圆锥曲线中的最值与定值问题0000

1、圆锥曲线中常见最值问题方法一、定义转化法根据圆锥曲线的定义,把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等。例1已知定点(3,2M ,F 是抛物线22y x =的焦点,在此抛物线上求一点P ,使P M P F+取得最小值,求点P 的坐标。变式训练1:已知椭圆22+=1167x y ,定点(1,2G ,M 为椭圆上动点,B 为右焦点,求43MG MB +的最小值。变式训练2:已知双曲线1322=-y x ,有一点2,3(Q ,2F 为右焦点,双曲线上一点M ,使得221MF MP +的值最小,求M 的坐标方法二、参数法根据曲线方程的特点,用适当的参数表示曲线上点的坐标,把所求的最值归结

2、为求解关于这个参数的函数的最值的方法。例2.在平面直角坐标系中,(,P x y 是椭圆2213x y +=上动点,求t x y =+的最大值变式训练、椭圆22221x y a b+=的切线 与两坐标轴分别交于A,B 两点 , 求三角形OAB 的最小面积 。分析;写出椭圆参数方程cos sin a xb y =,设切点为(cos ,sin P a a ,可得切线方程。解: 设切点为(cos ,sin P a a , 则切线方程为cos sin 1x y a b+=. 令y=0, 得切线与x 轴交点(,0cos a A ;令x=0,得切线与y 轴交点B(0,sin b 1|2AOB S OA OB

3、 =|.2sin cos sin 2ab abab = min .S ab =点悟 利用圆锥曲线参数方程转化为求三角函数的最值问题,再利用三角函数的有界性得出结果。方法三:函数法把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数,通过研究这个函数求最值,是求各类最值较为普遍的方法。例3.求点30,2P 到椭圆2214x y +=上点的最大距离,并求此时椭圆上点的坐标。变式训练:已知双曲线22:1C x y -=,P 为C 上任意一点,点(3,0A ,则PA 的最小值为_。方法四、切线法当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值是,可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线,则两平行线间的距离就是所求

4、的最值,切点就是曲线上取得最值是的点。212x y +=上的点到直线y x =+ 并求取得最值时椭圆上点的坐标。变式训练:动点P 在抛物线上2y x =,则点P 到直线4y x =+的距离最小值为_,此时点P 的坐标为_。(一:四道题。四种题型。1:已知椭圆C :1162522=+y x 内有一点A (2,1,F 是椭圆C 的左焦点,P 为椭圆C 上的动点,求|PA |+35|PF |的最小值。2: 已知椭圆1162522=+y x 内有一点A (2,1,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求|PA |+|PF |的最大值与最小值。3:已知椭圆1162522=+y x 外一点A (5,6,l

5、 为椭圆的左准线,P 为椭圆上动点,点P 到l 的距离为d ,求|PA |+d 53的最小值。4、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。分析:(1可直接利用抛物线设点,如设A(x 1,x 12,B(x 2,X 22,又设AB 中点为M(x 0y 0用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。(2M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x 1,x 12,B(x 2,x 22,AB 中点M(x 0,y 0则=+=+=-+-022210212222122

6、1229(y x x x x x x x x x 由得(x 1-x 221+(x 1+x 22=9 即(x 1+x 22-4x 1x 2·1+(x 1+x 22=9 由、得2x 1x 2=(2x 02-2y 0=4x 02-2y 0 代入得 (2x 02-(8x 02-4y 0·1+(2x 02=92020041944x x y +=-, 114914(4944202020200-+=+=x x x x y ,5192=- 450y 当4x 02+1=3 即 220±=x 时,45(min 0=y 此时45,22(±M法二:如图,32222=+=+=AB

7、 BF AF BB AA MM232 MM , 即451MM , 当M 到x 点评:线,转化为A 、B 不能直接得出。 5,定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M(1求点M到y轴的最短距离(2求点M到y轴的最短距离时点M的坐标 求点M到y轴的最短距离,根据抛物线的定义,转化为到准线的最短距离。如图,MJ+JK=MK= = AB,当弦AB过焦点F时,取等号,故此时M到y轴的距离最短,MJ最短距离是:3-JK=3-=。M到y轴的最短距离。由AG=+,BH=+,且AG+BH=AB=3,求得+=,所以AB的中点横坐标是。再根据A B的长为3就可以求出中点的纵坐标了。

8、圆锥曲线中的定值问题【名师导航】圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值. 【热点难点精析】在圆锥曲线中,某些几何量在特定的关系结构中,不受相关变元的制约而恒定不变,则称该变量具有定值特征.解答此类问题的基本策略有以下两种:1、把相关几何量的变元特殊化,在特例中求出几何量的定值,再证明结论与特定状态无关.2、把相关几何量用曲线系

