高考数学指导：点击线性规划问题中地全参数

1、实用文案高考数学指导：点击线性规划问题中的参数一、目标函数中的参数1.目标函数中y 的系数为参数例 1 已知平面区域D 由以 A(1,3), B(5,2), C(3,1) 为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D上有无穷多个点( x, y) 可使目标函数z x my取得最小值，则mA2B1C1D4解： 依题意，令z 0，可得直线x my 0 的斜率为1 ，结合可行域可知当直线x mym0 与直线 AC平行时，线段AC上的任意一点都可使目标函数z xmy 取得最小值，而直线 AC的斜率为 1，所以 m1，选 C点评：首先应根据图形特征确定最优解怎样才是无穷个，其次考虑最小值可能在何处取道。2.

2、目标函数中x 的系数为参数例 2 已知变量x, y 满足约束条件1x+y 4,-2 x-y 2. 若目标函数在点 (3,1) 处取得最大值，则a 的取值范围为 _.解析： 变量 x, y 满足约束条件1xy4, 2xy2.在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中 A(3 ，1) ，k AD 1,kAB1，目标函数 z axy （其中 a0 ）中的Cz 表示斜率为 a 的直线系中的截距的大小， 若仅在点 3,1O处取得最大值，则斜率应小于 kAB1，即 a1，所以-1-2a 的取值范围为 (1 ， + ) 。点评：根据图形特征要确定怎样才能保证仅在点(3,1) 出去的最大值。3 目标函数

3、中的x 、 y 的系数均含参数z=ax+y( 其中 a0) 仅y43B21Ax1234Dx3 y40例 3 已知约束条件 x2 y10 且目标函数 za2 x (a 2 a2 ) y 取得最小值的最优解3xy80只有 (2, 2) ，则 a 的取值范围是（）分析：根据条件可作出可行域，根据图形确定最小值在何处取到，且最优解唯一。解析： 目标函数 za2 x (a 2 a2 ) y 的斜率a220 ，由题意知使目标函数取得最a2a小值的最优解只有一个，为 (2,2)，故有 0a2a2kAB1，代入解得：a23标准实用文案117117a，即为 a 的范围。44YB(-1,1)A(2,2)OXC(3

4、,-1)点评：最优解只有一个，意味着目标函数所对应的斜率介于两条线的斜率之间。x2y30练习 1：已知变量x ， y 满足约束条件x3y30 。若目标函数zaxy（其中 a0 ）y10仅在点 (3,0) 处取得最大值，则a 的取值范围为。答案： a12二、约束条件中的参数x0y0下，当 3 x5 时，例 6 在约束条件x syy2x4目标函数 z3x 2 y 的最大值的变化范围是A. 6,15B.7,15C.6,8D.7,8yyc(0,5)C'(0,4)s=5C(0,4)C'(0,3)B(1,2)A(2,0)xs=3A(2,0)x图2图 1标准实用文案解析： 由xysx4 s交

5、点为 A(0,2), B(4s,2s 4), C (0, s), C (0,4) ，其y2x4y2s4可行域如图（1）当 3s4 时可行域是四边形OABC，此时， 7z8（2）当 4s5 时可行域是 OAC此时， zmax 8，故选 D.点评：本题只要抓住考虑参数对可行域的影响，从而进行分类讨论x y 5 ，练习 2：若不等式组y a，表示的平面区域是一个三角形， 则 a 的取值范围是 （）0 x 2 a 5 a 7 5 a 7 a 5或 a 7答案： C一个猜想的证明猜想：用线性规划知识易得当M 1( x1 , y1), M 2 ( x2 , y2 ) 在直线 l : AxByC 0的两侧时

6、， 有 ( Ax1 By1C)( Ax2By2C)0 ，类比猜想： 直线 l1 : AxByC10 和直线l 2 : Ax By C20 是两条平行直线，点 M (x0 , y0 ) 是夹在这两条平行直线之间的任一点，则有 (Ax0By0C1 )( Ax0By0 C2 ) 0。现证明如下：不妨设 C1C2 ，点 M (x0 , y0 ) 到直线 l1 : AxByC10和直线 l2 : Ax By C20的距离分别是 d1Ax0By0C1 和 d1Ax0By0C2 ；由于点 M ( x0 , y0 ) 不在直线 l1A2B2A2B2和 l2 上，故 Ax0By0C10; Ax0By0C20 （

7、）。而两条平行直线l1 和 l 2 之间的距离 dC1C2C1C2是 个 常 数 ， 由 题 意 知 ： d dd ， 代 入 得 ：A2B2A2B212Ax0By0C1Ax0By0C1C1C2C1C2，化简得：A2B2A2B2A2B2A2B2Ax0By0C1Ax0By0C1C1 C2 ，若 ( Ax0By0C1 )( Ax0By0C2) 0，则Ax0By0C1Ax0By0C12( Ax0By0 ) C1C2C1 C2标准实用文案Ax0By0C20 （由（）知矛盾）或Ax0By0C1Ax0By0C12( Ax0By0 )(C1C2 )C1C2Ax0By0C10（由（）知矛盾），故 ( Ax0B

8、y0C1)( Ax0By0C2 )0 。参考文献：1甘志国争鸣 134数学通讯， 2007 （7）一个常见图形的反例功能在立体几何教材的例题或习题中，我们发现一些图形经常出现；若能对它进行挖掘，充分利用，则起到妙不可言的效果。下面就举一个图形并说明它的作用。一、常见图形如图 1：四边形 ABCD 为正方形，PA面 ABCD 。PADBC图 1二、功能作用我们利用此图可以巧妙的解决立体几何中师生经常出现错误的四个问题四个顽症。顽症 1如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形为矩形分析：这是一个学生很容易出错的地方，看图1，则很容易判断：在四边形PBCD中，B,C , D 均为直角，而P 并非直角

