小学奥数举一反三六年级26-30

1、第二十六周 乘法和加法原理专题简析:在做一件事情时,要分几步完成,而在完成每一步时又有几种不同的方法, 要知道完成这件事一共有多少种方法, 就用乘法原理来解决。 做一件事时有几类 不同的方法,而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。例题 1:由数字 0, 1, 2, 3组成三位数,问:可组成多少个不相等的三位数?可组成多少个没有重复数字的三位数?在确定组成三位数的过程中, 应该一位一位地去确定, 所以每个问题都可以 分三个步骤来完成。要求组成不相等的三位数,所以数字可以重复使用。百位上不能取 0,故 有 3种不同的取法:十位上有 4种取法, 个位上也有 4种取法, 由乘法原理共可

2、组成 344=48个不相等的三位数。要求组成的三位数没有重复数字,百位上不能取 0,有三种不同的取法, 十位上有三种不同的取法,个位上有两种不同的取法,由乘法原理共可组成 332=18个没有重复数字的三位数。练习 1:1、有数字 1, 2, 3, 4, 5, 6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?2、在自然数中,用两位数做被减数,一位数做减数,共可组成多少个不同 的减法算式?3、由数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,可组成多少个:三位数;三位偶数;没有重复数字的三位偶数;百位是 8的没有重复数字的三位数;百位是 8的没有重复数字的三位偶数。例题 2:有两个相同的正方体, 每个

3、正方体的六个面上分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 6。将两个正方体放在桌面上,向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形? 要使两个数字之和为偶数, 就需要这两个数字的奇、 偶性相同,即两个数字 同为奇数或偶数。所以,需要分两大类来考虑:两个正方体向上一面同为奇数的共有 33=9(种不同的情形;两个正方体向上一面同为偶数的共有 33=9(种不同的情形;两个正方体向上一面同为偶数的共有 33+33=18(种不同的情形。 练习 2:1、 在 1 1000的自然数中,一共有多少个数字 1?2、在 1 500的自然数中,不含数字 0和 1的数有多少个?3、十把钥匙开十把锁,但不知道哪把钥匙开哪把

4、锁,问最多试开多少次, 就能把锁和钥匙配起来?4、由数字 0, 1, 2, 3, 4可以组成多少个没有重复数字的三位偶数?例题 3:书架上层有 6本不同的数学书,下层有 5本不同的语文书,若任意从书架上 取一本数学书和一本语文书,有多少种不同的取法?从书架上任取一本数学书和一本语文书, 可分两个步骤完成, 第一步先取数 学书,有 6种不同的方法,而这 6种的每一种取出后,第二步再取语文书,又有 5种不同的取法,这样共有 6个 5种取法,应用乘法计算 65=30(种 ,有 30种不同的取法。练习 3:1、商店里有 5种不同的儿童上衣, 4种不同的裙子,妈妈准备为女儿买上 衣一件和裙子一条组成一套

5、,共有多少种不同的选法?2、小明家到学校共有 5条路可走,从学校到少年宫共有 3条路可走。小明 从家出发,经过学校然后到少年宫,共有多少种不同的走法?3、张师傅到食堂吃饭,主食有 2种,副食有 6种,主、副食各选一种,他有几种不同的选法?例题 4:在 2, 3, 5, 7, 9这五个数字中, 选出四个数字, 组成被 3除余 2的四位数, 这样的四位数有多少个?从五个数字中选出四个数字, 即五个数字中要去掉一个数字, 由于原来五个 数字相加的和除以 3余 2,所以去掉的数字只能是 3或 9。去掉的数字为 3时, 即选 2, 5, 7, 9四个数字, 能排出 4321=24(个 符合要求的数,去掉

6、的数字为 9时也能排出 24个符合要求得数,因此这样的四 位数一共有 24+24=48(个练习 4:1、在 1, 2, 3, 4, 5这五个数字中,选出四个数字组成被 3除余 2的四位 数,这样的四位数有多少个?2、在 1, 2, 3, 4, 5这五个数字中,选出四个数字组成能被 3整除的四位 数,这样的四位数有多少个?3、在 1, 4, 5, 6, 7这五个数字中,选出四个数字组成被 3除余 1的四位 数,这样的四位数有多少个?例题 5:从学校到少年宫有 4条东西的马路和 3条南北的马路相通(如图 ,小明从 学校出发到少年宫(只许向东或向南行进 ,最后有多少种走法?为了方便解答, 把图中各点

