常微分方程证明题(5)

1、常微分方程习题集（5）（五）证明题1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：，其中是常数向量.4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数C的表达式：是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解

2、的共同表达式。9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与有相同的基本解组，则。10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是（LH）的解。（五）、证明题参考答案 1. 试证：如果是满足初始条件的解，那么.证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得： ， 令，则： ， 所以 ， 故 2. 设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数证明：设在区间上连续，由刘维尔公式可知，对任意，它们的朗斯基行列式满足： ， 而在方程中，所以 ， 即 ， 3. 假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组，有一解形如：.其中是常数向量.证明：要证

3、是解，就是要证能够确定常数向量，它使得 ， 即，成立。 亦即 ， 由于不是的特征值，故，从而存在逆矩阵， 那么可取向量 ， ， 这样方程就有形如的解. 4. 设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.证明：先证必要性，设方程为线性方程，即 ， 所以 ， ， 即它有仅依赖与x的积分因子，且 是其积分因子。再证充分性，因为在方程，中所以 ， 如果它有仅依赖与的积分因子，则是的函数，设 关于积分得：，是的可微函数，故方程可表为：是线性方程. 5. 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有.证明：设为方程的任一解，它满足初始值条件，由常数变易法有：， 于是 = 0 + 6. 试证

4、:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解.证明：设为黎卡提方程的一个特解，则 ， 令，则有 整理得： 它是的伯努利方程，可用初等积分法求它的通解. 7. 阶齐线性方程一定存在个线性无关解.证明：设的系数矩阵在区间上连续，任意取定一点和个线性无关的维常向量。 对于每一个，以表示满足初始条件的解向量。 由存在与唯一性定理可知，此解向量在区间上存在且有定义。 由于常向量组是线性无关的，从而向量函数组于区间上线性无关. 8. 设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解。则含有任意常数的表达式：是一阶非齐次线性方程于区间上的全部解的共同表达式。证

5、明：将直接代入一阶非齐次线性方程可知，对任意常数，都是一阶非齐次线性方程的解。 反之，设是一阶非齐次线性方程的任一解，则是其对应齐次方程的解。 任取，由于是其对应一阶齐次线性方程于区间上的一个非零解，所以。 令，则 和都是其对应齐次方程的解，并且在时取相同的值，故由初值问题解的唯一性知，应有，即。9. 设矩阵函数，在（a, b）上连续，试证明，若方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，则，.证明：因为方程组与在（a, b）上有相同的基本解组，所以可设是其基本解矩阵。 从而有： ， 与 ，成立。 所以 ， 又由于是其基本解矩阵，所以，即可逆，故，. 10. 证明： 一个复值向量函数是（LH）的解的充要条件，它的实部和虚部都是