9、，则上述结论是错误的，从而如果一个四边形有三个角是直角，则此四边形不一定为矩形顽症 2如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角互补或相等。分析： 由“一个角的两边和另外一个角的两边分别对应平行，则这两个角互补或相等” 这个定理进行类比，则很多同学认为正确。真的这样吗？请看图形1：BCD 和BPD ，满足CBPB，CDPD ，即两边分别垂直，但是BCD 为直角，而BPD 不是直角，而且随着点 P 的运动而变化。因此这两个角并不满足相等或互补。故如果一个角的两边和另外一个角的两边分别垂直，则这两个角不一定互补或相等。顽症 3如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别垂

10、直，则这两个标准实用文案二面角的大小相等或互补分析： 由“如果一个二面角的两个半平面和另外一个二面角的两个半平面分别平行， 则这两个二面角的大小相等或互补” 这个结论类比， 很多师生往往认为正确。 其实不然。 请看图 2：二面角 BPCD 和二面角 BPAD ，满足 面 PBC面PBA ， 面PCD面 PAD ；二面角 BPAD 的大小为直角， 作 BHPC ，垂足为 H，连接 HD，则不难说明DHPC ，则 BHD 为 B PC D 的平面角，由于 BH<BC,DH<DC ， BCD 为直角三角形；故BHD 为钝角。从而这两个二面角并不互补或相等。所以，如果一个二面角的两个半平面

11、和另外一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小不一定相等或互补pHAD图 2BC顽症 4如果 PA面 ， E， F，则 EAF > EPF分析：利用图 3 直观判断师生很容易得出上述结论成立。其实不然。请看图4P图 3AFE在 CD（把点 D 看成 E）上取一点 M，使得 DAM15 0 ，在取点 N（可看成点F），可尽量靠近点 A，这样 NPD 接近APD ，大约接近 450，这样NPDDANDAM ，即有 EAF < EPF ，则顽症4 是错误的， 从而如果 PA面， E， F，则 EAF标准实用文案与 EPF 的大小不定。PAD(E)N(F)M图 4BC联系地址：

12、山东新泰第一中学新校南区高三数学组271200徐加华有关直线与圆解题时的常见失误例析直线与圆是解析几何中的基本内容，高考对此部分的考查大都以基本题目为主，但在解题时同学们由于各种原因可能导致解题出现错误。 下面就列举几种常见的情形， 供同学们参考。一、求直线方程时1 忽视直线的倾斜角的范围例 1 求过点 (1,2) 且倾斜角的正弦为4 的直线方程。5错解：由 sin43tan44x 3y 2 0 。5cos，故所求直线方程为54334分析：倾斜角的范围为0. ) ，故 sincos5tan，从而所求直线4 ( x53方程为 y 21) 。32 混淆截距和长度的区别例 2求通过点 (2,2) ，

13、且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程。标准实用文案221a2xy1ab错解：由题意设，由已知得得1 ab，故所求直线方程为ab1b12x 2 y 2 0。分析：本题处理时没有区分好截距和长度的概念。截距是有正负的，而距离不能为负。正22a1a2a1解：b得x 2 y 2 0或 2x y 2 01 a b 1或，所求直线方程为b1b223 忽视斜率不存在的情况例 3求过点 (0,7) ，向圆 x2y 26x6y 9 0 所作的切线方程。错解：设切线方程为：ykx7 ，带入圆的方程得 ( k21)x2(8k6) x160 ，整理得：4(24 k7)0k7，从而方程为 y7x 7 。2424分

14、析：过圆外一点作圆的切线应该有两条，显然漏解了， 事实上忽略了斜率不存在的情况，应补上： x04 对两直线的位置关系考虑不全面例4求过点 P(1,2)且与点 A(2,3), B(4, 5) 距离相等的直线方程。错解：过点P(1,2) 作与直线 AB 平行的直线符合题意。易得直线方程4xy60分析：事 实上过 点 P(1,2)与线段AB 的 中点 的直线 也符合题意，应 加上此 条直 线3x2y705忽视点的位置例 5求过点 (1,1)作圆 x2y21的切线方程错解：利用结论：过圆x2y2r 2 上一点 ( x0 , y0 ) 的切线方程为：xx0yy0r 2 。则有：x 1 y11，即： x

15、y1.分析：忽视了结论中的一个条件：点(x0 , y0 ) 必须在圆 x2y 2r 2 上。而此题点(1,1) 并不在圆22xy上，而在圆外；切线应有两条。正确答案：x1 和y1。1二求参数时1 忽视隐含条件导致标准实用文案例 6已知圆 x2y2kx2 yk20 和定点 P(1, 1) ，若过点 P 作圆的切线有两条，则k 的取值范围（）Ak0 或 k1BC2323k3D3023k32323k1或 0 k33错解：由题意知点 P(1, 1) 必须在圆的外部， 则 12(1)2k 12( 1)k 20k0或 k1 ，从而选 A。分析：忽视了一个隐含条件：必须保证方程x2y2kx2 yk 20 表示一个圆，而上述在解题时忽视了，因此不对；正解：由题意知点 P(1,1)必须在圆的外部，则12(1)2k 1 2 ( 1)k20 k0 或 k1，由方程 x2y2kx2yk 20表 示 一 个 圆 ， 得 k2224k 20，解得2 3k2 3，从而得出3323k23，选 D。31或 0 k32 忽视变量范围例 7已知圆222y2 y0xyx的取值范围。，试求错解：由题意得：x2yy2y( y1) 21(, 1 。244分析：忽视了题目中x, y 的范围。由 x2y 22y0得 x2y22 y 02 y 0 。易得 x2yy2y