7、用字母表示如图。 根据小明步行规则,显然可知 由 A 到 T 通过 AC 边上的各点和 AN 边上的各点只有一条路线, 通过 E 点有两条路 线(即从 B 点、 D 点来各一条路线 ,通过 H 点有 3条路线(即从 E 点来有二条 路线,从 G 点来有一条路线 ,这样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等 于通过该点左边、 上方的两邻接交叉点的路线的总和, 因此, 可求得通过 S 点有 4条路线,通过 F 点有 3条路线由此可见,由 A 点通过 T 点有 10条不同的 路线,所以小明从学校到少年宫最多有 10种走法。练习 5:1、从学校到图书馆有 5条东西的马路和 5条南北的马路相通(如图 。

8、李菊 从学校出发步行到图书馆(只许向东或向南行进 ,最多有多少种走法?2、某区的街道非常整齐(如图 ,从西南角 A 处走到东北角 B 处,要求走最 近的路,一共有多少种不同的走法?3、如图有 6个点, 9条线段,一只小虫从 A 点出发,要沿着某几条线段爬 到 F 点。 行进中, 同一个点或同一条线段只能经过一次, 这只小虫最多有多少种 不同的走法?答案:练 11、 3543=180个2、 909=810个3、 888=512个 488=256个476=168个 176=42个 136=18个练 21、 9180+3=192个2、 8+88+388=264个3、 9+8+7+6+5+4+3+2+

9、1=45次练 31、 24个 2、 42个 3、 48个 48个练 41、 48个 2、 24个 3、 72个练 51、 12个 2、 18个 3、 30个 12个第 27周 表面积与体积(一专题简析:小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、 圆柱体和圆锥体。从 平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃, 需要有更高水平的空间想象能力。 因 此, 要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法, 能将公式作适当的变形, 养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵 活地计算。在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:(1充分利用正方体六个面 的面积都相等,每个面

10、都是正方形的特点。(2把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切面面积的两倍。 反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。(3若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼 合起来。 若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体, 应把它们最大的面拼合 起来。例题 1:从一个棱长 10厘米的正方体木块上挖去一个长 10厘米、 宽 2厘米、 高 2厘 米的小长方体,剩下部分的表面积是多少?这是一道开放题,方法有多种:按图 27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为 592平方厘米。 图 27-1按图 27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为 632平方

11、厘米。 按图 27-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为 672平方厘米。练习 1: 1、从一个长 10厘米、宽 6厘米、高 5厘米的长方体木块上挖去一个棱长 2厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?2、把一个长为 12分米, 宽为 6分米,高为 9分米的长方体木块锯成两个想 同的小厂房体木块, 这两个小长方体的表面积之和, 比原来长方体的表面积增加 了多少平方分米?3、在一个棱长是 4厘米的立方体上挖一个棱长是 1厘米的小正方体后,表 面积会发生怎样的变化?例题 2:把 19个棱长为 3厘米的正方体重叠起来, 如图 27-4所示, 拼成一个立体图 形,求这个立体图形的表面积。图27-

12、2图 27-3 要求这个复杂形体的表面积, 必须从整体入手, 从上、 左、 前三个方向观察, 每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图 27-5所示 。 而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。 整个立体 图形的表面积可采用(S 上 +S左 +S前2来计算。(339+338+33102=(81+72+902=2432=486(平方厘米答:这个立体图形的表面积是 486平方厘米。 练习 2:图 274图 27 5从前往后看从左往右看 从上往下看1、 用棱长是 1厘米的立方体拼成图 27-6所示的立体图形。 求这个立体图形 的表面积。2、 一堆积木 (如图 27-7所示

13、, 是由 16块棱长是 2厘米的小正方体堆成的。 它们的表面积是多少平方厘米? 3、 一个正方体的表面积是 384平方厘米, 把这个正方体平均分割成 64个相 等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米?例题 3:把两个长、 宽、 高分别是 9厘米、 7厘米、 4厘米的相同长方体, 拼成一个 大 长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体, 需要把两个相同面拼合, 所得大 图 276厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。 要使大长方体的表面积最小, 就必 须使两个拼合面的面积最大,即减少两个 97的面。(99+94+7422 972=(63+3

14、6+284 126=508 126=382(平方厘米答:这个大厂房体的表面积最少是 382平方厘米。 练习 3:1、 把底面积为 20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体, 长方体的 表面积是多少?2、 将一个表面积为 30平方厘米的正方体等分成两个长方体, 再将这两个长 方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少。3、 用 6块 (如图 27-8所示 长方体木块拼成一个大长方体, 有许多种做法, 其中表面积最小的是多少平方厘米?例题 4: 一个长方体,如果长增加 2厘米,则体积增加 40立方厘米;如果宽增加 3厘米,则体积增加 90立方厘米;如果高增加 4厘米,则体积增加 96立方里

