdE40 R2 eR其两个分量：dEdEed z40 R2 cosdE zdEezd z2 sin40 R又R, z'tancos

2、所以：dz'sec2d式（ 3）分别代入式（1）（2）得：dEcosd；40E 2cosd04020ll 2又sin42式（ 5）代入式（ 4）得：（ 1）（ 2）（ 3）dE z'sin02l 2zd zl / 2RzPyd El / 2图 2-2 长直线电荷周围的电场sind40sin '（ 4）0（ 5）E 0l25025由于对称性，在z 方向Ez分量互相抵消，故有 Ez 0EE eEz ez25e0 l精彩文档实用标准文案（ 2）建立如图所示的坐标系在 x 处取元电荷 dqdx 则它在 P 点产生的电场强度为dEdxeRy0 R 24其在 x 方向的分量为：d

3、xPxdxoxdE xR0 R24又R l xdE xdxdx40 R 240 (l - x ) 2l / 2l/ 2dx1Ex0 (l - x ) 24l x30 ll / 2 40l / 2ExE x ex30 l ex2-4真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4 所示，试写出电位（ r ,) 和电场 E(r ,) 的表达式。解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：( p )12q1q24 0 r140r211又r1( r 2c 22rc cos) 2， r2(r 2d 22rd cos ) 2r1rcr erc cos erc siner

4、c coserc siner2rdr erd cos erd sinerd coserd sin e( p)12q1q240 r140 r2q1q21140 ( r 2c22rc cos ) 24 0 ( r 2c22rc cos) 2E( p)q1 r1q2 r24r34r 300 12r2r1题图 2-4精彩文档实用标准文案1q1 (rc cos)er csin eq2 (rd cos)er d sin e40332c 22rc cos ) 2(r 2d 22rd cos ) 2(r1q1 ( rc cos )q2 ( rd cos )er40332c22rc cos ) 2(r 2d 2

5、2rd cos ) 2(r1q1c sinq2 d sine4033c22rc cos ) 2(r 2c22rc cos ) 2(r 22-6半径为 b 的无限长圆柱中，有体密度为0 的电荷，与它偏轴地放有一半径为a 的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d，如图 2-6 所示，求空洞内的电场强度。yyyboxo0 ox0d(a)(b)( c)图 2-6解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满0 ，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满-，并单独作用，分别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为E 。第一步0单独作用，

6、如图（b）所示，由体密度为0 的电荷产生的电场强度为E1 ，由高斯定理D S q0E2l2ld 1110S1所以：E10e2 0精彩文档实用标准文案第二步0 单独作用产生的电场强度为E2 ，如图（ c）所示。D dS2 q20E2 2l02lS2E20e2 0第三步将0 和0 在空洞中产生的场进行叠加，即EE1E20eedex2 02 0注：dd exke r （ k 为常数）。2-7 半径为 a介电常数为的介质球内，已知极化强度P ( r )r试求：（ 1）极化电荷体密度p 和面密度 p；（ 2）自由电荷体密度；（ 3）介质球内、外的电场强度 E 。PkerkpPkk解： (1)prr 2，

7、enar r a（ 2）因为是均匀介质，有DEEPEp0 0因此DEP0DPkr 200(3)球内电场，Epker（ r < a） r00球外电场，由高斯定理：akk aD dS qdv4 r2 drD 4r 20 r 24Sv00精彩文档实用标准文案k aDk a（ r > aD0 r 2 er，E0 r 2 er）00qqpdVp dVp dSdV或VVsVE dSS0002-9 用双层电介质制成的同轴电缆如题图2-9 所示，介电常数140,220 内、外导体单位长度上所带电荷分别为和（ 1）求两种电介质中以及R1和R 3 处的电场强度与电通密度；（ 2）求两种电介质中的电极化

8、强度；（ 3）问何处有极化电荷，并求其密度。解：(1) 由高斯定理可得：0(R1 )De(R1R3 )2图 2-90(R 3 )0(R1)Dee(R1R 2 )电场强度，故E2 18 0Eee(R 2R 3 )2 24 00(R 3 )(2)由DEP，得两种电介质中的电极化强度为03e(R 1R 2 )8PD0 E4e(R 2R 3 )(3) 内、外导体圆柱表面上和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是：R1 处：3在pP ( e )8 R1在R3处：pP e4R3在R2处：:pP1 e P2 ( e )3R4R8R8 222精彩文档实用标准文案2-10有三块相互平行、面积均为S 的薄导体平

9、板， A、 B 板间的厚度为d 的空气层， B、C 板间则是厚度为 d 的两层介质，它们的介电常数分别为1和 1，如题2-10 所示。设 A、C 两板接地， B板的电荷为 Q，忽略边缘效应，试求：（ 1）板间三区域内的电场强度；ABQC（ 2）两介质交界面上的极化电荷面密度；en 2en1（ 3）A、 C 板各自的自由电荷面密度。解 (1)在 A、 C板间的三介质区域内，分别为均匀电场，在QE 0E1E 2为正电荷时各电场方向如图所示，从而有E0 dE1dE2d0120 E0s1 E1sQ1 E12 E2ddd从而解得题图 2-10E12Q及 E21Q及 E0( 02 )Qs( 0 1s( 0

