高考文科数学不等式选讲考点精细选

1、不等式选讲考点精细选一、知识点整合：1 .含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)? f(x)a或 f(x)-a;(2)|f(x)|0)? -af(x)a.(3)对形如|x a|+|x b|wc, |xa|+|xb|c的不等式，可利用绝对值的几何 意义求解.2 .含有绝对值的不等式的性质|a|-|b|a*|(aibi)2, 当且仅当比(当 某切=0时，认为aj = 0, j = 1,2,，n)时等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设 & B为平面上的两个向量，则|吊印)|%咱，当且 仅当这两个向量共线时等号成立.4 .不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、

2、反证法、放缩法、数学归纳法等.练习精细选1 .若关于实数x的不等式|x 5|十|x+3|va无解，则实数a的取值范围是.答案(一OO, 8解析 V|x-5|+|x+3|=|5-x| + |x + 3|A |5x + x + 3| = 8, (|X 5|+ |X + 3|)min = 8,要使|x 5|+|x + 3|a无解，只需a0解得0WxW4.|x-2| C/am /On +Vbm/bn)2=mn(a+ b)2= 2.4 .若不等式|kx 4g2的解集为x|iwxw3,则实数k =.答案 2解析Ikx 4|W2, /. -2kx-42, /.2 kx5+2 M志 4x2y2 = 9,，一，

3、 c c 1，当且仅当x2y2=2时“=”成立.三、典型题型分析题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|, g(x) = x+3.(1)当a= 2时，求不等式f(x) 1,且当x6 2, 2时，f(x)g(x),求a的取值氾围.审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x6 ；, 2时去绝对值，禾I用函数最值求a的范围.解 (1)当 a= 2 时，不等式 f(x)g(x)化为 |2x1|十|2xl2| x30.设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,山/二 15x, x2,V则 y= -x-2,x1,其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x6(

4、0,2)时，y0,所以原不等式的解集是x0x 1,则一22/.f(x)=|2x-1|+|2x+a|4x+l -4；(工T )=4 a+1(一=1；十 口一 1(6皆)J f当 x6 |, 2 时，f(x)=a+1,即a+1Wx+3在x6 1, 1上恒成立.-a+ 1 -a+3,即 a0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R,求m的取值范围.解 (1)由题设知 |x+1|+|x-2|5,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：x2, 1x2,x5x+ 1 x + 25x1 x+25,解得函数f(x)的定义域为(8, -2)U(3, +oo).(2)不等式 f(x)2iP|x+1|+

5、|x-2|m+2,vx R 时，恒有 |x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)| = 35不等式|x+1| + |x 2|m+2解集是R,/.m + 29.，a 2b 3c审题破题 从解不等式f(x + 2)A0出发，将解集和1,1对照求m; (2)利用柯 西不等式证明.(1)解因为 f(x + 2)=m-|x|,f(x + 2)0 等价于 |x|0,且其解集为x| mwxwm.又 f(x + 2)A0 的解集为1,1,故 m=1.(2)证明由知又a, b, c6R由柯西不等式得1 11a + 2b + 3c = (a+2b + 3c) + q. + qa 2b 3C-1 11c“石叵 V

6、2b+V3cV3C2=9-点评：不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放 缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的 关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式 入手达到证明的目的.变式训练2 已知f(x)=|x+1|+|x1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求 M;(2)当 a, b6M 时，证明：2|a + b|4+ab|.(1)解 f(x)=|x+1|+|x1|2x, x 1,=2, 1x1.当 x 1 时，由一2x4,得一2x 1;当一1 WxW 1 时，f(x)=21 时，由 2x4,得 1x2.M = (2

7、,2).(2)证明a, b6M,即一2a2, 2b2,4(a + b)2 (4+ ab)2 = 4(a2 + 2ab+ b2)-(16 + 8ab+ a2b2)= (a2 4)(4 b2)0,.4(a + b)2(4+ab)2,2|a+b|0 时，-4 x2,得 a=2. a ax(2)记 h(x) = f(x)-2f 2 ,1, xw 1,1则 h(x)= 4x 3， 1x1.点评：不等式f(a)ng(x)恒成立时，要看是对哪一个变量恒成立，如果对于? aS R恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x),再解关于x的不等式求x的取值 范围；如果对于？ x R不等式恒成立，则g(x)的最大值小

8、于等于f(a),再解关于 a的不等式求a的取值范围.变式训练 3 已知函数 f(x) = log2(|x- 1| + |x-5|-a).(1)当a = 2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围. 解(1)函数的定义域满足：|x-1|+|x-5|-a0, 即 |x1|+|x 5|a=2.设 g(x) = |x-1|+|x-5|,2x 6, x5,则 g(x) = |x5|= 4, 1x5,6-2x, xa = 2, f(X)min = l0Q2(4 2)= 1.(2)由(1)知，g(x)=|x1|+|x 5|的最小值为 4,|x-1|+|x-5|-a0

9、,a0).(1)当a=1时，解不等式f(x)8;(2)若f(x)A6恒成立，求正实数a的取值范围.规范解答2 3x, x0,解 (1)f(x)=|x|+2|x1|= 2-x, 0x1.当 xvO 时，由 2 3xW8,得2Wx0；当 0WxV1 时，由 2 xW8,得 0WxW1;当x1时，由3x2W8,解得1xw综上，不等式f(x)W8的解集为一2,107.10 八 了 .5 分2a3x, x0,(2)因为 f(x) = |x|+2|xa|= 2ax, 0xa.可见f(x)在(00, a)上单调递减，在(a, 十)上单调递增，所以当x = a时，f(x)取最小值a,所以a的取值范围是6, +