15、,求 原长方体的表面积。我们知道:体积 =长宽高;由长增加 2厘米,体积增加 40立方厘米,可 知宽高 =402=20(平方厘米 ;由宽增加 3厘米,体积增加 90立方厘米,可 知长高 =903=30(平方厘米 ;由高增加 4厘米,体积增加 96立方厘米,可 知长宽 =964=24(平方厘米 。 而长方体的表面积 =(长宽 +长高 +宽高 2=(20+30+242=148(平方厘米 。即3厘米 1厘米2厘米402=20(平方厘米903=30(平方厘米964=24(平方厘米(30+20+242=742=148(平方厘米答:原 长方体的表面积是 148平方厘米。练习 4:1、一个长方体,如果长减少

16、 2厘米,则体积减少 48立方厘米;如果宽增加 5厘米, 则体积增加 65立方厘米; 如果高增加 4厘米, 则体积增加 96立方厘米。 原来厂房体的表面积是多少平方厘米?2、一个厂房体木块,从下部和上部分别截去高为 3厘米和 2厘米的长方体 后, 便成为一个正方体, 其表面积减少了 120平方厘米。 原来厂房体的体积是多 少立方厘米?3、 有一个厂房体如下图所示, 它的正面和上面的面积之和是 209。 如果它的 长、宽、高都是质数,这个长方体的体积是多少?宽长例题 5:如图 27-10所示,将高都是 1米,底面半径分别为 1.5米、 1米和 0.5米的 三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积

17、。 如果分别求出三个圆柱的表面积,再减去重叠部分的面积,这样计算比较麻烦。 实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。 这样, 这个物体 的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。3.141.51.52+23.141.51+23.1411+23.140.51 =3.14(4.5+3+2+1=32.97(平方米答:这个物体的表面积是 32.97平方米。练习 5:1、 一个棱长为 40厘米的正方体零件 (如图 27-11所示 的上、 下两个面上, 各有一个直径为 4厘米的圆孔,孔深为 10厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图 27-12所示的工件(单位:厘米 ,需

18、用铁皮多少平方 厘米?3、如图 27-13所示,在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的 洞,在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为 10厘米,侧 面上的洞口是边长为 4厘米的正方形,上、下侧面的洞口是直径为 4厘米的圆, 求该立方体的表面积和体积(取 3.14 。 答案:练 1 1、 切下一块后,切口处的表面减少了前、后、上面 3个 11的正方形,新增加了左右下面三个 11的正方形,所以表面积大小不变。2、 446-222=92平方厘米3、 中心挖去的洞的体积是:1233-132=7立方厘米, 挖洞后木块的体积:33-7=20立方厘米, 中心挖洞后每面增加的面积是 12

19、4-12=3平方厘米, 挖洞后木块的表面积:(32+36=72平方厘米。练 21、 从三个不同的方向看,得到图答 27-1:从上往下看 从前往后看 从左往右看(1112+118+1172=54平方厘米2、 (229+229+2272=200平方厘米3、 因为 64=444,所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的 4被,那么大 正方体的表面积是小正方体的 44=16倍,小正方体的表面积是:38416 =24平方厘米练 31、将正方体分为两个长方体,表面积就增加了 2个 306=15平方厘米,拼成 大正方体,表面积将减少两个拼合面的面积,正好是 1个 306=15平方厘 米,所以大长方体的表面积是

20、30+30+6=35平方厘米。2、要是表面积最小,就要尽可能地把大的面拼合在一起。表面积最小的拼法有 如图答 27-2两种:表面积都是(33+3422=66平方厘米。 3、设大长方体的宽和高为 x 分米,长为 2x 分米,左面和右面的面积就是 x 2平 方分米。 其余的面积为 2x 2平方分米, 根据题意, 大长方体的表面积是:8x 2+82x 2=600 x=5大长方体的体积是:5525=250立方分米练 41、 (482+655+9642=122平方厘米2、 减少的表面积实质是高度分别为 2厘米和 3厘米的前、后、左、右四个面的 面积之和。把两个合并起来,用 120(2+3=24厘米,求到

21、正方体底面 的周长,正方体的棱长就是 244=6厘米。圆长方体的体积是:66(6+3+2=396立方厘米3、 长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长(宽 +高 , 209=1119,所以长=11,宽 +高=19,或长=19,宽 +高=11,根据题意,宽 和高只能是 17和 2,长方体的体积就是 11172=374练 52、 用两个同样的工件可拼成图答 27-3的圆柱体。3.1415(46+542=2355平方厘米3、 立方体的表面积和是:6102-424-23.14( 42打洞后增加的面积是:3.144(10-4 +4(10-4 42+422-3.14( 42平方厘米体积是:103-

