2018年天津市高考数学试卷(理科)

1、第1页（共26页）2018 年天津市高考数学试卷（理科）.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(5.00 分)设全集为 R,集合 A=x|0vxv2 , B=x|x 1，贝UAA(?RB)=x|0vxbc B. bac C. cba D. cab6.（5.00 分）将函数 y=sin（2x）的图象向右平移个单位长度，所得图象5|10对应的函数（）A.在区间半，竺上单调递增B.在区间空，n上单调递减444c.在区间平，卑耳上单调递增 D.在区间空，2 询上单调递减4227. （5.00 分）已知双曲线 =1 （a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲

2、线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线 的距离分别为 d1和 d2，且 d1+d2=6，则双曲线的方程为（）2 I 222 I 2| I 2| I 2| I 2|A. L-匚=1 B.-匚=1 C.匚-匚=1 D. L-L=11212439938.（5.00 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD 丄 CD,/ BAD=120,AB=AD=1 若点 E 为边 CD 上的动点，则乔豆的最小值为（）一 B5第4页（共26页）二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.（5.00 分）i 是虚数单位，复数I=_.）5的展开式中，x2的系数

3、为11. （5.00 分）已知正方体 ABCD- A1B1CD1的棱长为1,除面 ABCD 外，该正方 体其余各面的中心分别为点 E, F, G, H, M （如图），则四棱锥 M - EFGH 的体12. （5.00 分）已知圆 x2+y2- 2x=0 的圆心为 C,直线,（t 为参数）与该圆相交于A, B 两点，则 ABC 的面积为13.（5.00 分）已知 a, b R,且 a-3b+6=0，则14.（5.00 分）已知 a 0,函数 f （x）=若关于 x 的方程 f10. （5.00 分）在（x-第5页（共26页）（x） =ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是三.解答

4、题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. （ 13.00 分）在厶 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c.已知 bsinA=acos（I ）求角 B 的大小;（B-7T?） .第6页(共26页)(U)设 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A- B)的值.16. (13.00 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24, 16, 16.现 采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从

5、这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数 学期望；(ii)设 A 为事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工 ”,求事件 A 发生的概率.17. (13.00 分)如图，AD/ BC 且 AD=2BC AD 丄 CD, EG/ AD 且 EG=AD CD/FG 且 CD=2FG DG 丄平面 ABCD, DA=DC=DG=2(I)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN/平面 CDE(n)求二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)若点 P 在线段 DG 上,且直线

6、 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60求线段 DP 的长.18. (13.00 分)设an是等比数列，公比大于 0,其前 n 项和为 Sn(n N*), bn 是等差数列.已知 a1=1, a3=a2+2, a4=b3+b5, a5=b4+2b6.(I)求an和bn的通项公式；(n)设数列S的前 n 项和为 Tn(n N*),19. (14.00 分)设椭圆 + . =1 (ab0)的左焦点为 F, 上顶点为 B.已知 椭圆的离心(ii)证明-2 (n N*).第7页(共26页)率为匹，点 A 的坐标为(b, 0),且|FB?|AB|= .3(I)求椭圆的方程；(U)设直线 I: y=kx

7、 (k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 I 与直线 AB 交 于点 Q若=- sin/ AOQ( O 为原点)，求 k 的值.|PQ|F20.(14.00 分)已知函数 f (x) =ax, g (x) =logax，其中 a 1.(I)求函数 h (x) =f (x)- xlna 的单调区间；(U)若曲线 y=f (x)在点(x1, f (X1)处的切线与曲线 y=g (x)在点(x2, g(x?)处的切线平行，证明 x1+g (X2)=-;Inanr(E)证明当 ae -时，存在直线 I,使 I 是曲线 y=f (x)的切线，也是曲线 y=g(x)的切线.第8页（共26页）2018年天

8、津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5.00 分）设全集为 R,集合 A=x|0vXV2 , B=x|x 1，贝UAA（?RB）=（ ）A.x|0vx1B. x|0vxv1C. x| 1 1,?RB=X| xv1,AA（?RB）=x| 0vxv1.故选：B.【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目.值为（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标 函数 z=3x+5y 的最大值.【解答】解：由变量 x, y 满足约束条件* _工+医,得

9、如图所示的可行域，由卅产解得 A （2, 3）.I.当目标函数 z=3x+5y 经过 A 时，直线的截距最大，z 取得最大值.2. （5.00 分）设变量 x, y 满足约束条件2s-y4,则目标函数 z=3x+5y 的最大第9页（共26页）将其代入得 z 的值为 21,故选：C.【点评】在解决线性规划的小题时，常用 角点法”其步骤为：由约束条件画出可行域？求出可行域各个角点的坐标？将坐标逐一代入目标函数？验证，求出最优解.也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值.3. （5.00 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20,则输出 T 的值为（）第10页（共26

