克莱姆法则及证明

1、第7节 克莱姆（Cramer ）法则、线性方程组叩元线性方程组是指形式为:厲Ml十基内亠斗吊珂 1 帀 +tJ2X2 1 * % 兀=1(1)的方程组，其中 1疋' '二代表个未知量，咗是方程的个数，'厂12'丿）称为方程组的系数，啦"2肿）称为常数项。线性方程组的一个解是指由 打个数门八-组成的有序数组 -'，当咛个未知量 I*' '匚分别用°代入后，式（1）中每个等式都成为恒等式。方程组（1）的解的全体称为它的解集合，如果两个线性方程组有相同的解集合，就称它们是同解 方程组。为了求解一个线性方程组，必须讨论以下一些

2、问题：（1）.这个方程组有没有解？（2）.如果这个方程组有解，有多少个解？（3）.在方程组有解时，解之间的关系，并求出全部解。本节讨论方程的个数与未知量的个数相等（即呎二）的情形。、克莱姆法则定理1 （克莱姆法则）如果线性方程组I T 细兀=対 如孔+如冷*+如心.妇(2)的系数行列式:D-那么这个方程组有解，并且解是唯一的，这个解可表示成:(3)其中'是把二中第'列换成常数项“几J 所得的行列式，即D广%d2l叫7幻i-1如-如务1知如Jr分析：定理一共有3个结论：1方程组有解；丁解是唯一的；解由公式（3）给出。因此证明的步骤是：=-（i = 1*2,卫）第一，把二代入方程组

3、，验证它确实是解。这样就证明了方程组有解，并且（3 ）是一个解，即证明了结论丫与卡。第二，证明如果= b “ =二是方程组（2）的一个解，那么一定有。这就证明了解的唯一性，即证明了结论证明：先回忆行列式的一个性质，设冷阶行列式° ° “詁，则有:接下来证明定理。首先，证明（3）确实是（2）的解。将行列式按第：列展开得:耳-认十乞每卄y认G -讥间其中-是行列式£中元素；的代数余子式?代入第卜个方程的左端，得：响詁十 卡十十心炳土二云冊纠十十十伽q二舟i（AAi+ " +Mi）+必 1血 + 每血 + 叫+ -十细（如気+爲俎+仏血） =訥（叫i州十十十弘

4、血）十耳（血十s血十十心）444*1舛1+%4厂“ + % 血）4心二这说明将（3 ）代入第'' 个方程后，得到了一个恒等式，所以（3）是（2）的一个解。其次，设” =。=、是方程组（2 ）的一个解，那么，将"=二代入（2） 后，得到斗个恒等式：闻1巧亠牝匸2斗+ t2Cv = $口十血勺十b2J-4口4务灼亠斗细三玄（4）用系数行列式的第- '列的代数余子式 I 乜、' J依次去乘（4）中卅个恒等 式，得到：如 4切 +"劭/liG =外4i盘21九心+如血心+，"十吨亦堆仇"J i 一占1&®十叫汕曲

5、+细也=毎孔将此陀个等式相加，得：如4 +衍血+耳l4Jg十（电 +叫俎十+知均）令+，+（如知禺""备几）务=A+Mb +74从而有:。这就是说，如果是方程组（2 ）的一个解，那么一定有= 1.2, ,2?)所以方程组只有一个解。、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊的线性方程组，即常数项全为零的方程组，称为齐次线性方程组。显然，齐次线性方程组总是有解的，因为 1 '就是它的解，这个解称为零解；其他的，即 6不全为零的解（如果还有的话），称为非零解。所以，对于齐次 线性方程组，需要讨论的问题，不是有没有解，而是有没有非零解。这个问题与齐次线性方程组解的个数是有

6、密切关系的。如果一个齐次线性方程组只有零解，那么这个方程组就只有唯一解；反之， 如果某个齐次线性方程组有唯一解，那么由于零解是一个解，所以这个方程组不可能有非零解。对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克莱姆法则，有推论1如果齐次线性方程组刚帀*牝陀H殂石=0知画十如心廿+如斗 0呂曲十如鬲斗4召召=°(5)的系数行列式不等于零，那么（5）只有零解。推论2 齐次线性方程组创1玛丰也+必加£ = ° 知;v如+禺蛊0白两+备可斗亠务心=0有非零解的必要条件是它的系数行列式等于零。四、例子例1 解线性方程组?冋十码一亟+ 蛊4三 珀+ + 2x4 =4 2

7、珂十 Aa + 2x； _ 為=7 蓋、+2芯+兀=6,184-11122-121解：方程组的系数行列式:311 -1 D2 11 0所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因-341-1-11q71260212 -26 -11-1-11I202所以这个线性方程组的唯一解为：-34 -137例2 解线性方程组2再一码+ 3x3十 2英$ = 6一 3j3 + 3兔 + 2x4 = 53aj-血十 2 = 33x1 -心 + 3也-工$ = 4解：方程组的系数行列式:2333-1-1-13-13-70 0所以根据克莱姆法则，这个线性方程组有唯一解。又因6-13245-332-70,3-1-

8、124-13-16223 533 3-1232-702-136-335-1 -1 3-13 4所以这个线性方和组的唯一解为:的线性方程组:臂'值分别为："：'，试求其系数例3已知三次曲线；在四个点一'处的解：将三次曲线在4点处的值代入其方程，得到关于叫）工“円卫3(Sq + 盘 4(22* 逊三忑+幻(T)fl 疔 mF= 6 + 的 2 + 在2 2 2+ 眄-6鬥 匕1-2) +衍(-2尸+勺(-2尸所以根据克莱姆法则,它的系数行列式是范德蒙行列式:A-1161111&1-16-1 -144 Q 1-1161268124612-6-31_24-6-

9、721111111:-1（于(-D31-11T:2232312481-2（审1-24-8D-720611116116-11-1 576 D2 -161-1624S1648-6-24-S164这个线性方程组有唯一解。又因八也"，即所求的三次曲线方程为了（心-S。例4如果齐次线性方程组“珂 + 73 + 的$ = 0西十 2花十心十& ° 珂+ % -歩号七州=0 珀4工2 +徨_3齐=0有非零解，那么一必须满足什么条件?解：由克莱姆法则知,齐次线性方程组有非零解的必要条件是其系数行列式等于零,此有111直121111-3111.711D-1又由：1010011 a0-41 - a (ts +1)3 -460 a -1 b -a，从而力必须满足的条件为 一 ' J注 用克莱姆法则求解系数行列式不等于零的咛元非齐