22、42102+43-3.14( 42第 28周 表面积与体积(二专题简析:解答立体图形的体积问题时,要注意以下几点:(1物体沉入水中,水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中 取出,水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。 如果物体不全部浸在水中, 那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体 积。(2把一种形状的物体变为另一种形状的物体后,形状变了,但它的体积 保持不变。(3求一些不规则形体体积时,可以通过变形的方法求体积。(4求与体积相关的最大、最小值时,要大胆想象,多思考、多尝试,防 止思维定。例题 1:有大、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为 6米、

23、 3米、 2米。把 两堆碎石分别沉在中、 小水池里, 两个水池水面分别升高了 6厘米和 4厘米。 如 果将这两堆碎石都沉在大水池里,大水池的水面升高多少厘米?中、 小水池升高部分是一个长方体, 它的体积就等同于碎石的体积。 两个水 池水面分别升高了 6厘米和 4厘米,两堆碎石的体积就是 330.06+220.04=0.7(立方米 。把它沉到大水池里,水面升高部分的体积也就是 0.7立方 米,再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。330.06+220.04=0.7(立方米0.76的平方 =7/360(米 =1又 17/18(厘米答:大水池的水面升高了 1又 17/18厘米。 练习 1:1、有大

24、、中、小三个正方体水池,它们的内边长分别为 4米、 3米、 2米。 把两堆碎石分别沉没在中、 小水池的水中, 两个水池的水面分别升高了 4厘米和 11厘米,如果将这两堆碎石都沉没在大水池中,那么大水池水面将升高多少厘 米?2、用直径为 20厘米的圆钢,锻造成长、宽、高分别为 30厘米、 20厘米、 5厘米的长方体钢板,应截取圆钢多长(精确到 0.1厘米?3、 将表面积为 54平方厘米、 96平方厘米、 150平方厘米的三个铁质正方体 熔铸成一个大正方体(不计损耗 ,求这个大正方体的体积。例题 2:一个底面半径是 10厘米的圆柱形瓶中,水深 8厘米,要在瓶中放入长和宽 都是 8厘米、高是 15厘

25、米的一块铁块,把铁块竖放在水中,水面上升几厘米? 在瓶中放铁块要考虑铁块是全部沉入水中, 还是部分沉入水中。 如果铁块是 全部沉入水中,排开水的体积是 8815=960(立方厘米 。而现在瓶中水深是 8厘米,要淹没 15厘米高的铁块,水面就要上升 15 8=7(厘米 ,需要排开水 的体积是(3.141010 887=1750(立方厘米 ,可知铁块是部分在水中。当铁块放入瓶中后,瓶中水所接触的底面积就是 3.141010 88=250 (平方厘米 。 水的形状变了, 但体积还是 3.1410108=2512(立方厘米 。 水的高度是 2512250=10.048(厘米 ,上升 10.048 8=

26、2.048(厘米3.1410108(3.141010 88 8=2512250 8=10.048 8=2.048(厘米答:水面上升了 2.048厘米。练习 2:1、 一个底面积是 15平方厘米的玻璃杯中装有高 3厘米的水。 现把一个底面 半径是 1厘米、 高 5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中, 问水面升高了多少 厘米(取 3?2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高 2.5厘米,玻璃杯内侧的底面积市 2平方里。在这个杯中放进棱长 6厘米的正方形铁块后,水面没有淹没铁块,这 时水面高多少厘米?3、 在底面是边长为 60厘米的正方形的一个长方形容器里, 直立放着一个长 100厘米、底面边长为 15

27、厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水 50厘米 深。现在把铁棍轻轻地向上方提起 24厘米,露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长 多少厘米?例题 3:某面粉厂有一容积是 24立方米的长方体储粮池,它的长是宽或高的 2倍。 当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时, 求这堆面粉的体积 (如图 28-1所示 。 设圆锥体的底面半径是 r ,则长方体的高和宽也都是 r ,长是 2r 。长方体的 容积是 2r r r=24,即 r 的立方 =12。这个半圆锥体的体积是 1/3 r 的平方 r 2=1/6 r 的立方,将 r 的立方 =12代入,就可以求得面粉的体积。设圆锥体的底面半径是 r ,

28、则长方体的容积是 2r r r=24, r 的立方 =12。 1/33.14r 的平方r 2=1/63.14r 的立方=1/63.1412=6.28(立方米答:这堆面粉的体积是 6.28立方米。练习 3:1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长,这个正方体的 体积是 216立方分米。求这个圆锥体的体积。2、一个正方体的纸盒中如图 28-2所示,恰好能装入一个体积 6.28立方厘 米的圆柱体。纸盒的容积有多大(取 3.14? 3、 如图 28-3所掷, 圆锥形容器中装有 3升水, 水面告诉正好是圆锥高读的 一半。这个容器还能装多少水? 例题 4:如果把 12件同样的长方体物品打包,形

