全国名校高考专题训练08圆锥曲线

1、全国名校高考专题训练08圆锥曲线三、解答题(第二部分)26、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： 2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为： 3分由，有： 设，弦AB的中点，由及韦达定理有： 所以，即为所求。 5分(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，

2、对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。 7分又点在椭圆C上，所以有整理为。 由有：。所以 又AB在椭圆上，故有 将，代入可得：。 11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（R）使等式：cossin成立。27、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线的距离小1。 （1）求曲线C的方程； （2）过点 当的方程；当AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值。

3、（1）解法一：设，1分即当；3分当4分化简得不合故点M的轨迹C的方程是5分 （1）解法二：的距离小于1，点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等3分所以曲线C的方程为5分 （2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入 （）6分与曲线C恒有两个不同的交点设交点A，B的坐标分别为，则7分由，9分点O到直线m的距离，10分，（舍去）12分当方程（）的解为若若13分当方程（）的解为若若14分 所以，28、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为的直线过椭圆C：1(ab0)的焦点以及点(0，)，椭圆C的中心关于直线

4、的对称点在椭圆C的右准线上。求椭圆C的方程。过点E(-2，0）的直线交椭圆C于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。解：直线，过原点垂直于的直线方程为解得，椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上， （2分）直线过椭圆焦点，该焦点坐标为(2，0)，故椭圆C的方程为 （4分）当直线的斜率存在时，设 ，代入并整理得，设，则（5分），（7分） 点到直线的距离. ，即， 又由 得 ，（9分）而，即， 解得，此时 （11分）当直线的斜率不存在时，也有，经检验，上述直线均满足，故直线的方程为 29、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知，点满足，记点的轨迹为.（）求轨迹的方

5、程；（）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.解：（）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（3分）（）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、， 解得 （5分）（i） （7分） 假设存在实数，使得， 故得对任意的恒成立， ，解得 当时，. 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立， 综上，存在，使得. （8分） （ii），直线是双曲线的右准线，（9分） 由双曲线定义得：， 方法一： （

6、10分） ，（11分） 注意到直线的斜率不存在时，综上， （12分） 方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，过作，垂足为，则， （10分） 由，得故： 30、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知双曲线的离心率e2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点 （）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；（）在（）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程 解：（）双曲线方程为 ，双曲线方程为 ，又曲线C过点Q（2，），双曲线方程为 5分（），M、B2、N三点共线 , （1）当直线垂直x轴时，不合题意 （2）当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，3），可设直线的

7、方程为，直线的方程为 由，知 代入双曲线方程得，得，解得 , ，故直线的方程为 31、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知椭圆C：的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设 （）证明：； （）若的周长为6；写出椭圆C的方程. 解：（）证法一：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是 2分由 4分所以点M的坐标是即 6分证法二：因为A、B分别是直线轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是 2分设M的坐标是 4分因为点M在椭圆上，所以 即 6分（）当的周长为6，得所以32、（

8、广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，（）求定点N的坐标；（）是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为； 被圆N截得的弦长为解：（1）因为抛物线的准线的方程为所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点， -2分所以定点N的坐标为 -3分（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在， -4分设的方程为， -5分以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为， -6分方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1， -7分即，解得，

9、-8分当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！ -9分当时，的方程为 -10分由，解得点A坐标为， -11分由，解得点B坐标为， -12分显然AB中点不是，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法2：由，解得点A坐标为， -7分由，解得点B坐标为， -8分因为AB中点为，所以，解得， -10分所以的方程为，圆心N到直线的距离， -11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线 -14分方法3：假设A点的坐标为，因为AB中点为，所以B点的坐标为， -8分又点B 在直线上，所以， -9分所以A点的坐标为，直线的斜率为4，所以的方程为

10、， -10分圆心N到直线的距离， -11分因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -13分所以不存在满足条件的直线33、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意 2分若直线不垂直于轴，设其方程为，即 3分设圆心到此直线的距离为，则，得， 故所求直线方程为 5分综上所述，所求直线为或 6分（）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是

11、 7分， 即， 9分又， 10分由已知，直线m ox轴，所以， 11分点的轨迹方程是， 12分轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。34、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)设动点到定点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为曲线.（1）求点的轨迹方程；（2）设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线2分 曲线方程是4分（2）设圆的圆心为，圆过，圆的方程为7分令得：设圆与轴的两交点分别为，方法1：不妨设，由求根公式得，10分又点在抛物线上，即4-1

12、3分当运动时，弦长为定值414分方法2：，又点在抛物线上， 当运动时，弦长为定值435、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点. （1）证明：； （2）若的面积取得最大值时的椭圆方程（1）证明：由 得将代入消去得 3分由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得，即 5分 （2）解：设由，得而点, 得代入上式，得 8分于是，OAB的面积 -11分其中，上式取等号的条件是即 12分由可得将及这两组值分别代入，均可解出OAB的面积取得最大值的椭圆方程是36、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟考试)如图，已知椭圆的中心在原点，

