五种方法法求二面角及限时练习

1、五种方法求面角及练习题定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S AM B中半平面ABMLh的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）;在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱AM的垂线（如GF），这两条垂线（BFGF便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 （2009全国卷I理）如图，四棱锥S面ABCD为矩形，SD

2、 底面ABCD，ADABCD 中,CDC SD 2，点 M在侧棱 SC上, ABM=60°（I ）证明：M在侧棱SC的中点（II ）求二面角S AM B的大小。交AM于证（I ）略AS 于 G,解（II ）:利用二面角的定义。在等边三角形ABM中过点fB作BF AM 点F，则点F为AM的中点，过F点在平面 ASM内作GF aM，连结 AC, ADCAADS 二 AS-AC,且 M是 SC的中， AM! SC, GF丄 AM, / GF/ AS,又 t F 为 AM的中点, 一 GF是 AMS的中位线，点G是AS的中点。贝U GFB即为所求二面角.2 SM 湮，则 GF 二，又 SA

3、AC 76，二 AM 2 AM AB 2, ABMABM是等边三角形， BF 73在 GAB 中, AG 2ABGAB900 ,GF2 FB2 BG2cos BFG 2GF FB二面角S AM B的大小为arccos(练习1 （2008山东）如图，已知四棱锥P-ABCDABC为菱形，P从平面ABC, ABC60 ,E,匚分底面«赴F别是BC PC的中点.(I)证明：AElPD（n）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所£CB大角的正切值为 垂，求二面角E AF C的余弦值.2分析：第1题容易发现，可通过证 AElAD后推出AEl平面APD使命题获证，而第2题，则首先必须在找

4、到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱 AF上找到可计算二面角的平面角的顶点S,和两边SE与SC,进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为芳） 二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。半平面BFC上的一已知点B作另一半平面FCC垂线，得垂足0;再过该垂足O作棱FC的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段 PB,便成了三垂线定理的基本构图（斜线 PB垂线 -I- r/“/ XEFB0射影0P。再解直角三角形求二面角的度数。例2. （2

5、009山东卷理）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中，底面ABCD为等腰梯形,AB 111111"11111 OBOFCiFOPJ22 22 21 F1 / !iLP 亠IZ=AFABEBBPJOP2 OB22 C0SOPB OPBP旦 £ 练习2 ( 2008天津)77如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是矩形.已知 AB 3, AD2, PA 2, PD 2屁 PAB 60 .(I)证明AD平面PAB ；（n）求异面直线PC与AD所成的角的大小;（川）求二面角P BD A的大小.7 I V/W'I 仝"7 J” E / BC分析：本题

6、是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD丄平面PAB后,容易发现平面 PABI平面ABCD点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面 ABCD勺垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角P BD A的大小为arcta）4三.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平CB面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例3 （2008湖南）如图所示，四棱锥 P-ABCD勺底面ABCD是边长为1的菱

7、形，/BC&60 °，E是 CD的中点，PAI底面 ABCD PA= 2.（I）证明：平面 PBEL平面PAB（n）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）分析：本题的平面 PAD和平面PBE没有明确的交线,依本法显然要补充完整（延长AD BE相交于点F，连结PF ）再在完整图形中的PF上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（I）证略解:（n）延长AD BE相交于点F，连结PF过点A作AHL PB于H,由（I）知平面PBEL平面PAB所以AHL平面PBE在 Rt ABF中，因为/ BAF= 60°，所以，AF=2AB=2=AP在等腰Rt PAF中，取PF的中点G

8、,连接AGFCB则AGL PF连结HG由三垂线定理的逆定理得,PF丄HG所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰Rt PAF中, AG 返PA272.在 Rt PAB中,所以，在 Rt AHGKsin AGHAHAG255故平面PAC和平面PBE所成二面角（锐角）练习3已知斜三棱柱 ABC-ABQ的棱长a,侧棱与底面成60°的角，侧面BCCBi丄底面（1）求证：AG丄BC;（2）求平面 ABC与平面ABC所成的二都是ABC（锐角）的大小。提示：本题需要补棱，可过 A点作CB的平行线L（答案：所成的二面角为 45°）S射影四、射影面积法（cosq

