(完整版)《复变函数》考试试题与答案(十二)

1、复变函数考试试题（十二）一、判断题。（正确者在括号内打，错误者在括号内打×，每题2 分）1设复数z1x1iy1 及 z2x2iy 2 ，若 x1x2 或 y1y2 ，则称 z1 与 z2 是相等的复数。（）2函数 f ( z)Re z 在复平面上处处可微。（）3 sin 2 zcos2 z1且 sin z1,cos z1 。（）4f ( z)是有界区域D内的非常数的解析函数，且在闭域 D DD 上连续， 则存设函数在 M0 ，使得对任意的zD ，有 f ( z)M 。（）5若函数f (z) 是非常的整函数，则f ( z) 必是有界函数。 （）二、填空题。（每题 2 分）1 i 2i3

2、 i4 i 5i 6_ 。2 设 zxiy0 ， 且arg z,2arctan y， 当 x0, y0 时 ，arctan yx2arg_ 。x3若已知 f ( z)x(11)iy (11)，则其关于变量 z 的表达式为 _ 。xy 2y22x2 nz以z_为支点。4若ln zi，则 z_。526dz_ 。zz 17级数 1z2z4z6L的收敛半径为 _ 。 cosnz在zn（ n 为正整数）内零点的个数为_。89若 za 为函数 f (z) 的一个本质奇点，且在点a 的充分小的邻域内不为零，则z a 是1的 _ 奇点。f (z)设 a 为函数f ( z)的 n 阶极点，则Re sf (z)_

3、。10f (z)z a三、计算题（50 分）1设区域D 是沿正实轴割开的z 平面，求函数w5z 在 D 内满足条件511 的单值连续解析分支在z1i 处之值。（ 10 分）2求下列函数的奇点，并确定其类型 （对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15 分）（1） f (z)L n z 的各解析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（10 分）z2 1（2）求 Re sezzn 1 。 （5 分）z 03计算下列积分。 （15 分）（ 1）z7dz（8 分），1)3 ( z2z 2 ( z22)（ 2）x2 dx(a 0)（7分）。( x2a2 )24叙述儒歇定理并讨论方程z66z1

4、0 0 在 z1 内根的个数。（ 10 分）四、证明题（20 分）1讨论函数 f (z)ez 在复平面上的解析性。（10 分）2证明：1znezd( zn )2 。2 iC n! nn!此处 C 是围绕原点的一条简单曲线。（ 10 分）复变函数考试试题（十二）参考答案一、判断题 .1.×2. ×3.×4.5.×二、填空题 .1.12.()3.f ( z)14. 0,zz5.i6.27.18.2n219.本性10.三、计算题 .1arg z2ki1.解： wkz 5 e5k0,1,2,3,4由 511 得 1 e2ki25从而有 k1441331iw2 (

5、1i)210ei5210 (cosi sin)54442.解：（ 1） f (z)Lnz的各解析分支为f k ( z)ln z2k， (k0, 1,L ).z21z21z1为 f0 ( z) 的可去奇点，为fk ( z) 的一阶极点(k0,1,L) 。Re s( f0 ( z),1)0Re s( fk ( z),1)ki.(k1,2,L )（2） ResezRes1zn1zn 1zn1n!n!z 0z 0n 03.计算下列积分解：（ 1） f ( z)z71( z21)3 ( z22)132z(1(1z2 )2 )zRe s( f , )C 11f ( z)dz2iRe s( f ,)2iz

6、2（2）设 f ( z)z2z222 222( za )(z ai ) ( z ai )令 ( z)z2，( z)2aiz(z ai )2( zai )3则 Re s( f ,ai )( ai )2( ai 2 )1 i1!(2ai )34aIm z 0f ( z)dz2i Res( f , ai)2ax2 dx( x2a2 ) 22a4.儒歇定理：设c是一条围线，f ( z) 及( z)满足条件：（ 1）它们在c 的内部均解析，且连续到c；（ 2）在c 上，f (z)( z)则 f与f在 c 的内部有同样多零点，即 f (z)10g( z)z66z有f ( z)g( z)由儒歇定理知 z66z100在 z 1没有根。四、证明题1 证明： .设 zxiy有 f ( z)ezex (cos yi sin y)u(x, y)ex cos y,v( x, y)ex sin yuex cos y,uex sin y,vex sin y,vex cos yxyxy易知 u( x, y) ， v( x, y) 在任意点都不满足CR 条件，故 f在复平