专题根与系数的关系含答案

1、专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系2例1.已知关于x的方程mx- (2m-1 ) x+m-2=0 .(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根;(2) 若X1、x2为方程的两个不等实数根，且满足 X12+X22-X1x2=2,求m的值.例2.已知关于x的方程x2-4 mx+4m2-9=0 .(1) 求证：此方程有两个不相等的实数根;(2) 设此方程的两个根分别为xi, x2，其中XiVx2.若2xi=x2+1，求?m的值.Q例 3.已知关于 x的方程 mx+ (4-3m) x+2m-8=0 (m>0).(1)求证：方程有两个不相等的实数根;1(2)设方程的两个根分别为X1、

2、X2 (X1<X2)，若n =X2-X1-2m,且点B(m, n) 在X轴上，求m的值.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2 (m+1) x+m2+5=0有两个不相等的实数 根.(1)求m的取值范围;(2)若原方程的两个实数根为X1、X2,且满足X12+x22=|X1|+| X2I+2X1X2，求m的 值.例5.已知关于x的方程X2- (2k+1) X+4 (k-2) =o.(1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根;(2)能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k的值；若不能，请说明理由.c恰好是这个方程的两根(3) 当等腰三角形ABC勺边长a=4,另

3、两边的长b、 时，求 ABC的周长.训练1. 已知关于 X 的方程 mx2- (m+2) x+2=0 (mz 0).(1)求证：方程总有两个实数根;(2)已知方程有两个不相等的实数根 a,p，满足1 1?+?=1, 求 m 的值.2. 已知一元二次方程x2-2 x+m=0(1)若方程有两个实数根，求 m的范围;(2)若方程的两个实数根为xi和X2,且Xi+3X2=3，求m的值.(3) 若方程的两个实数根为xi和X2,且Xi2-X22=0, 求 m的值.3. 已知关于 X 的方程 X2+ (m-3) x-m (2m-3) =01)证明：无论 m 为何值方程都有两个实数根；(2)是否存在正数m,使

4、方程的两个实数根的平方和等于 26?若存在，求出 满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由.4. 已知关于X的一元二次方程x2-6 X- k2=0( k为常数).1)求证：方程有两个不相等的实数根；( 2 )设 X1 、 和 k 的值.5. 已知关于X2为方程的两个实数根，且2xi+X2=14,试求出方程的两个实数根X的方程X2- (2k-3 ) x+k2+1=0有两个不相等的实数根xi、X2.(1)求k的取值范围;(2)若 XI、X2 满足 |X1|+| X2|=2| X1X2I-3，求 k 的值.6.已知关于2 1X 的一元二次方程 X- ( m2 ) x+2m-3=0(1)求证:无论m

5、取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为xi，X2,且2xi+X2=m+1，求m的值.7.已知关于X的一元二次方程(a-1 ) x2-5 x+4a-2=0的一个根为x=3.(1)求a的值及方程的另一个根;(2)如果一个等腰三角形(底和腰不相等)的三边长都是这个方程的根，求 这个三角形的周长.8.设X1, X2是关于X的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值 时，X12+X22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：(1)V方程有两个不相等的实数根,例2.:. =b2-4ac=- (2m-1 ) 2

6、-4m (m-2 ) =4m+1>0,1解得：m>-4,v二次项系数工0,二mM0,例4.*1当m>-4且mM0时，方程有两个不相等的实数根;例5.(2)v X1、X2为方程的两个不等实数根,例6. X1+X2=2?-, X1X2=?-2? ?例7. X12+X22- X1X2= ( X1+X2) 2-3X1X2= (? ) 2 3(?"2)? =2,例8.解得：m1=v2+1, m2=- v2+1 (舍去)；二 m=v2+1.例9.例10.解：(1)v = (-4 m) 2-4 (4m2-9) =36>0,例11.此方程有两个不相等的实数根;例12.4? &

7、#177;v36' C 丄 Cx=w=2m± 3,例13.X1=2m-3 ,X2=2m+3,例14./ 2x1=X2+1 ,2 (2m-3) =2m+3+1,例15.二 m=5.例16.例17.解：(1)v = (4-3m) 2-4m (2m-8 ),例18.2 2=m+8m+16= (m+4)例19.又m>O.( m+4) 2>0 即> 0例20.方程有两个不相等的实数根;例21.(2)v方程的两个根分别为X1、X2 (X1<X2),例22.牛 3?c 2?-8-刘+沪-h , X1?X2例23.n =X2-xi-m，且点 B (m, n)在 x 轴

