教学课题§3平面曲线的弧长_第1页
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文档简介

1、教学课题：平面曲线的弧长 教学目的：通过学习掌握中学数学中圆的周长、椭圆的周长公式的证明过程。教学重点：会求平面曲线的弧长。教学过程： 一 平面曲线的弧长 定义1 设是一条平面曲线，起点为A终点为B，在C上从A到B依次取分点：它们成为对曲线C的一个分割，极为记为T。然后用线段连接T中每相邻两点，得到C的一条内接折线，记若对C的任意分割T，如果存在有限极限 ， 则称曲线C是可求长的，并称s为曲线C的弧长 定义2 设平面曲线C由参数方程 （1） 给出。如果x（t）与Y（t）在 上连续可微，切不同时为零，则称C为光滑曲线。定理101 设 曲线C由参数方程（1）给出。若C为一条光滑曲线，则C是可求长的

2、，弧长为 s= （1）证明 对C作分割T=并设分别对应且于是，得到与T对应地区间的一个分割：在所属的每个小曲间上应用微分中值定理得 从而曲线C的内接折线总长为 因为C是光滑曲线，所以当时，必有，反之亦然。所以与是等价的。 由于在上连续从而可积，所以由定级分定义，只需证明： （2）而上式右边即为（1）的定级分。为此记 则有 由于C是光滑曲线，易知上式第2项当时趋于零，再由（2）得 证毕若曲线C由直角坐标方程 y=f（x），x 当f（x）在a，b上连续可微时，曲线C的弧长公式为 又若曲线C由极坐标方程 给出，当连续且不同时为零时，曲线C的弧长为 证明可将其化成参数方程并利用前面的结果即得。 例1 求摆线x=a（1-sint），y=a（1-cont）（a0）一拱的弧长。解 所以例2 求悬链线从x=0到x=a0那一段的弧长。界 所以 例3 求心形线的弧长例4 当把弧长公式中的上限改位t，可得曲线C由到点的弧长，即 由于被积函数是连续的，因此 称ds为曲线C的弧微分。 习题求下列曲线的弧长1 2 3 04

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