(完整版)数学归纳法练习题

1、2.3数学归纳法第 1 课时数学归纳法1用数学归纳法证明“ 2n>n21 对于 nn0 的自然数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0 应取()A2 B3 C5 D6解析当 n 取 1、2、3、4 时 2n21不成立，当时，52 >nn 5232>5126，第一个能使 2n>n21 的 n 值为 5，故选 C.答案Cn 3 n42用数学归纳法证明等式1 2 3 (n 3)(n N )，验证 n2 1 时，左边应取的项是()A1B12C123D1234解析等式左边的数是从1 加到 n3.当 n1 时， n34，故此时左边的数为从 1 加到 4.答案D111(nN )

2、，那么 f(n1) f(n)等于3设 f(n)123 3n1()111A. 3n2B.3n3n1C.111112D.3n23n13n3n13n111解析f(n)123 ，3n1111111f(n 1)123 3n，3n13n 13n2f(n 1)f(n)111.3n3n 13n2答案D4用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当nk 时，表达式为1×42×7 k(3k1) k(k 1)2，则当 nk1 时，表达式为 _答案 1×42×7 k(3k1) (k1)(3k4) (k1)(k2)25记凸 k 边形的内角和为f(k)，则凸 k 1 边形的内角和 f(k

3、1)f(k)_.解析由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形图形，故f(k 1) f(k) .答案6用数学归纳法证明：1 1 1 1 1 11×23×42n1 ·2n n1n2nn.证明(1)当 n1 时，左边1 1，右边1，等式成立1×222(2)假设当 nk(kN* )时，等式成立，即111111× × k 2k.12342k 1·2k k 12则当 nk1 时，1 1 111×2 3×42k 1 ·2k2k1 2k2 1 1 1 1k1k22k2k 1 2k 2 1 11 11

4、1 2k 12k2 k2k32k1k 1 1 1 11k2k32k2k122k1111.即当 nk1 k1 1 k 12 k1 k k 1 k1时，等式成立根据 (1)(2)可知，对一切 nN* ，等式成立7若命题 A(n)(nN* )在 nk(kN* )时命题成立， 则有 nk 1 时命题成立现知命题对 n n0(n0 N* )时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0 的正整数不成立，对大于或等于n0 的正整数都成立C命题对小于 n0 的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0 的正整数都成立D以上说法都不正确解析 由已知得 nn00 *)时命题成立，则有n01时命题成

5、立；在n(nNn n01 时命题成立的前提下，又可推得n (n01)1 时命题也成立，依此类推，可知选 C.答案C8用数学归纳法证明 (n1)(n 2)(n3) (nn)2n·1·3· ·(2n1)(nN* )，从nk 到 n k 1，左边增加的代数式为()A2k1B2(2k 1)2k12k 3C. k 1D.k1解析n k 时，左边 (k 1)(k 2)(2k)； nk1 时，左边 (k2)(k3)(2k 2)2(k1)(k2)(2k)(2k1)，故选 B.答案B9分析下述证明 24 2n n2n1(nN )的过程中的错误：证明假设当 nk(kN )时

6、等式成立，即2 4 2kk2k1，那么 2 4 2k 2(k 1)k2 k12(k1)(k1)2(k1)1，即当 nk 1 时等式也成立因此对于任何 nN 等式都成立 _.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n 1 时等式不成立10用数学归纳法证明 (1 1)(22)(3 3)(nn)2n 1·(n2n)时，从 nk 到 n k1 左边需要添加的因式是_解析当 n k 时，左端为： (11)(22)(kk)，当 nk 1 时，左端为： (11)(22)(kk)(k 1k1)，由 k 到 k1 需添加的因式为： (2k2)答案2k 211用数学归纳法证明2 22 n2n n12n1*)16(

7、nN证明(1)当 n1 时，左边 121，右边1× 11 × 2×116 1，等式成立(2)假设当 nk(kN* )时等式成立，即12 22 k2k k12k16那么，12 22 k2(k1)2 k k 1 2k 1 (k1)2 6k k 1 2k 1 6 k1 26k1 2k27k66 k1 k2 2k36 k1 k 1 12 k 1 1， 6即当 nk1 时等式也成立根据 (1)和 (2)，可知等式对任何nN* 都成立12(创新拓展 )已知正数数列n*nnn1n，用a( n N)中，前 n 项和为 S，且 2S aa数学归纳法证明： annn 1.证明 (1)当 n1 时11a1 S12 a1 a1 ，2 a11(an>0)， a11，又101， n 1 时，结论成立(2)假设 n k(k N* )时，结论成立，即 ak k k1.当 nk 1 时，ak 1 Sk1Sk1 ak111ak1a