(教)牛顿问题

1、大理博奥教育精品资料系列牛顿问题一 知识概要“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定。解“牛吃草”问题的主要依据：1. 草的每天生长量不变；2. 每头牛每天的食草量不变；3. 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值4. 新生的草量每天生长量天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：1. 设定1头牛1天吃草量为“1”；2. 草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；3. 原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；4. 吃的天数原来

2、的草量(牛的头数草的生长速度)；5. 牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度。“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题、资源量问题、部分行程问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题。二例题精讲【例 1】 有一片牧场，草每天都在均匀地生长如果在牧场上放养18 头牛，那么10 天就把草吃完了；如果放养24 头牛，那么7 天就把草吃完了。（1）如果放养32 头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好14 天把草吃完？【解析】 这片牧场上的牧草数量每天都在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原

3、有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长. 假设一头牛一天吃1 个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同。为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了。解答：设一头牛一天吃的草量为1 份 18 头牛10 天一共吃草：18×10 =180（份）；24 头牛7 天一共吃草：24× 7 =168 （份）如图，对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为18 头牛比24 头牛多吃了3 天（草多生长了3 天），而草每天生长：(

4、180 168)÷ 3 = 4（份），于是草地原有草的总量为：180 4×10 =140（份）（1）放养的32 头牛中有4 头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要140 ÷ (32 4)= 5（天）（2）要恰好14 天吃完，那么最后吃的总草量为140 + 4×14 =196（份），因此要在14天内吃完需要196 ÷14 =14（头）牛。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的；同样，每天牛吃的草量也是不变的。这就是我们解题的关键。这

5、里因为未知数很多，一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草也在变化，但是在匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。【例 2】 放羊，如果放38 只羊，需要25 天把草吃完；如果放30 只羊，需要30 天把草吃完。如果放20 只羊，这片牧场可以吃多少天？【解析】 本题在羊吃草的同时，草也在不断

6、的减少，这也是牛吃草问题的一种. 同前面的问题一样，我们还是要对比一下两个已知条件，算出草的减少速度和原有草总量解答：设一只羊一天吃的草量为1 份供38 只羊吃25 天，则吃草总量：38× 25 = 950（份）供30只羊吃30 天，则吃草总量：30× 30 = 900（份）如图，对比两次吃草的总量，发现5 天草减少的量为950 900 = 50 （份），因此草每天减少的量为：50 ÷ 5 =10（份），原有草的总量为：950 +10× 25 =1200（份）现在有20 只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20 份草以外，还会自己减少10 份草，因此这片牧场可

7、以吃1200 ÷ (20 +10)= 40（天）。【巩固】 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天?【解析】 与例上面不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量。【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天照此计算，可以供多少头牛吃10天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：

8、，原有草量为；10天吃完需要牛的头数是：(头)【例 4】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【解析】 这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可。设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天那么每天生长的草量为，原有草量为：10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要天可以把原有草量吃完，即这

9、块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天三牛吃草问题知识衍变【例 1】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入，15分钟到来的人数 ，每分钟到来。8：30以前原有人。 所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30【例 2】 快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用

10、7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(米/分)，开始相差的路程为：（米），所以中速车速度为：(米分)【例 3】 甲、乙、丙三车同时从地出发到地去甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：（千米/时），全

11、程：（千米），丙车速度为：（千米/时）【例 4】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空如果打开7个出水口，18小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【解析】 本题是牛吃草问题的变形，设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：，半池水的量为：，所以一池水的量为72如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为小时，即7小时12分钟【例 5】 北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度

12、，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为，原有的水量超过安全线的部分有如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要开个泄洪闸【例 6】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装

13、满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了米路，所以从杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三个桶装满。解法一：列方程求解， 杯子漏水量与路程成正比，可以设一个杯子每走一米漏水量为x，同时假定一杯水量为单位1.解法二：把一杯水看成牧场，每个杯子都有一个洞口，那么把洞口看成是牛（实际上每片牧场只有一头牛），同时流出的水量与路程成正比，所以把路程看成时间。运送几次，需要几个满杯，可以看成几片牧场，各个杯子剩下水量加起来就是一只桶的容量。这时假设一个洞口（也就是一只杯子）走一米路，流出去的水量

14、为单位1.【例 7】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为，每个仓库存放的面粉总量为：那么，丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要(人)。【例 8】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天

15、运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成人来砌砖，还需要：(天)。【例 9】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完

16、，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完，所以原有工人名课后练习练习1. 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽

17、车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？【解析】 设辆汽车天运货为“”，进货速度为，原有存货为，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要（天）练习2. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】 设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16头牛 15天 16×15240：原有草量15天生长的草量100只羊（25头牛） 6天 25×6150： 原有草量6天生长的草量从上易发现：1天生长的草量1

18、0；那么原有草量：15010×690；8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。练习3. 有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了台抽水机，这样比原计划节省了小时。工程师们测算出，如果最初调来台抽水机，将会比原计划节省小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。【解析】 设每台抽水机每小时抽个单位的水，原计划需要小时抽完则原计划个小时抽的水量为，台抽水机时

19、抽水量为台抽水机时抽水量为所以，个小时的出水量为，个小时的出水量为，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小时出水量为，所以需要留下台抽水机。练习4. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小时可将可将水池中的水抽干。设1根抽水管每小时抽水量为1份。（1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量为：21×8-12×872（份）（3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（

20、16-12）=18（小时）练习5. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。19 设每两汽车每小时运的货物为1份。（1）进水管每小时的进水量为：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）码头原有货物量是：9×12-12×548（份）（3）3辆汽车运10小时后还有货物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后来增加的汽车辆数是：（68+4

21、×5）÷4-3=19（辆）练习6. 有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？8天 （1）按牛的吃草量来计算，80只羊相当于80÷4=20（头）牛。（2）设1头牛1天的吃草量为1份。（3）先求出这片草地每天新生长的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20120（份）（5）最后求出10头牛与60只羊一起吃的天数：120÷

22、（10+60÷4-10）=8（天）练习7. 某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×301

23、5（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.517.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.54（个）（采用“进1”法取值）练习8. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？(台)。练习9. 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，