10、-). 10分评分细则(1)f(x)去绝对值得分段函数给2分；三种情况下的解集错一种扣1分, 没有最后结论扣1分；(2)求出f(x)的单调性给至8分.阅卷老师提醒(1)含有绝对值式子的函数，实质上就是一个分段函数，根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即 可.(2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论.五、小题冲关1.不等式|2x+1| 2|x 1|0的解集为.答案1x x4解析2.设 a,1原不等式等价于 |2x+1|2|x1|? (2x+1)24(x1)2? xq.b, c, x, y, z是正数，且 a2 + b2 + c2=10, x

11、2+y2 + z2= 40, ax+by+ cz=20,贝U答案a+b + c x+y+z12解析通过等式找出a + b+c与x + y + z的关系.由题意可得 x2+y2+z2 = 2ax + 2by+ 2cz,与a2 + b2 + c2= 10相加可得(x a)2 +(y- b)2 + (z c)2 = 10,x a= b,所以不妨令 yb=b,yb=c,z c = cz c = za+ b + c i则 x + y + z= 2(a + b+c),即=己x+y+z 23.若a,b, c6 (0, 十),且 a + b + c= 1,则+，b+,的最大值为答案 ，3解析(5+如+优)2

12、= (1 x g +1 X如+1 X也)2|x + 2|.|x+2|/.x2 + 2x + 1x2 + 4x + 4, /.2x + 311 x1 .f(x)的最小值为1.所以当a41时，f(x)wa有解.6.对于任意的实数a(a#0)和b,不等式|a+b|+|ab|AM同恒成立，记实数 M的 最大值是m,则m的值为.答案 2解析 不等式|a+b|+|ab|n M |a|恒成立，|a + b| + |a b|即M 0 时等号成|a + b|+|a b|a+b|+|a b|立，即|a|A|b附，A2成立，也就是的最小值是2.|a| |a|六、专题限时规范训练 一、填空题1 .不等式|x + 3|

13、-|x-2|3的解集为:答案x|x1解析原不等式可化为：x -3,3x2,或或-x-3 + x-23x+3+x-23x+3-x + 23,x6 ?或1Wx2./.不等式的解集为x|x1.2 .设 x0, y0, M = ox+y , N = -+-,则 M、N 的大小关系为.2+ x + y2+ x 2 + y答案 MN解析 N = -+ +-y =Jy = M .2+x 2+y 2+x+y 2+x+y 2+x+y3 .对于实数x, y,若|x1|W1, |y 2|W1,则|x2y+1|的最大值为.答案 5解析 .|x1|W1, 1Wx1W1,0x2.又 |y2|W1, -a 1Wy 2W 1

14、, . 1WyW 3,从而一 6w - 2yw - 2.由同向不等式的可加性可得6x-2y0,/. -5x-2y+ 11,.|x 2y+1|的最大值为 5.4 .若关于x的不等式|a|A|x+1|+|x 2|存在实数解，则实数 a的取值范围是答案(一s, 3U3, +s)2x+ 1 x 1 ,解析vf(x) = |x+1| + |x-2|= 3 1x2 ,. f(x) 3.W|a|x+1|+|x-2| 有解，需满足|a|A3,即aw3或a43.二、解答题5 .设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M ;(2)若a, b6M,试比较ab+1与a+b的大小.解 (1)由|2x1|1 得一12

15、x11,解得 0Vx1,所以 M = x|0x0, 故 ab+ 1a + b.16 .若不等式x + i |a 2|+1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围. 解 V X + 1 2, /.|a-2|+12,1a3.1157.已知实数x, y满足:|x+y|2，|2x-y|g,求证：7I语 证明 因为 3|y|=|3y|=|2(x + y)-(2x-y)|2|x + y|+|2x-y|,11由题设知 |x+y|vg, |2x y|v&, 2 155从而3|y|m对一切实数x恒成立，求实数m的取值 范围.解 方法一 (1)由 f(x)w3 得 |x a|03,解得 a30xWa+3.又已

16、知不等式乂)3的解集为口|1乂&5,a 3 = - 1, 所以解得a =2.a+ 3=5,(2)当 a = 2 时,f(x) = |x-2|,设 g(x) = f(x) + f(x + 5),2x 1, x 3,于是 g(x)=|x 2|+|x+3|= 5, -3x2.所以当xv 3时，g(x)5；当一3WxW2 时，g(x) = 5;当 x2 时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x) + f(x + 5)m,即g(x)4m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为 (一,5.方法二 (1)同方法一.(2)当 a = 2 时,f(x) = |x2|.设 g(x) = f(x) + f(x + 5).由|x 2|+|x+3|A|(x 2)(x + 3)| = 5(当且仅当一3WxW2 时等号成立)，得 g(x) 的最小值为5.从而，若f(x) + f(x+5) Am,即g(x)Am对一切实数x恒成立，则m的取值范围 为(oo , 5.9. 已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)w6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2,2x+1 + 2x-3 62x+1 2x-3 61x一2,或 22x+1 2x-3 6.一、3. 13 ,、1解N得 2xW2