几种计算技巧

1、几种计算技巧准确是数值计算的基本要求，迅速是数值计算的较高追求。一些数值计算题，常因数字大、项数多、次数高而使问题表面复杂，通常都是计算与推理两兼的技巧题。进行复杂数值计算的常用技巧是：巧用运算律；凑整组合；裂项相消；反序相加；分解相约等。裂项相消1. 模型1+99 1001计算：丄1x2观察：下列等式：1 =11-1 ,111?1 11，将以上三等式两边相加得1 222 3233 434111=111 1 111 3+ _=1 =1 22 33 422 33444猜想：写出：1n n1应用：直接写出下列各式的计算结果:199 1001+111 +丄+1 2拓展：试在1 , 2, 3,，100

2、这一百个自然数中，挑选 10个数，使这10个数的倒数和 等于1.（提示：利用的结论）。变式:丄丄.丄2 6122099003 77 1111 1555 59提炼:1 1 22 3 3 4 n n 1J1n n d d n2. 应用4731219+201130113+42+1 +IH +3 4 58 9 103.创新11观察下列各式：1 2123 -0 122 3234-1 233 31j3计算：3X (1 X 2+2X 3+3X 4+101X 102)=()A.101X 102X 103B.100X 101X 102 C . 99X 100X 101D .98X 99X 1001 2 2334

3、 川 49 501 2 3234 3 4 5 川 48 49 50反序相加1.模型计算：1+2+3+4+ +100设 s= 1+2+ 3 +4+ +100则s=100+99+98+96+ 1两边相加得：2s=101+101+101+101+ +1012s=101 X100s=101 X100吃=5050变式:12+15+18+21+24+27+30+33+36 1+2+3+4+ + n提炼:其几何解释:对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法(首尾两头加)，问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对 n的奇偶性进行讨论.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观， 形少数时难入微；数形结合百般好，

4、隔离分家万事休” 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联 系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.数形结合的基本思想， 就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图形的性质来求 1 + 2 + 3+ 4 + n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案 是由上到下每层依次分别为 1, 2, 3,，n个小圆

5、圈排列组成的而组成整个三角形小圆 圈的个数恰为所求式子 1 + 2+ 3+ 4 + n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜 线右边，与原三角形组成一个平行四边形此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有(n+ 1 )个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n (n + 1)个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 n (n °，即卩1 + 2+ 3+ 4 + n = n (n T).(1) 仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1 + 3 + 5+ 7+( 2n 1) 的值，其中n是正整数.(要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明)(2) 试设计另外一种图形， 求

6、1+ 3+ 5 + 7+-+ (2n 1)的值，其中n是正整数.(要 求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明)2. 应用2 4 6 川 40015+17+19+ +2013+60 60聖)601 1212312( )-( )-(2 33444551 1 11 + 1 212 31 2 3 4错项相减1.模型2342013计算： 1+2+2 +2 +2 + +2(2013?张家界)阅读材料：求1+2+22+23+24+22013的值.解：设S=1+2+22+23+24+22012+22013,将等式两边同时乘以2 得:23452012201320142S=2+2 +2 +2 +2 + +2+2

7、+22014将下式减去上式得 2S - S=2- 12014即 S=22014 - 1”23420132014即 1+2+2 +2 +2 + +2=2- 1请你仿照此法计算：(1) 1+2+22+23+24+ -+210(2) 1+3+32+33+34+ -+3n (其中 n 为正整数).变式:提炼：21 1 1 + + - + +2342 2 2 21_n除了用上述方法，还可用以下数形结合的方法来解。 几何解释：构造面积为1的三角形或正方形，利用图形间的面积关系可得结果为2n4 1iS2.应用59173365129132481632645234+ 一2223242小3小4小9J02-2-2-2 丄"