八个有趣模型

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球,三棱锥与长方体的外接球相同）类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求岀球半径方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)22 2 2 2.2 2a b c ，即 2 R . a b c，求岀 R例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C . 244，体积为16,则这个球的表面积是（D . 32(2)若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是(3)在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点,且AM MN ,若侧棱SA 2.3,则正三棱锥S ABC外接球的表面积是解

2、：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下:H，连接SH，如图（3）-1，取AB, BC的中点D, E，连接AE,CD，AE,CD交于则H是底面正三角形 ABC的中心，SH 平面ABC , SHAB，AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,AB SC，同理：BC SA, AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3) -2 , AM MN , SB/ MN ,AMSB, AC SB, SB 平面 SAC,(3)题-1SBSA，SB SC，SB SA，BC SA，SA平面SBC, SASC,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互垂直,(2R)2(2,3)2 (2.3

3、)22 2（2、3）36，即4R 36 ,外接球的表面积是36(4)在四面体S ABC中,SA 平面 ABC , BAC120 ,SA AC 2, AB1,则该四面体的外(5)(6)接球的表面积为（如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为 则该几何体外接球的体积为 6、4、3,那么它的外接球的表面积是 1的等腰直角三角形和边长为1的正方形,类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1 题设：如图5, PA 平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O ；ABC的外心

4、，所以 OO!平面ABC，算岀小圆O1的半径01Dr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin A2r), OO1 PA ；sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2 2 2 1 2 2(2R) PA (2r) 2R PA (2r)； R2 r2 OO12R r2 00：2 题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心0的位置，取 ABC的外心01，则P'OOj三点共线；第二步：先算岀小圆 0勺的半径A01r，再算出棱

5、锥的高P01 h他是圆锥的高）；2 2第三步：勾股定理：0A2 01A201022 2 2R (h R) r ，解岀R.方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，c. 163类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1 题设：如图9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆 的直径）第一步：易知球心 0必是 PAC的外心，即则该几何体外接球的表面积为A. 3B. 2D以上都不对第二步：在2 .如图3 .如图外心9-2，9-3， 三棱锥PaPAC中，可根据正弦定理 -si nAPAC 平面ABC，且ABPAC 平面ABC，且ABABC的三条侧棱相等平面平面PAC

6、的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径ACbsin BBCBC三棱PC 2R，求岀R。 si nC（即AC为小圆的直径）（即AC为小圆的直径），且 P的射影是ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点2r ;ABC的P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步:确定球心0的位置，取 ABC的外心01，则P,0,01三点共线;第二步：先算岀小圆 0勺的半径A01 r，再算岀棱锥的高 P01 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：0A2 01A2 0102R2 （h R）2 r2，解岀R4 .如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径），且 PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径

7、：（2R）2 PA2 （2r）2 2R . PA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12R r2 OO例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1,底面边长为2、3，则该球的表面积为 （2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（3）在三棱锥P ABC中，PA PB PC .3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（）A.B.C. 4D.3（4）已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 直径，且SC2;则此棱锥的体积为（3O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的）A至B.克 C .呢663D.类

8、型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：确定球心 O的位置，01是 ABC的外心，则001 平面ABC ；11第二步：算岀小圆 01的半径A01 r，OO1 AAh（ AA h也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理：0A2 0小2 0Q2 R2 （2 r2 R . r2 （2，解岀R例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为，底面周长为 3，则这个球的体积为8（2）直三棱柱 ABC A1

9、B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA, 2, BAC 120，则此球的表面积等于 .（3） 已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60，则多面体E ABCD的外接球的表面积为 。（4） 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4, AC 6, A, AA 4则直三棱柱 ABC A1BG的外3接球的表面积为 。类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）第一步：先画岀如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找岀BCD和 ABD的外心H1和H2 ； 第二步：过H1和H2分别作平面 BCD和平面

10、ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接OE,OC ；第三步：解 OEH1，算岀OH,，在Rt OCH1中，勾股定理： OH ； CH ' 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三 棱锥P ABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB CD，AD BC，AC BD ） 第一步：画岀一个长方体，标岀三组互为异面直线的对棱；第二步：设岀长方体的长宽高分别为a,b,c, AD BC x, AB CD y, AC BD z，列方程2 ab22 xb

11、22 c2y(2R)22 a222caz补充：VaBCDabc -6abc第三步:根据墙角模型，2R组,b2c22 x2y2 z24abc3v22 2.a2b22 cXy z2 ，图12R2，求岀R,例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 个大圆上，则该正三棱锥的体积是(1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一3.3412(3)在三棱锥ABCD中，若ABCD2, ADBC 3, AC BD 4,则三棱锥A BCD外接球的表面积为 。(

12、4) 在三棱锥 A BCD中，AB CD 5, AC BD 6, AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积为.(5) 正四面体的各条棱长都为、2，则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设： APB ACB 90，求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点0,连接OP,OC，贝0 OA OB OCOP2abO为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径)例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4， 则四面体ABCD的外接球的体积为(八12512BC沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 BAC D，12592，B

13、C12563，沿BD将矩形ABCD折叠,(2)在矩形ABCD中，AB 的外接球的表面积为 类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14,三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。1253连接AC,所得三棱锥A BCD第一步：先现岀内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;图14第二步：求DH BD , PO PH r , PD是侧面 ABP的高；3第三步：由 POE相似于 PDH，建立等式： 些 巴，解岀rDH PD2 题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现岀内切球的截面图，P,O,H三点共线；1第二步：求FH BC，PO PH r，PF是侧面 PCD的

14、高； 2第三步：由 POG相似于 PFH，建立等式： OG 巴，解岀HF PF3 题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画岀四个表面的面积和整个锥体体积；第三步：解出rABCSO ABCSO PAB SOPACSO PBC第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VpABCVoabcVopabV。PacV。Pbc习题：1 .若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为（）A. 3B. 6 C. 36 D 92.三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为, 3的正三角形，SA 2 3，则该 三棱锥的外接球体积等于.3 正三棱锥S AB