第三章模型的初步识别与参数的矩估计2

1、§3 参数的相关矩估计方法介绍如何利用样本自协方差函数或样本自相关函数，对模型参数进行粗略估计. 当为序列时，矩估计与下一章精估计相差无几. 另外，在实际使用时，还须注意是否在允许域内，只有在允许域内，所得到的参数矩估计才在相应的平稳域或可逆域内.下面分别就三种不同模型叙述参数的矩估计法（含具体公式，求解方法和举例说明）.一、模型参数的矩估计在中用代替并解出即得 （I）文献中常称这样解出的为的Yule-Walker估计，再将这些代替中的，便得到 （II）（I）和（II）为模型参数矩估计的全部公式（简单易行且与下一章精估计相差不大）下面以和为例.模型参数的矩估计为：模型参数的矩估计为：

2、（Cramer法则）利用以上两式，我们就上节数值实例（c）和（d）对模型（c），（d）的参数求矩估计，结果如下（c）模型参数矩估计为，与其真值相比，误差分别为，由附录§4、§5知（P316，P332335）由此可见，与相近；与亦相近.（d）模型参数矩估计为：，与其真值，相比，误差分别为，仍然由附录4（P316）知：（Rao-Cramer下界）由此可见，虽然比它们的均方根值稍大，但都没超过2倍.二、模型参数的矩估计在中，用代替便得到方程组： （I）由此解出的便是模型参数的矩估计. （I）式是一个元二次方程组，有三种解法：1直接解法：当时，（I）式为，代入前一式得，由此解出，再

3、代入便知：至于在和的两种可能值应取哪一个，由可逆性条件帮助判断. 由第二章可逆域推知，应当取满足条件作为的估计.注意由可得因此应取和的矩估计为： （II）当时（I）式为由方程后两式解出，将它们入方程的第一式可得：这是的四次方程，它有四个根，因此亦有四种可能的解，据可逆性条件，从中可选出唯一的合理解来. 由第二章可逆域，经过初等烦琐的讨论，可解出的矩估计分别为：式中的正负号“”依或，而分别取“”或“”，按上面方法从到逐步消元解（I）式，最后需解的次方程，而在以后，这类方程一般只能用数值解法，只有当较小时，或高次方程易解时，才用直接解法，当较大时，可用下面的迭代计算方法.2线性迭代法，先将（I）式

4、改写成 （III）给出和的一组初值（例）代入（III）式左边，于是得和称为和的一步迭代值，再将它们代入（III）右边又得到和. 以此方式重复直到迭代至和与和出入不大时，便停止迭代（例这两步迭代值之差的各分量绝对值比预定精度均小）于是和作为（III）之近似值.3Newton-Raphson算法：将（I）式改写为： （IV）我们暂令和，于是（IV）可写为： （V）将上方程组左边各式分别记做并记易见按照Newton-Raphson迭代原则，如果第步迭代值为，那么第步的须满足 （VI）即.只要给出初值，便可依（VI）式进行迭代运算；按上面2同样办法，决定何时停止迭代，以最后的做为（V）式的近似解，于是

5、（I）式的近似解取为，利用所介绍的各种算法，对（a）（b）参数求矩估计，其结果如下：（a）参数矩估计为它们与各自的真值误差分别为.（b）参数估计（矩估计）按法2计算，其初值可取为它近似于模型，只由于不在允许域内，才改定为模型，（只是由于）我们不防就从模型可逆域的边界上开始迭代，头几步迭代结果如下：迭代两步，诸参数变动就不太大了，继续下去也无多少改进. 于是可取矩估计为，它们与各自真实值，的误差分别是三、模型参数的矩估计模型参数的矩估计（）分三步：1首先给出自回归参数向量的矩估计：在中，以代替可解出即 （I）2令 （II）其协方差函数为它类似于P57. 其中，再以 （III）作为的估计，即把当作

6、样本自协方差函数.3将近似看作序列，即并用前面介绍过的方法求和的矩估计，首先列出方程 （IV）然后用直接解法或迭代法求其解，其解即模型的滑动平均参数和的矩估计，对模型而言，这种参数估计方法精度更差，例P9596（e）.P98-102§4 模型识别的多样性与均值的判断从前面的例子可以看出，对一个样本序列进行模型识别时，有时可能给出几种不同的识别结果. 比如对模型（2.1.16d），既可以识别为模型，也可以识别为模型. 当高阶参数或的值越接近于零时，越容易出现多样性的识别结果；当接近平稳可逆域的边界时，也有这种情况出现. 下面举一例说明产生这种多样性的原因.我们考虑以下的模型 （3.4.

7、1）其中. 由此可以导出 （3.4.2）根据第二章§2例6可知而（3.4.2）式右边第三项不仅与前两项相互独立，而且其方差相对前两项是很小的，即因此，（3.4.2）式中的第三项几乎可以忽略. 这样（3.4.2）式与模型 （3.4.3）就很难区分了. 此外，根据样本自相关函数识别模型时，样本自相关函数又有一定的误差，因此，在模型本身就很相近时，识别时也就更容易出现多样性现象.在出现多种可能的识别结果时，一般说来，识别结果中的模型阶数常常是相同的. 上面所举的例子，从理论模型上恰好说明了这一点，因为（3.4.1）式为模型，而它与（3.4.3）式十分相近，即与模型很相近，其中两个模型相应的

8、都等于1.虽然在识别中会出现多样性，但是这些模型与真实模型还是十分相近的，因为它们的自协方差函数非常接近. 我们已经指出过，自协方差函数相同时，相应的随机序列的预报、控制或模拟等问题的解也是相同的；不难想到，自协方差函数十分相近的随机序列，它们的预报、控制或模拟等问题的解也是非常接近的. 因此，不会因为这种识别的“错误”（识别常常是做为近似描述的手段），而严重影响时序分析的应用效果.在本章§2中介绍模型初步识别方法的要领时，特别指出对于含有非零均值项的情形，需要减掉均值项. 对于的均值为常数的情形，在实际应用中具有特殊重要性，因此在这里着重考虑这种情况的分析处理方法. 当不为零而又未

9、知其真值时，从中去掉的方法常常是取 （3.4.4）其中是的样本均值. 如果时仍用（3.4.4）式来“零化”数据，就会引起估计精度的下降. 可见在对数据进行时序分析时，判断一下为零与否是很有必要的.为了判断是否为零，我们来分析一下的性质. 首先 （3.4.5）注意对于ARMA序列，总被一负数函数所控制. 所以因此再根据前式便得到如下的渐近等式 （3.4.6）若为正态序列，则也是正态变量，其均值和渐近方差由（3.4.5）和（3.4.6）式给出，因此根据正态分布可知 （3.4.7）若上式变为 （3.4.8）由此便可以判断与否. 若实际算出的不满足，我们有理由否定，而认为. 事实上如果真的是零，我们的判断就犯了以假为真的错误，而根据（3.4.8）式，犯这种错误的概率只有0.3%.下面我们根据（3.4.6）式给出几种常用低阶模型的的公式模型，模型，模型，模型，模型，在求以上诸式时，要用到第二章§2中的公式或相应的例子，我们不去一一推导了. 当然，在实际应用时，公式中的以及一般只能用它的估计值代替. 最后，仍以本节用过的伪随机序列的数值结果作为例子，但是仅考查（2.1.16a）和（2.1.16c）两个模型（2.1.16c）模型的300个样本数据所计算出的，而若把