29、成一件大的包装物,有几种包装方 法?怎样打包物体的表面积最小呢? 设长方体物品的长、宽、高分别是 a 、 b 、 c ,并且 a b c (入土 28-4 。 比较“ 34”和“ 26”两种包法。图 28-5中大长方体表面积为6ab+8ac+24bc图 28 4cb图 285图 28 6,图 28-6中大长方体的表面积为 4ab+12ac+24bc,两个式子中都曲调相同 的部分 4ab+8ac+24bc后, 式与式的大小要看 2ab 与 4ac 的大小。 (1 当 b=2c时, 2ab=￥ ac ,两种包法相同。 (2当 b 2c 时, “ 26”的包法表面积最小。练习 4:1、如果把长 8厘

30、米,宽 7厘米,高 3厘米的 2件同样的长方体物品打包, 形成一件大的包装物,有几种包装方法?怎样打包,物体的表面积最小?2、一个精美小礼品盒的形状是长 9厘米,宽 6厘米,高 4厘米的长方体。 请你帮厂家设计一个能装 10个小礼品盒的大纸箱,你觉得怎样设计比较合理? 为什么?3、 一包香烟的形状是长方体, 它的长是 9厘米, 宽是 5厘米, 高是 2厘米。 把 10 包香烟包装在一起形成一个大长方体,称为一条。可以怎样包装?算一算 需要多少包装纸(包转念能够纸的重叠部分忽略不计 。你认为哪一种包装比较 合理?例题 5:一只集装箱,它的内尺寸是 181818。现在有批货箱,它的外尺寸是 149

31、。问这只集装箱能装多少只货箱?因为集装箱内尺寸 18不是货箱尺寸 4的倍数,所以,只能先在 181618的空间放货箱,可放 181618(149 =144(只 。这时还有 18218的空间,但只能在 18216的空间放货箱,可放 18216(149 =16 (只 。 最后剩下 1822的空间无法再放货箱, 所以最多能装 144+16=160(只 。 181618(149 +18216(149=144+16=160(只答:这只集装箱能装 160只货箱。 练习 5:1、有一个长方体的盒子,从里面量长为 40厘米、宽为 12厘米、高为 7厘 米。在这个盒子里放长 5厘米、宽 4厘米、高 3厘米的长方

32、体木块,最多可放几块?2、从一个长、宽、高分别为 21厘米、 15厘米、 12厘米的厂房体上面,尽 可能大地切下一个正方体, 然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体, 最 后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体, 剩下的体积是多少立方厘 米?3、现有一张长 40厘米、宽 20厘米的长方形铁皮,请你用它做一只深是 5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计,容积越大越好 ,你做出的 铁皮盒容积是多少立方厘米?答案:练 11、 (320.04+220.1142=0.05米=5厘米2、 30205【 3.14( 2023、 大正方体的体积等于三个小正方体的体积之和。546=9平方厘米

33、 9=33它的体积是 333=27平方厘米 966=16平方厘米16=44 它的体积是 444=64立方厘米1506=25平方厘米 25=55它的体积是 555=125立方厘米27+64+125=216立方厘米练 21、 铁块全部放入水中,排水的体积是 3125=15立方厘米,要使水面升高2厘米,铁块要排水(15-3122=24立方厘米。可见,铁块不能全部放入水中。 153(15-312-3= 3 4厘米2、 杯中水的体积是:722.5=180立方厘米放入铁块后的底面积是 72-62=36平方厘米;水面的高:18036=5厘米3、 容器中水的体积:(602-15250=168750立方厘米;当

34、铁棍提起后,仍练 31、 设这个圆锥的底面半径为 r , 则正方体的体积为 r 3=216, 圆锥体的体积为:13r 2r =226.08立方分米 2、 设圆柱体的底面半径为 x ,则正方体的棱长为 2r 。圆柱的体积是 r 22r=6.28,即(2r 3=8 r3=8立方厘米3、 设容器的底面半径为 r , 则水面半径为 r 213(r 22h 2=3, 即 r 2h =72。容器的体积是 1372=24升,还能装 24-3=21升。 练 41、 20.56(1+1+3.14=4分米 3.14(4224=50.24立方分米 2、长方体中:(1高 +宽=(365-52=180厘米(2高 +长=

35、(405-52=200厘米(3长 +宽=(485-52=240厘米(4 (2-(1得:200-180=20厘米长:(240+302=130厘米高:200-130=70厘米宽:240-130=110厘米3、 瓶的容积相当于底面积相同、 高为 20+5=25厘米的圆柱体的容积。 饮料的体 积相当于与瓶同底, 高为 20厘米的圆柱体的体积, 所以饮料的体积占瓶容积的:2020+5=45。 302020+5=24立方分米 练 51、 长方体的盒子高是 7厘米,正好是木块宽与高的和,长方体的宽 12厘米, 正好是木块宽与高的公倍数,采用如图答 27-4所示的拼放法可以填满盒 子。最多可放:40127(5

