武汉科技大学概率论期末考试11-12-1试题及答案

1、 20112011-2012学年第1学期概率论与数理统计A 卷考试方式:闭卷三四五总分总分人复核人1112131415161718得分签名一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.1.设,A B 为两个随机事件,其中0(1P B <<,若(|=(|P A B P A B ,则必有(AA B 事件;(BA B 事件,互不相容;(CB A 事件;(DA B 事件,相互独立.答:(2.设随机变量X 的分布函数为0,012,01(23,131,3x x F x x x <<=<,则(1P X =等于(A2/3;(B1/2;(C1/6;(D0.答:(3.设X 服

2、从区间(0,5上的均匀分布,则关于t 的一元二次方程24420t Xt X +=有实根的概率为(A0.6;(B0.4;(C0;(D1.答:(4.随机变量X 和Y 独立同分布,方差存在且不为0.记U X Y =,V X Y =+,则(AU 和V 一定不独立;(BU 和V 一定独立;(C U 和V 一定不相关;(D以上选项都不对.答:(5.总体X 的分布为(0,1N ,15,X X 为取自X 的简单样本,则下列选项不正确的是得分学院:专业:班级:姓名:学号:(A(4t ;(B22212322452(2,33X X X F X X +; (C(0,1N ;(D222231(22X X X + .答:

3、(二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.6.设,A B 为随机事件,(0.5,(0.2P A P A B =,则(P AB =_.7.设连续型随机变量X 的分布函数为0,1(arcsin 2,111,1x F x k x x x <=+<,则常数k =_.8.已知,X Y 相互独立,4,1DX DY =,则(2D X Y +=.9.随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数,从抽取的样本算得样本均值25.5x =,样本标准差 2.4s =.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的,则总体均值µ的置信度为95%的置信区间为.(已知0.025(16 2.1199t

4、=,0.025(15 2.1315t =,0.05(15 1.7531t =10.某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险,每辆每年的保费为50元.若车丢失,则得赔偿车主1000元.假设车的丢失率为125.由中心极限定理,保险公司这年亏损的概率为.(已知(1.250.8944,(2.50.9938=三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分.11.某商店购进甲厂生产的产品20箱,乙厂生产的同种产品15箱,其中甲厂每箱装有一等品74个,二等品6个;乙厂每箱装有一等品95个,二等品5个.从这35箱中任取一箱,从中任取一个,(1求取到二等品的概率;(2若取到二等品,问这个二等品来自甲

5、厂的概率.得分得分12.设随机变量X 的概率密度函数为,01(0,b ax x f x <<=其它,且(1218P X =,求:(1常数,;a b (2设2X Y e =,求Y 的概率密度函数(Y f y .13.二维随机变量(,X Y 的联合密度函数为:24,01,0(,0,x x y x f x y <<<<=其它求:(12(P Y X ;(2(,X Y 关于X 的边缘密度函数(X f x ;(3条件概率(1|14P Y X =.得分得分14.设随机变量Y 在区间(0,3上服从均匀分布,随机变量 0,1,21,k Y k X k Y k=>.求:(

6、112(,X X 的联合分布律;(212(,X X 的相关系数12X X .15.据以往经验,某种能力测试的得分服从正态分布(62,25N ,随机抽取9个学生参与这一测试,他们的得分记为19,X X ,设9119i i X X =.(1求(|62|2P X ;(2若得分超过70分就能得奖,求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数(表示得分得分密封区域16.设总体X 的概率密度函数为(x f =1,00xe x >,其它,其中(0>是未知参数.设1,n X X 为该总体的一个容量为n 的简单样本.(1求的最大似然估计量;(2判断是否为的无偏估计量.四、解答题(本大题共1

7、个小题,5分.17.设随机变量X 在区间,-上服从均匀分布,求min(|,1E X .得分得分学院:专业:班级:姓名:学号:五、应用题(本大题共1个小题,5分.得分18.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0万元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求这部机器在一周内产生的期望利润(结果保留到小数点后面两位. 20112011-2012学年第1学期概率论与数理统计A 卷评分标准一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.1.设,A B 为两个随机事件,其

8、中0(1P B <<,若(|=(|P A B P A B ,则必有(AA B 事件;(BA B 事件,互不相容;(CB A 事件;(DA B 事件,相互独立.答:(D 2.设随机变量X 的分布函数为0,012,01(23,131,3x x F x x x <<=<,则(1P X =等于(A2/3;(B1/2;(C1/6;(D0.答:(C3.设X 服从区间(0,5上的均匀分布,则关于t 的一元二次方程24420t Xt X +=有实根的概率为(A0.6;(B0.4;(C0;(D1.答:(A 4.随机变量X 和Y 独立同分布,方差存在且不为0.记U X Y =,V X

9、 Y =+,则(AU 和V 一定不独立;(BU 和V 一定独立;(CU 和V 一定不相关;(D以上选项都不对.答:(C 5.总体X 的分布为(0,1N ,15,X X 为取自X 的简单样本,则下列选项不正确的是(A(4t ;(B22212322452(2,33X X X F X X +; (C(0,1N ;(D222231(22X X X + .答:(B二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.6.设,A B 为随机事件,(0.5,(0.2P A P A B =,则(P AB =0.7.7.设连续型随机变量X 的分布函数为0,1(arcsin 2,111,1x F x k x x x

