导数恒成立问题(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】导数恒成立问题1 .已知函数 f(x) = ax2+21n(l-x) (a为实数)(D若f(x)在x = -1处有极值，求a的值；(II)若f(x)在-3,-2上是增函数，求a的取值范围。(D由已知得f(x)的定义域为(f，1)Xf'(x) = 2ax-3 分1-x由题意得 f<1) = -2a 1 = 0=5 分(ID依题意得2r(x)>0对 x e-3, - 2恒成立，/. 2ax ->07 分1 一 x【最新整理，下载后即可编辑】x e-3, -2, 一汽一；)2+；的最大值为一(一2-；)2+； =-6'的最小值为12分又因

2、a =一时符合题意 O!为所求14分O2.设函数 /(x) = nx+x2 + ax.(I)若x = g时，/(x)取得极值，求。的值；(II)若/在其定义域内为增函数，求。的取值范围;解： 解：/'(x) = L + 2x + 4= 2 二一“' a， XX(I )因为x 时，/取得极值，所以广(；)=。，即 2 +1 + a = 0,故 4 = -3 .(II) /的定义域为(Q+s).方程2/+,戊+ 1 = 0的判别式 = /-8,(1)当<(),即一2忘忘时，2x2+v + 1>0,(X)之。在(。+8)内恒成立，此时/)为增函数.(2)当>(),即

3、"-2点或"2便时，要使Ax)在定义域(Q+s)内为增函数，只需在(。+8)内有2/+公+ 1之0即可,设 (x) = 2x2 + ax +1 ,(0) = l>o,由 U八 得"。，所以"2忘. <02x2由 可知，若/在其定义域内为增函数，。的取值范围是-2 夜,+s).9 分3. 设函数/(x) = (l + x)2-21n(l + x).(I )求F的单调区间；(U)若当xwd-Le-l时,不等式F恒成立,求实数 em的取值范围；(出)若关于x的方程/(X)= / +x+a在区间0, 2上恰好有两 个相异的实根，求实数a的取值范围.解

4、(I)函数的定义域为(1+8) 1分/。)= 210 + 1)1 2a(x + 2)由r >。，得x>();由广< o行一 lvx<0.£为的递增区间是9+8),递减区间是(-1,0).(II ) V 由广=2- +2)=0,得 乂=()，行一2 (舍去) X+1由（I）知f在d-L 0上递减,在0/T上递增. e又 /（1-1）= 1 + 2 ,/（e-l） = r-2,且 T_2>+ 2e 夕夕当xwdTeTJ时，的最大值为-2. e故当心/-2时，不等式f恒成立.9分(HI ) 方程/(X)=八二+x + a ,a-n+ I-21n(l+ x) =

5、 0.t 己 j?(x) = A-n+ 1-2 ln(l + x),由屋（x）>0,得X>1或X<-1 （舍去） 由g）<0,得T<x<l.一见在0上递减,在1,2上递增.为使方程f（x） = /+x+。在区间0,2上恰好有两个相异的实根， 只须g（x）=（）在0J和（1,2上各有一个实数根，于是有惴2' 5（2） >0. 2-21n2<3-21n3, . 实数H的取值范围是2-21n2<d<3-21n3. 14分4. 已知函数 /(x) = ax2 + -21nx (x>0). x（I）若/（x）在gs）上单调递增，求

6、实数。的取值范围;I1 2解：（I ）由/（幻="/+-2111工，得（x） = 2ax-r-一.2 分XX X由函数/（X）为口，"）上单调增函数，得广（x）N0在口户）上恒成立, 即不等式2内-1一220在l,+oo）上恒成立. 厂 X也即。之，+工在U,y>）上恒成立. 4分2x 厂令g（X）=/r +上述问题等价于= gCOmax.2x 尸而g（X）= Jr +为在口产）上的减函数，则g（X）max =冢1）= I . 2x 厂2于是,壮;为所求.6分5. 已知函数/(x) = xlnx.(I )求/(的最小值;(II)若对所有xNl都有/(%)Nax-l ,求实数。的取值范围.(I )解：/(X)的定义域为(。，+8),.1分fW 的导数 ff(x) = + nx. 3 分令人外>0,解得"1;令<")<0,解得0c ee从而/(X)在(。，1单调递减，在化+s单调递增.5分e 7 e ；所以，当x = l时，/(X)取得最小值-1. 6分ee解法二:依题意，得/。)之G-1在1，+ 8)上恒成立，即不等式4wlnx + !对于xel, + s)恒成立. 8分X令g(x) = lnx +，, 则 >(x) = 1-L = -f