9、里的参变量表示,再证明结论与求参数无关.1:过抛物线m :2y ax =(a >0的焦点F 作直线l 交抛物线于,P Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别为,p q ,则11p q -+的值必等于( . A .2a B .12a C .4a D .4a解法1:(特殊值法令直线l 与x 轴垂直,则有l :14y a =12p q a=,所以有114p q a -+= 解法2:(参数法如图1,设11(,P x y ,22(,Q x y 且PM ,QN 分别垂直于准线于,M N .114p PM y a =+,214q QN y a=+ 抛物线2y ax =(a >0的焦点1(0,4F

10、 a ,准线1y =-. l :14y kx a =+ 又由l m ,消去x 得222168(1210a y a k y -+= 212122121,216k y y y y a a+=, 21212221111,(4164k k p q pq y y y y a a a a +=+= 114p q a -+=.2、若AB 是过椭圆中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且AM ,BM 与坐标轴不平 行,分别表示直线AM ,BM 的斜率,则=( A. B. C. D. 【答案】B以.故选B .3、已知F 1、F 2是两个定点,点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,并且PF 1

11、PF 2,e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有 A.+=4B.+=2C.e 12+e 22=4D.e 12+e 22=2【答案】B 设椭圆长轴长为2a 1,双曲线实轴长为2a 2,焦距均为2c,图1 |PF2|=a1+a2,|PF1|=a1-a2.PF1与PF2垂直,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(a1+a22+(a1-a22=4c2,2a12+2a22=4c2.+=2.3、如图2所示,F为双曲线C:=1的左焦点,双曲线C上的点P i与P7-i(i=1,2,3关于y轴对称,则|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|的值是 图2【答案】C

12、 取双曲线右焦点记为F2, P3与P4关于y轴对称,|P4F|=|P3F2|.|P3F|-|P4F|=|P3F|-|P3F2|=2a=6.同理,|P2F|-|P5F|=|P1F|-|P6F|=6.|P1F|+|P2F|+|P3F|-|P4F|-|P5F|-|P6F|=18.4、双曲线-y2=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点恰在双曲线的一条准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则·等于【答案】答案:C解析:由题意知2=c得c2=2a2,又c2=a2+ b2= a2+1,a2=1.双曲线为x2-y2=1.设P(x0,y0,则Q(x0,-y0. 故=(x0,y0,=(x0

13、,-y0,·=x02-y02=1.5、过点M(p,0任作一条直线交抛物线y2=2px(p>0于P、Q两点,则+的值为 A. B. C. D.【答案】答案:D 【解析】不妨取PQx轴,则P(p,p,Q(p,-p,|MP|=p,|MQ|=p. +=.6、已知抛物线y2=2px(p>0的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,A,B在抛物线准线上的射影分别是A1,B1,点M是A1B1的中点,若|AF|=m,|BF|=n,则|MF|= ( A.m+nB.C.【答案】答案:C【解析】本题考查抛物线的定义及性质和图像等知识.如图, 连接A l F、B l F,由抛物线的定义,有

14、AA l=AF,BB l=BF,则有AA1F=AFA1,BB1F=BFB1,容易证明A l FB1=90°.在直角梯形AA1B1B中,构造直角三角形可解得 |A1B1|=7、经过抛物线y2=2px(p>0的焦点作一条直线与该抛物线交于A(x1,y1、B(x2,y2两点,则y1·y2的值为( 【答案】D【解析】本题考查直线与抛物线的交点个数问题,注意将交点坐标转化为方程的根来讨论.已知抛物线y2=2px(p >0的焦点坐标为(,0,设过焦点的直线方程为:y=k(x-,则有,代入抛物线方程有: y2=2P(即y1·y2=-p2.8、椭圆=1(a>b>0上两点A、B与中心O的连线互相垂直,则的值为( A. B. C. D.【答案】D解析:假设A、B为椭圆的长轴和短轴的顶点,则=.排除选项A、B、C,选D.9、过点M(-2,0的直线l与椭圆x2+2y2=2交于P1、P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10,直线OP的斜率为k2,则k1·k2的值为(C. 【答案】【解析】设P1(x1,y1、P2(x2,y2,中点P(x0,y0,则k1=,k2=.将P1、P2两点坐标代入椭圆方程x2+2y2=2,相减得=-. k1·k2=·=-.答案:D10、已知点P是双曲线(a>0,b>