36、43=56个2、 第一次切下的正方体棱长应是 12厘米,留下的部分如图答 27-5,其中较 大的一块是长为 21-12=9厘米,宽为 15厘米,高为 12厘米的长方体。 第二次切下的正方体棱长应是 9厘米,留下的部分如图答 27-6所示,较 大的一块是长为 9厘米,宽为 15-9=6厘米,高为 12厘米的长方体。第 三次切下的正方体棱长应是 6厘米。 上下的体积是:211512-(123+ 93+ 63=1107立方厘米3、 制作这个铁盒的方法比较多,但容积不一样。第一种是把铁皮的四角截去边长 5厘米的正方形。它的体积是(40-52(20-525=1500立方厘米。第二种是在铁皮的一侧角上截下

37、两个边长 5厘米的正方形, 焊接到铁皮的另一侧 的中间位置,这样做成的无盖铁皮盒长是 40-4=35厘米,体积是(40-5(20-525=1750立方厘米。如图 27-7所示第三种是在铁皮的两侧各截下一条宽为 5厘米、长为 20厘米的长方形铁皮分别 焊接到上、下边上的中间部位,这样做成的无盖铁皮盒的长是 40-54=20厘 米,宽是 20厘米。体积是(40-54205=2000立方厘米。如图答 27-8所示。第二十九周抽屉原理(一专题简析:如果给你 5盒饼干, 让你把它们放到 4个抽屉里, 那么可以肯定有一个抽屉 里至少有 2盒饼干。 如果把 4封信投到 3个邮箱中, 那么可以肯定有一个邮箱中

38、 至少有 2封信。 如果把 3本联练习册分给两位同学, 那么可以肯定其中有一位同 学至少分到 2本练习册。这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理” 。基本的抽屉原理有两条:(1如果把 x+k(k 1个元素放到 x 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有 2个或 2个以上的元素。 (2如果把 m x k (x k 1 个元素放到 x 个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有 m+1个或更多个元素。 利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?哪些是“元素”? 然后按 以下步骤解答:a 、构造抽屉,指出元素。 b 、把元素放入(或取出抽屉。 C 、 说明理由,得出结论。本周我们先来学习第(1条原理及其应用

39、。例题 1:某校六年级有学生 367人, 请问有没有两个学生的生日是同一天?为什么? 把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素。把 367个元素放到 366个抽屉中,至少有一个抽屉中有 2个元素,即至少有两个学生的生日是同一 天。平年一年有 365天,闰年一年有 366天。把天数看做抽屉,共 366个抽屉。 把 367个人分别放入 366个抽屉中, 至少在一个抽屉里有两个人, 因此, 肯定有 两个学生的生日是同一天。练习 1:1、 某校有 370名 1992年出生的学生, 其中至少有 2个学生的生日是同一天, 为什么?2、 某校有 30名学生是 2月份出生的, 能否至少有两个学生生日是在

40、同一天?3、 15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生?例题 2:某班学生去买语文书、数学书、外语书。买书的情况是:有买一本的、二本 的、 也有三本的, 问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书 (每 种书最多买一本?首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有 7种类型,把 7种类 型看成 7个抽屉, 去的人数看成元素。 要保证至少有一个抽屉里有 2人, 那么去 的人数应大于抽屉数。所以至少要去 7+1=8(个学生才能保证一定有两位同学 买到相同的书。买书的类型有:买一本的:有语文、数学、外语 3种。买二本的:有语文和数学、语文和外语、数学和外语 3种。买三本的:有语文

41、、数学和外语 1种。3+3+1=7(种把 7种类型看做 7个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同 的书,至少要去 8位学生。练习 2:1、 某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。买书的情况 是:有买一本的、二本的、三本或四本的。 ,问至少要去几位学生才能保证一定 有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本?2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每个学生从中任意借两本, 那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种?3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄 三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的?例题 3:一只袋中装有许多规格相同但颜

42、色不同的手套, 颜色有黑、 红、 蓝、 黄四种。 问最少要摸出多少只手套才能保证有 3副同色的?把四种不同的颜色看成是 4个抽屉, 把手套看成是元素, 要保证有 1副同色 的,就是 1个抽屉里至少有 2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出 5只手套。这 时拿出 1副同色的后, 4个抽屉中还剩下 3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸 出 2只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推。把四种颜色看成是 4个抽屉, 要保证有 3副同色的, 先考虑保证有一副就要 摸出 5只手套。这时拿出 1副同色的后, 4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉 原理, 只要再摸出 2只手套又能保证有一副手套是同色的。 以此类推