8、上，例24.12 1/ 4-3?22?-81 X2-X1-2m=2(?+ ?)2 - 4?尹=2()2 - 4 X?厂-尹=0,例25.解得：m=-2 , m=4,例26./ m>0,二 m=4.例27.解：(1)v方程x2-2 (m+1) x+m2+5=0有两个不相等的实数根,例28. =-2 (m+1) 2-4 ( m2+5) =8m-16 >0,解得：m>2.例29.(2)v原方程的两个实数根为X1、X2,例30. X1+X2=2 (m+1), X1?X2=m+5.例31./ m>2,例32.xi+x2=2 (m+1)>0, xi?x2=m2+5>0,

9、例33.xi>0、x2>0.例34.2 2 /Xi+X2=(?+ ?)2-2xi?x2=| xi|+| x2|+2xi?X2,例35. 4 ( m+1) 2-2 (m2+5) =2 (m+1) +2 (m2+5), 即卩 6m-18=0,例36.解得：m=3.例37.例38.例39.方程总有实根;例40.解：(2)v两实数根互为相反数,证明：(1)v = ( 2k+1) 2-16 (k-1) = (2k-3 ) 2>0,例41.例42.(3)当b=c时，则 =0,例43.即(2k-3) 2=0,二 k=|, X1+x2=2k+1=0,解得 k=-0.5 ;例44.方程可化为x

10、2-4x+4=0,. X1=x2=2,而b=c=2,. b+c=4=a不适合题意舍去;x+2=0 (mM 0)是一元二次方程,例45.当 b=a=4,则 4 1 .-+-: ? ?-4(2k+1) +4 (k-1)例46. k=5,2，例47.方程化为x2-6x+8=0,解得 X1=4, x2=2,例48.-c=2, Gabc=10,例49.当c=a=4时，同理得b=2,.°.C AB(=10,例50.综上所述， ABC的周长为10.例51.训练证明：方程 mx2- (m+2)=0,2 2 2 2 = ( m+2) -8 m=m +4m+4-8 m=m -4 m+4= (m-2 )

11、>0, 方程总有两个实数根;(2)解：方程有两个不相等的实数根a,P,由根与系数的关系可得a + B二竽?+2+=1,?解得m=0,mM 0,2.解：(1)v方程x2-2x+m=0有两个实数根,解得mW 1 ；(2)由两根关系可知，Xi+X2=2, xi?X2=m,解方程组?+ 3?；=23，3?=- 解得7,?=2 m=Xi?X2=| X 2=4(3)v xi2-X22=0,( Xi +X2)( X1-X2) =0,v xi+X2=2工0,二 Xi-X2=0,方程x2-2 x+m=0有两个相等的实数根,:. = (-2) 2-4 m=0,解得m=1.3. (1)证明：关于 X 的方程

12、x2+( m-3 )x-m( 2m-3 ) =0 的判别式二(m-3 ) 2+4m (2m-3)2=9( m-1 )> 0,无论m为何值方程都有两个实数根;(2)解：设方程的两个实数根为 XI、X2,则 Xi+X2=- (m-3) , Xi X X2=- m (2m-3),令 Xi2+X22=26,得:22(X1+X2) -2 XiX2= (m-3 ) +2m (2m-3 ) =26,整理，得 5m2-12m-17=0,解这个方程得，m=?或m=-1 ,5所以存在正数m=?，使得方程的两个实数根的平方和等于 26.54. (1)证明：在方程 x2-6x-k2=0 中， = (-6) 2-

13、4X 1X( -k2) =4k2+36>36,方程有两个不相等的实数根.(2)解： XI、X2为方程的两个实数根,Xi+X2=6，xi?X2=- k ,2/2xi+X2=14,联立成方程组?；+?；=614,解之得：?= 82 ,-Xi?X2=- k =-16 ,k=± 4.2 =- (2k-3 ) -45.解：（1）v原方程有两个不相等的实数根,(k2+1) =4k2-12k+9-4k2-4=-12 k+5>0,解得：k< 12；(2)v k< Xi+X2=2k-3 <0,又xi?X2=k2+1> 0, X1< 0,X2< 0,I X

14、l| + | X2|=- Xl-X2=-(X1+X2) =-2k+3,/ I Xi|+| X2|=2| X1X2I-32 -2 k+3=2k +2-3，即2k +k-2=0, ki=1, k2=-2 , k=-2 .6.解：(1)v = ( m-2) 2-4X( 1m-3 ) = (m-3) 2+3>0,无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根;(2)解：xi+X2=m-2，2xi+X2=Xi+( X1+X2) =m+1,Xi=m+1+2-m=3,把Xi代入方程有:9-3 (m-2 ) +2m-3=0解得24m.5.当 2? 2时,Xi2+X22的值最小.7. 解:解得:a=2,(1)将 x=3代入方程中，得：9 (a-1 ) -15+4a-2=0 ,原方程为 x222 Xi +X2 = (X1+X2) -2xiX2=2 (a-2) -4 .-5x+