9、=二影）S凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos%）求出二面角的大小。例4. （2008北京理）如图，在三棱锥PAC BC 2, ACB90°,AP BP AB, PCAC .ABC 中,(I)求证：PC AB ;（n）求二面角 B AP C的大小;分析：本题要求二面角 B-AP-C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面AGP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射于是得到下面解法。解：（I）证略(U) Q AC BC , AP BP , APC BPC .又 PC AC , PC BC .又

10、ACB 90°，即 AC BC，且 AC I PC C ,取AP中点E .连结BE, CE .BC 平面PAC .Q AB BP , BE AP .Q EC是BE在平面PAC内的射影,CE AP . ACE> ABE在平面 ACP内的射影,于是可求得： AB BP AP Jac2 cb2242 ,BEJab2 ae2 76 ,AE EC 丘则 S射 Sage1 IllAE?CE J2?J22设二面角BAP C的S寸cos 一S原113二面角BAPC的大小为43arccos 3练习4:如图5,E为正方体ABCD-ABCDEC图5的棱CG的中点，求平面 ABE和底面ABCDi所成锐

11、角分析 平面ABE与底面ABCD交线即二面角的棱没有给出，要找到二面角的平面角，则必须先作两个平面的交线， 这给解题带来一定的难度。 考虑到三角形ABE 在平面ADCiD上的射影是三角形 ABQ，从而求得两个三角形的面积即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值为 cos 0二？）.3五、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立 体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐 标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。ADDEAD(III例 4 : ( 2009A由AM1 1 1 %，

12、CE0, 1, , BF DE 600( II )证明：0,2,0，可得 CE?AM 0，）解：设平面CDE的法向量为u（X，y，z），则u?CE0,1,0,1，u?DE0.又由题设，平面ACD的一个法向量为(0,0,1).练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中，平面 ABC 侧面 AABB1.(I)求证：AB BC ;X(n)若直线AC与平面ABC所成的角为A BC A的大小为，试判断与的大小予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB Ai±平面平面ABC于是很容易想到以 B点为空间坐标ZC,耳C7关系，并BCCBi 丄立坐标系，并将相关线段写成用坐标表

13、示的向量,先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。(答案：arcsin，且 aCyia cIV 厂 a,)b _? 4a ?总之，上述五种二面角求法中，前三种方法可以说是三种增添辅助线的一般规律，后两种是两种不同的解题技巧，考生可选择使用。i. 如图，已知在三棱柱 ABC ABiCi中,三个侧棱都是矩形，点D为AB的中点.AiCi上一BiAC 3, BC 4, AB 5, AAi 4求证AC BCi ；求证 AC1 P平面CDB1 ；求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值*- 2.如图，已知正方形 ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角，求直线BD与平面

14、ABEF所成角的正弦值。3.如图，在棱长为 a的正方体 ABCABQD中,(i)面AABB与面ABCD所成角的大小;AI丿A； /(2)二面角Ci BD- C的正切值CB(3)二面角 B1 BG D4.过正方形ABCD勺顶点A作PA八平面ABCD , 设PA=AB=a (1)求二面角B- PC- D的大小;求二面角C-PD-A5.如图所示，四棱锥 P ABC啲底面ABC是边长为1的菱形，/ BC圧60°, E是CD的中点，P/U底面ABCD P¥ 73.(1) 证明：BE丄平面PAB(2)求二面角 A- BE- P的大小(3) PB与面PAC的角6如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD/BC, ABC 90 ,PA平面ABCDPA 3, AD 2, AB 2/3 bc=6(1)求证:BD平面PAC;求二面角P BD A的大小.(3)求二面角B-PC-