43、, 要保证有 3副同色的,共摸出的手套有5+2+2=9(只答:最少要摸出 9只手套才能保证有 3副同色的。练习 3:1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄 四种。问最少要摸出多少只手套才能保证有 4副同色的?2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有白、黑、蓝三种。 问:最少要摸出多少只袜子,才能保证有 3双同色的?3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各 8只。每次从布袋中拿出一只袜子, 最少要拿出多少只才能保证其中至少有 2双不同袜子?例题 4:任意 5个不相同的自然数, 其中至少有两个数的差是 4的倍数, 这是为什么? 一个自然数除以 4的余数只能是 0,

44、1, 2, 3。如果有 2个自然数除以 4的 余数相同,那么这两个自然数的差就是 4的倍数。一个自然数除以 4的余数可能是 0, 1, 2, 3,所以,把这 4种情况看做时 个抽屉, 把任意 5个不相同的自然数看做 5个元素, 再根据抽屉原理, 必有一个 抽屉中至少有 2个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是 4的倍数。 所以,任意 5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 4的倍数。练习 4:1、任意 6个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是 5的倍数,这是为 什么?2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是 8的倍数?3、 证明在任意的 (n+1 个不相同的自然数

45、中, 必有两个数之差为 n 的倍数。例题 5:能否在图 29-1的 5行 5列方格表的每个空格中,分别填上 1, 2, 3这三个 数中的任一个,使得每行、每列及对角线 AD 、 BC 上的各个数的和互不相同? 由图 29-1可知:所有空格中只能填写 1或 2或 3。因此每行、每列、每条 对角线上的 5个数的和最小是 15=5, 最大是 35=15。 从 5到 15共有 11个互 不相同的整数值, 把这 11个值看承 11个抽屉, 把每行、 每列及每条对角线上的 各个数的和看承元素, 只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。 因 为每行、每列、每条对角线上的 5个数的和最小是 5,最大是

46、 15,从 5到 15共有 11个互不相同的整数值。而 5行、 5列及两条对角线上的各个数的和共有 12个,所以,这 12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。练习 5:1、能否在 6行 6列方格表的每个空格中,分别填上 1, 2, 3这三个数中的 任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同?为什么?2、证明在 88的方格表的每个空格中,分别填上 3, 4, 5这三个数中的任 一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。3、 在 39的方格图中 (如图 29-2所示 , 将每一个小方格涂上红色或者蓝 色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么?答案

47、:练 11、 1992年共有 366天,把它看成是 366个抽屉,把 370个人放入 366个抽屉 中,至少有一个抽屉里有两个人,因此其中至少有 2个学生的生日是同一天的。 2、 2月份最多有 29天,把它看作 29个抽屉,把 30名学生放入 29个抽屉,至 少有一个抽屉里有两个人,因此这 30名学生中至少有两个学生的生日是在同一 天。3、 一年有 12个月, 把 12个月看作 12个抽屉, 把 15个小朋友放入 12个抽屉中, 至少有一个抽屉里有两个小朋友,因此至少有 2个小朋友是才同一个月出生。 练 21、买书的类型中买一本的有 4种,买二本的有 6种,买三本的有 4种,买 4本 的有一种

48、, 共有 4+6+4+1=15种情况。 把种 15种情况看出 15个抽屉, 要保证有 两位同学买到相同的书,至少要去 16位学生。2、从三周图书种任意借 2本,只有 6种情况。要保证有两个所借的图书属于同 一种,至少要 7个学生。3、玻璃珠子的颜色有三种,要保证有 2个同色,最少应取出 4只珠子。练 31、思路同例 3,最少要摸出 11只手套才能保证有 4付同色的。2、把三种颜色看作 3个抽屉,要保证有一双同色的就要摸出 4只袜子,这时拿出 1双同色的后, 3个抽屉中还剩 2只袜子。以后,只要再摸出 2只袜子就可保 证有一双同色的。因此,要保证有 3双同色的,最少要摸 4+2+2=8只袜子。

49、3、袋中有三种袜子时。每次从袋中拿出一只袜子,有可能拿出 8只都是同一颜 色。在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子,最少要取 3只。因此,最少要拿 出 8+3=11只才能保证其中至少有 2双颜色不同的袜子。练 41、 一个自然数除以 5的余数可能是 0、 1、 2、 3、 4,把这 5种情况看做 5个抽 屉, 6个不同的自然数放入这 5个抽屉,必有一个抽屉中至少有两个数,这 两数的余数是相同的,所以它们的差一定是 5的倍数。2、 一个自然数除以 8的余数可能是 0、 1、 2、 3、 4、 6、 7,把这 8种情况看做 8个抽屉,要保证至少有两个数的差是 8的倍数,就要保证至少有 1个抽屉 里