13、焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程为（2）直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又KOM=5分由6分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可9分设10分则由10分而故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.14分37、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴

14、正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（4，0）. （1）求证：当时.，； （2）若当时有，求椭圆C的方程； （3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.解：（1）设，则，当时，由M，N两点在椭圆上，若，则（舍去）， （4分） 。（5分） （2）当时，不妨设 （6分）又， （8分）椭圆C的方程为。 （9分） （3）因为=6, （10分）由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= （11分）当MNx轴时, |yM-yN|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, （12分）不妨设直线MN的方程为联立，得，=, 解得k=

15、±1。此时，直线的MN方程为，或。 （14分）38、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .()求动点的轨迹的方程；() 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为求证：直线必过定点解：()依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线.2分是点到直线的距离点在线段的垂直平分线，4分故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为： .7分() 设，直线AB的方程为.8分则（1）（2）得，即，9分代入方程，解得所以点的坐标为10分同理可得：的坐标为 直线的斜

16、率为，方程为，整理得，12分显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点1439、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为（）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围解：（）依题意，有（），化简得（），这就是动点的轨迹的方程；（）依题意，可设、，则有，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为（）设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，-) （1）求双曲线方程； （2

17、）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）求F1MF2的面积.解：（1） 离心率e=设所求双曲线方程为x2-y2=(0)则由点(4，-)在双曲线上知=42-(-)2=6双曲线方程为x2-y2=6（2）若点M(3,m)在双曲线上 则32-m2=6 m2=3 由双曲线x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0) ,故点M在以F1F2为直径的双曲线上.（3）=×2C×|M|=C|M|=2×=641、(广东省五校2008年高三上期末联考)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l

18、与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围解：（1）设C：1（a>b>0），设c>0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc，故C的方程为：y21 4分（2）由得（），（1），14，3 6分设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 9分3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 11分m2时，上式不成立；m2时，k2，因3

19、k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易验证k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 14分42、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M. (1)求抛物线方程； (2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标。解：(1)抛物线y2=2px的准线为x= -，于是4+=5，p=2. 抛物线方程为y2=4x6分 (2)点A是坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4

20、)，M(0，2)， 又F(1，0)，kFA=；MNFA，kMN=-， 则FA的方程为y=(x-1)，MN的方程为y-2= -x， y=(x-1) x=解方程组 ，得 y-2= -x y= N的坐标(，).12分43、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设过的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围解：（1）设，2分过定点，以方向向量的直线方程为：过定点，以方向向量的直线方程为：联立消去得：求点P的轨迹C的方程为6分（2）当过的直线与轴垂直时，与曲线无交点，不合题意，设直线

21、的方程为：，与曲线交于由 ，的取值范围是44、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知曲线的方程为： （1）若曲线是椭圆，求的取值范围； （2）若曲线是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为，求此双曲线的方程.解：（1）当 它表示椭圆的充要条件是 （2）方程表示双曲线的充要条件是： 当其一条渐近线斜率为：此时双曲线的方程为： 当，双曲线焦点在y轴上：其一条渐近线斜率为：综上可得双曲线方程为：45、(河北衡水中学2008年第四次调考)如图所示，已知圆，定点A（3,0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，点N的轨迹为曲线E。 （1）求曲线E的方程； （2）求过点Q（2,1）的弦的中点

22、的轨迹方程。解：（1） 为的中垂线， 2分又因为，所以所以动点的轨迹是以点和为焦点的椭圆，且 4分所以曲线的方程为：； 6分（2）设直线与椭圆交与两点，中点为由点差法可得：弦的斜率8分由，Q（2,1）两点可得弦的斜率为，10分所以，化简可得中点的轨迹方程为： 12分46、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且. （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：（1）设P的坐

23、标为，由得（2分） （4分）化简得 P点在双曲线上，其方程为（6分） （2）设A、B点的坐标分别为、，由 得（7分），（8分）AB与双曲线交于两点，>0，即解得（9分）若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即，（10分）解得，故满足题意的k值存在，且k值为.47、(河北省正定中学高2008届一模)已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；（3）设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上，且满足，求的取值范围.解：（本小题满分12分）解：（1）， 直线l：xy+2=0与圆x2+y2=b2相切，=b，b=，b2=2，a3=3.椭圆C1的方程是.(3分)（2）MPMF，动点M到定直线l1：x1的距离等于它的定点F2（1，0）的距离，动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线， 点M的轨迹C2的方程为。.(7分)（3）Q（0，0），设， 由得