10、<=+<,则常数k =1.8.已知,X Y 相互独立,4,1DX DY =,则(2D X Y +=17.9.随机从一批香烟中抽取16包测其尼古丁含量的毫克数,从抽取的样本算得样本均值25.5x =,样本标准差 2.4s =.设香烟中尼古丁含量的分布是正态的,则总体均值µ的置信度为95%的置信区间为(24.2211,26.7789.(已知0.025(16 2.1199t =,0.025(15 2.1315t =,0.05(15 1.7531t =10.某保险公司接受了某辖区内600辆电动自行车的保险,每辆每年的保费为50元.若车丢失,则得赔偿车主1000元.假设车的丢失率为

11、125.由中心极限定理,保险公司这年亏损的概率为0.1056.(已知(1.250.8944,(2.50.9938=三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共60分.11.某商店购进甲厂生产的产品20箱,乙厂生产的同种产品15箱,其中甲厂每箱装有一等品74个,二等品6个;乙厂每箱装有一等品95个,二等品5个.从这35箱中任取一箱,从中任取一个,(1求取到二等品的概率;(2若取到二等品,问这个二等品来自甲厂的概率.解:(1设B :取到二等品;1A :取到甲厂生产的箱子,2A :取到乙厂生产的箱子,则取到二等品的概率为1122(|(|(.(3'620515.(4'803510035

12、9140.P B P B A P A P B A P A =+=×+×=.(5'(2二等品来自甲厂的概率为1111(|(|.(8'(620803523.(10'9140P A B P B A P A P A B P B P B =×=12.设随机变量X 的概率密度函数为,01(0,b ax x f x <<=其它,且(121P X =,求:(1常数,;a b (2设2X Y e =,求Y 的概率密度函数(Y f y .解:(1由密度函数的性质101201(1.(3'18(12b b f x dx ax dx P X ax

13、 dx+=可得3, 2.(5'a b =(2由题意223ln ,18(.(10'0,Y y y ey f y <<=其它13.二维随机变量(,X Y 的联合密度函数为:24,01,0(,0,x x y xf x y <<<<=其它求:(12(P Y X ;(2(,X Y 关于X 的边缘密度函数(X f x ;(3条件概率(1|14P Y X =.解:(1由题意22122(,:140(,4.(3'445.(4'x x y y x P Y X f x y dxdy x dx dy x dx =(2由边缘密度函数的定义2304,01

14、4,01(.(7'0,0,xX x dy x x x f x <<<<=其它其它 (3由条件概率的定义18|18180(18|14(|14.(9'(14,412.(10'(14Y X XP Y X f y dy f y dy dy f =14.设随机变量Y 在区间(0,3上服从均匀分布,随机变量0,1,21,k Y k X k Y k=>.求:(112(,X X 的联合分布律;(212(,X X 的相关系数12X X .解:(1由题意12(0,0(1,213P X X P Y Y =;12(0,1(1,20P X X P Y Y =>

15、=;12(1,0(1,213P X X P Y Y =>=;12(1,1(1,213P X X P Y Y =>>=.故12(,X X 的联合分布律为.(5'(2由(1可得11221223,212(13.(8'EX DX EX DX E X X =故1212.(10'X X = =15.据以往经验,某种能力测试的得分服从正态分布(62,25N ,随机抽取9个学生参与这一测试,他们的得分记为19,X X ,设9119i i X X =.(1求(|62|2P X ;(2若得分超过70分就能得奖,求至少一个人得奖的概率.(结果用标准正态分布的分布函数(表示解

16、:(1由题意|62|2(|62|2.(2'53532(1.2 1.(5'X P X P =(2由题意1991911(70,70.(7'1(70.(8'6270621(P X X P X X P =9.(10'16.设总体X 的概率密度函数为(x f =1,00xe x >,其它,其中(0>是未知参数.设1,n X X 为该总体的一个容量为n 的简单样本.(1求的最大似然估计量;(2判断是否为的无偏估计量.解:(111(.(2'ixni L e =似然函数为2X 1X 0101/3011/31/3概率论与数理统计 A 卷 共 12页 第

17、 11页 对数似然函数 ln L( = n ln n 1 n xi .(3' i =1 令 d ln L( n 1 =0 + 2 d n x i =1 i i = 0. .(4 ' 的最大似然估计量 （2）由题意 X i =1 = n . .(5' EX i = , i = 1, , n. .(7 ' 而 n EX i =1 i E = n = . .(9' 故 是的无偏估计量. . .(10' 四、解答题（本大题共 1 个小题，5 分）. 17设随机变量 X 在区间- , 上服从均匀分布，求 Emin(| X |,1 . 解： X 的概率密度函

18、数为 1 , < x < f ( x = 2 . .(1' 0, 其它 故 Emin(| X |,1 = min(| x |,1 f ( x dx. .(3' + = x:| x|<1 1 | x | f ( x dx + x:| x|1 f ( x dx.(4' . 1 1 1 1 dx + dx + dx = 1 1 2 .(5' 0 2 1 2 2 五、应用题（本大题共 1 个小题，5 分）. 18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2， 机器发生故障时全天停止工作.若一 周 5 个工作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二 次故障所获利润 0 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元. 求这部机器在一 周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）. 解： 假设 X 表示一周内发生故障的天数. 则 X b(5, 0.2.(1' . 因此 P( X = 0 = 0