50、有两个数,根据抽屉原理,要取 9个不同的自然数,才能保证至少有两个 数的差是 8的倍数。3、 一个自然数除以 n 的余数可能是 0、 1、 2、 3、 .n -1,把这 n 种情况看作 n 个抽屉,把(n+1个自然数反复如 n 个抽屉中去,则必有一个抽屉中有两 个数, 这两个数的余数相同, 则它们的差一定能被 n 整除, 也就是 n 的倍数。 练 51、 不可能。 因为每行、 每列、 每条对角线上的 6个数的和最小是 6, 最大是 18。 从 6到 18共有 13个不同的整数值,而 6行、 6列及两条对角线上的各个数 的和共有 14个,所以这 14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 2、

51、因为每行、每列、每条对角线上的 8个数的和最小是 24,最大是 40。从 24到 40共有 17个互不相同的整数值,而 8行、 8列及两条对角线上的各个数 的和共有 18个,所以这 14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。 3、 每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色,每列 3个方格的土色就有 222=8种不同情况,把这 8种情况看做 8个抽屉,根据抽屉原理, 9列中至 少有两列的土色方式是相同的。第三十周 抽屉原理(二专题简析:在抽屉原理的第(2条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而 增加, 当元素总数达到抽屉数的若干倍后, 可用抽屉数除元素总数, 写成下面的 等式:元素总数 =商抽

52、屉数 +余数如果余数不是 0,则最小数 =商 +1;如果余数正好是 0,则最小数 =商。例题 1:幼儿园里有 120个小朋友, 各种玩具有 364件。把这些玩具分给小朋友,是 否有人会得到 4件或 4件以上的玩具?把 120个小朋友看做是 120个抽屉,把玩具件数看做是元素。则 364=1203+4, 4k 1个 元素放到 x 个抽屉里, 那么至少有一个抽屉里含有 m+1个或更多个元素。 可知至 少有一个抽屉里有 3+1=4个元素,即有人会得到 4件或 4件以上的玩具。 练习 1:1、 一个幼儿园大班有 40个小朋友, 班里有各种玩具 125件。 把这些玩具分 给小朋友,是否有人会得到 4件或

53、 4件以上的玩具?2、 把 16枝铅笔放入三个笔盒里, 至少有一个笔盒里的笔不少于 6枝。 这是 为什么?3、把 25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有 7个球?例题 2:布袋里有 4种不同颜色的球,每种都有 10个。最少取出多少个球,才能保 证其中一定有 3个球的颜色一样?把 4种不同颜色看做 4个抽屉, 把布袋中的球看做元素。 根据抽屉原理第 (2 条, 要使其中一个抽屉里至少有 3个颜色一样的球, 那么取出的球的个数应比抽 屉个数的 2倍多 1。即 24+1=9(个球。列算式为(3 14+1=9(个练习 2:1、布袋里有组都多的 5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中

54、 一定有 3个颜色一样的球?2、 一个容器里放有 10块红木块、 10块白木块、 10块蓝木块, 它们的形状、 大小都一样。 当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时, 为确保取出的木块中至少有 4块颜色相同,应至少取出多少块木块?3、一副扑克牌共 54张,其中 1 13点各有 4张,还有两张王的扑克牌。至 少要取出几张牌,才能保证其中必有 4张牌的点数相同?例题 3:某班共有 46名学生, 他们都参加了课外兴趣小组。 活动内容有数学、 美术、 书法和英语,每人可参加 1个、 2个、 3个或 4个兴趣小组。问班级中至少有几 名学生参加的项目完全相同?参加课外兴趣小组的学生共分四种情况, 只参加一个组的

55、有 4种类型, 只参 加两个小组的有 6个类型, 只参加三个组的有 4种类型, 参加四个组的有 1种类 型。把 4+6+4+1=15(种类型看做 15个抽屉,把 46个学生放入这些抽屉,因 为 46=315+1,所以班级中至少有 4名学生参加的项目完全相同。练习 3:1、某班有 37个学生,他们都订阅了小主人报 、 少年文艺 、 小学生优 秀作文三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同? 2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可 以参加两个 (可以不参加 。 某班有 52名同学, 问至少有几名同学参加课外学习 班的情况完全相同?3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:在 31个 搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?例题 4:从 1至 30中, 3的倍数有 303=10个, 不是 3的倍数的数有 30 10=20个,至少要取出 20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是 3的倍数。练习 4:1、在 1, 2, 3, 49, 50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其 中一定有一个数能被 5整除?2、从 1至 120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是 4的倍数?3、从 1至 36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是 5的倍数?例题 5:将 400张卡片分给若干名同学,每