§84双曲线的简单几何性质解析几何题怎样求范围

1、解析几何题怎样求范围在解析几何中， 范围问题既是重点又是难点 .由于范围问题能反映学生的思维能力， 因此也一直是高考命题的热点问题 .下面介绍七种求范围的常用方法 .一、利用不等式的性质求范围例 1（ 1997 年全国高考题）已知圆满足：截y 轴所得的弦长为2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3：1，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x 2y=0 的距离最小的圆的方程 .解设圆心为 P（ a,b），半径为 r，则点 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为b , a , 由题设知圆 P 截 x 轴所得的弦长为2r ，故 r 2=2b2.又圆 P 截 y 轴所得的弦长为2，所以有 r2=

2、a2+1，从而有 2b2 a2=1.又点 P（ a,b）到直线 x2y=0 的距离为da 2b2a 24b24aba24b22(a 2b 2 ) 2b2a 21, 5d 2a 2b5当且仅当 a=b 时，d 取最小值1，又由 2b2 a2=1 解得 a=1,b=1，或 a= 1,b= 1，由 r2=2b2 得：r= 2 .5所求圆的方程为（x 1）2+(y 1)2=2, 或(x+1) 2+(y+1) 2=2.二、利用判别式求范围例 2（ 1996年全国高考题）已知l 1、l 2 是过点 P（2 ， 0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2 与双曲线 y2x2=1 各有两个交点，分别为A1、B1

3、和 A2、 B2.（ 1）求 l 1 的斜率 k1的取值范围 .（ 2）若 A1 B15 A2B2，求 l1 ,l2 的方程 .（解略）解 （1）由题意可设l 1、 l2 的斜率分别为k1、 k2（ kyk1 ( x2 )1,k2 0），由2x 2消去 y 得：y1(k121)x 22 2k12 x 2k121 0若 k1210 ，则方程组只有一个解，即l1 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.若 k1210 ，即 k11 ，由(222 )24(21)(22 1)4(3 2 1)0k1k1k1k1得： k13 .3同理可得 k 23 .且 k213 1得11且131,3由,即k1k21 k2k1

4、,k11,k13k1k1由以上可得3k13,且 k11.3k1(3,1)(1,3 )(3 ,1)(1,3) 33三、利用函数的单调性求范围例（年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率 e3，已知点2（， 3) 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程， 并求出椭圆上到点的距离等于 72的点的坐标解设椭圆的方程为x2y21(ab0),e3b121 ,a2 .a2b 2,ae2b2x2y 21. 设椭圆上的点（ x,y）到 的距离为 d，4b2b2则223 222291 22dx( y)4b4 yy3y3( y) 43.42b123 ,3若 b，则当 yb 时， dma

5、xb7 b，231122b7与 b矛盾222若 b1，则当 y1 时, d max24b23, (7) 24b 23,22b1,a2，所求椭圆方程为x2y 21, 所求点为 (3, 1)42四、利用题设条件求范围例（年全国高考题）已知梯形 中， AB2CD ，点分有向线段AC 所成的比为，双曲线过、 三点，且以 、为焦点，当 23时，求双曲线离心率e 的取值范围3 4解 以 的垂直平分线为 y 轴，直线 为 x 轴，建立直角坐标系，则 y 轴，因为双曲线经过、 ，且以 、 为焦点，由双曲线的对称性知、 关于 y 轴对称，设 （ c，）， （ c , h),E( x0 , y0 ) ，其中 c1

6、AB 为双曲线的半焦距，h 为梯形的高，由定比分点22 2坐标公式得：cc(2)ch2x02(1), y011设双曲线的方程为x2y 21，则 ec、 的坐标和 eca2b2，由点 、在双曲线上，将点代aa入双曲线方程得e2h214b2e22)2()2h21(1b241由得 h2e21b24将代入，整理得e2(44 )1 2 ,134e2223 ,21e23334324解得7e10 分析 直线 l 与双曲线 的左、右两支交于 、两点，所以直线 l 与双曲线 的方程联立； 消 y 得 x 的一元二次方程应有异号的两实根， 根据以上条件可得含离心率 e 的不等式解设 （ c，）；双曲线 的斜率大于

7、零的渐近线方程为yb x a (x c)a则 l的方程为 ybya ( xc)由b消 y 后整理得x 2y 21a 2b2(b4a4 ) x22a 4 cx a 2 ( a 2c 2b 4 ) 0 l与双曲线 有两个交点，b4a 40设 A( xA , yA ), B(xB , yB ),则 xA xBa 2 ( a2 c 2b 4 )a 4b4 3 、 两点分别在双曲线的左、右两支上，xA xB0即a 2(a 2c 2b4 )0,b2a2,即 c2a2a2a 4b4即e22.2，故 e双曲线 的离心率 e 的取值范围是（2,) 练习题设 是椭圆 x 2y 21(ab0) 上一点且 °，其中 、是