10、 1s( 0 11 2 )0 21 2 )0 21 2 )0 2（ 2）在两介质分界面上p1 p2 pP1 en1P2 en2D10 E1D20 E2en10E2E1012 QS010212（ 3）在 A、 C 板上的电荷面密度分别为A0 E00 ( 12 )Q及 C2 E212 Qs( 0 11 2 )s( 0 11 2 )0 20 22-12如题图 2-12所示球形电容器中，对半地填充有介电常数分别为1 和2 两种均匀介质，两介质交界面是以球心为中心的圆环面。在内、外导体间施加电压U 时，试求：（ 1）电容器中的电位函数和电场强度；（ 2）内导体两部分表面上的自由电荷密度。解：（ 1）方法

11、一：设内导体带电荷为Q ，外导体带电荷Q ，选球坐标，应用高斯定律Dd s QS由媒质分界面条件可知，在两种介质中E1 E2, D1D2 ，所以D1 d sD2 d s1 E1 d s2 E2 d s12 E d s Q题图 2-12S1S2S1S2S1 211QQ1 2er（ 1）2 rEE2122r12精彩文档实用标准文案令外导体为参考导体，则电位函数为R2Ed lR2Qd rQ11（ 2）rR122 1r2222r1RUR2Ed lR2Qd rQ11R1R122r122 12R1R2QUR1 R22 12R2R1将上式带入（1）（ 2）得EUR1 R21er ，UR1R21 1R2 R1

12、 r 2R2R1r R2方法二：用静电场的边值问题求解，在均匀介质1 和介质 2 中，电位分别满足拉普拉斯方程，并且边界面条件相同，所以可判断两个区域的电位函数相同，有2rR1取球坐标系有0U ;rR2011122( r 2)(sin)0r 2r2sin 2rr 2 sinr2在两种介质中，都与、无关，所以21(r 2)0r 2rr上式的通解为c1c2r有边界条件解得：c1R1 R2UR2UR1R2c2 R2R1UR1 R211UR R1所以，E122 erR2R1r R2R Rr21(2) 两种介质中的电位移矢量分别为D11E1，D 22 E2根据分界面条件enD2D1对于本题，设媒质2 为

13、介质，媒质1 为导体，因此有D1 0，D2 en则内导体两部分表面上的自由电荷密度为精彩文档实用标准文案1 1E(R1)en1UR22UR2R2，22 E(R1) enR2 R1R12-16 在半径分别为a 和 b（ b>a）的同轴长圆柱形导体之间，充满密度为0 的空间电荷，且内、外筒形导体之间的电压为U，如题图2-16 所示。试用边值问题的方法求电荷区内的电位函数。解：圆柱形导体之间的电位满足泊松方程，对应的边值问题为20a U ;b0在圆柱形坐标中电位仅是的函数，因此泊松方程有如下形式：-210题图 2-16上式的通解为20c1 lnc24由给定的边界条件确定积分常数：0 (b 2a

14、 2 )U 0 (b 2a 2 )U ln bc140， c2400b2bb4 0lnalna0 (b2a 2 )0 (b 2a 2 )U ln bU024 04 00 b2所以：lnb4 040lnbalna2-18 两平行导体平板，相距为d，板的尺寸远大于d，一板的电位为零，另一板电位为V0 ，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即(x)0 x 。试求两板间的电位分布（注：x 0 处板的电位为零） 。解：两平行导体平板间的电位满足泊松方程，忽略边缘效应，在直角坐标系对应的边值问题为2x0x 0 0 ;x d U上式泊松方程转化为：U精彩文档(x)实用标准文案d 20 xd 2 x0其通

15、解0 x3C1xC26 0由给定的边界条件确定积分常数：C20，C1U 00 d 2d6 0所以：U 0 x0(d 2x 2 ) xd6 0上式第一项为电源对电位函数的贡献，第二项为电荷( x) 的贡献。2-19在无限大接地导体平面两侧各有一点电荷q1 和 q2 ，与导体平面的距离为 d，求空间电位的分布。解：因为是无限大接地导体，所以，当q1 单独作用时，接地导体对q2 相当于屏蔽作用，当q2 单独作用时，接地导体对q1 相当于屏蔽作用，所以：q1 单独作用时产生的电位在q1 所在侧，设r1 和 r2 分别为 q1 和 q1 的镜像到 p 的距离，由镜像法得：1q1q1q1110r14 0

16、r24()40 r1r 2q2 单独作用时产生的电位在q2 所在侧，设 r3 和 r4 分别为 q2 和 q2 的镜像到 p 的距离，由镜像法得：2q2q2q2 ( 11 )40r34 0 r440 r3r42-27 若将某对称的三芯电缆中三个导体相连，测得导体与铅皮间的电容为0.051 F ，若将电缆中的两导体与铅皮相连，它们与另一导体间的电容为0.037F ，求：（ 1）电缆的各部分电容；（ 2）每一相的工作电容；（ 3）若在导体 1、 2 之间加直流电压 100V，求导体每单位长度的电荷量。解：三芯电缆的结构及各部分电容如图（a）所示（ 1）对应于两次测量的等值电容电路分别如图（b）和图（ c）所示：由图（ b）得：3C00.051F ， C00.017F由图（ c）得：精彩文档实用标准文案C0C1 C10.03