10、页）【分析】根据程序框图进行模拟计算即可.【解答】解：若输入 N=20,则 i=2, T=0,理竺=10 是整数，满足条件.T=0+仁 1, i=2+仁 3, i5 不成立，i2循环，二二不是整数，不满足条件.，i=3+仁 4, i 5 不成立，i 3循环，一=5 是整数，满足条件，T=1+1=2, i=4+1=5, i 5 成立，i 4输出 T=2,故选：B.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本 题的关键.4. （5.00 分）设 xR,则“x-寺|V寺”是“XV1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件第11页（共26页）C.充要条件 D.既不充分

11、也不必要条件第12页（共26页）【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出.由 X3V1，解得 XV1 , 故“x诗1甘是“3V1”勺充分不必要条件,故选：A.【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题.5. （5.00 分）已知 a=log2e, b=ln2, c=log ,则 a, b, c 的大小关系为（）ao2A. abc B. bac C. cba D. cab【分析】根据对数函数的单调性即可比较.【解答】 解：a=log2e 1, 0Vb=ln2v1, c=log .二=log23 log2e=a,2则 a, b, c 的大小关系 cab,故选：D.【

12、点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，对应的函数（）A.在区间晋，晋上单调递增B.在区间晋,n上单调递减C.在区间牛，晋上单调递增 D.在区间琴,2n上单调递减【分析】将函数 y=sin（2x）的图象向右平移丄个单位长度，得到的函数为:乙由此能求出结果.【解答】解：将函数 y=sin（2x）的图象向右平移个单位长度, 得到的函数为：y=si n2x【解答】解：由|X 寺1V*可得-6. （5.00 分）将函数 y=sin（2x ）的图象向右平移个单位长度，所得图象y=sin2x,增区间为+k n,+kn, k Z,减区间为下+kn3兀T+kn ,k第13页（共26页）将函数 y=s

13、in （2x+ ）的图象向右平移一个单位长度,510所得图象对应的函数在区间，上单调递增.故选：A.【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定， 考查三角函数的图象与性质、 平 移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.7.（5.00 分）已知双曲线 =1 （a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线 的距离分别为 di和 d2，且 di+d2=6，则双曲线的方程为（）【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可.【解答】解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线y 一工，即卩 b

14、x ay=0, F （c, 0），a 1AC 丄 CD, BD 丄 CD, FEL CD, ACDB 是梯形，=1412B.皿=1C12422 y=1 D2x391L9A.汀1增区间满足:减区间满足:-丄+心2x0, b0）的离心率为 2,可得二二22可得：八 ，解得 a=；.a第15页（共26页）【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力.8.（5.00 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD 丄 CD,/ BAD=120,AB=AD=1 若点 E 为边 CD 上的动点，则的最小值为（）为 y 轴，求出 A，B, C 的坐标，根据向量的数量积

15、和二次函数的性质即可求出.【解答】解：如图所示，以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴， 以 DC 所在的直线为 y 轴，以 DA 所在的直线为 x 轴，以 DC 所在的直线则双曲线的方程为：罟-*;=1-第16页（共26页）过点 B 做 BN 丄 x 轴，过点 B 做 BM 丄 y 轴,第17页（共26页） AB 丄 BC, AD 丄 CD, / BAD=120 , AB=AD=1, AN=ABcos6, BN=ABsin60=,22DN=m,2 2 BM 二,2【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力, 属于中档题.二.填空题：本大题共 6 小题,每小题

16、 5 分,共 30 分.9.（5.00 分）i 是虚数单位，复数 一=4 - i . A (1, 0), B (， _ ) , C(0 ,.:；),设 E (0 , m),应（-1, m）,屈=（-# , m -孚）, 正庞冷+m2爭 m= （m-乎）2碍- 当 m=；时,取得最小值为亠.4 16DC=D0 m0,函数 f (x) =、.若关于 x 的方程 f、-x反0(x) =ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是(4, 8).【分析】分别讨论当 x0 时，利用参数分离法进行求解即可.【解答】 解：当 x0 得-2vxv-1 或-1vxv0,此时递增，由 g(x)v0 得 xv

17、- 2,此时递减，即当 x=- 2 时，g (x)取得极小值为 g (2) =4,当 x0 时，由 f (x) =ax 得-x2+2ax- 2a=ax,得 x2- ax+2a=0,由 h (x)0 得 x4,此时递增，由 h (x)v0 得 0vxv2 或 2vxv4,此时递减，即当 x=4 时，h (x)取得极小 值为 h(4) =8,要使 f (x) =ax 恰有 2 个互异的实数解,(x-2)2(x-2 )2得 a (x- 2) =x，当 x=2 时，方程不成立,则由图象知 4vav8,第24页(共26页)【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导14第25页

18、(共26页)数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键.三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.15. ( 13.00 分)在厶 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c.已知 bsinA=acos(B-)6(I)求角 B 的大小；(U)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值.【分析】(I)由正弦定理得 bsinA=asinB 与 bsinA=acos(B).由此能求出 6由此能求出 sin (2A- B).又 B(0, n), B)(儿)在厶 ABC 中，a=2, c=3, B=-37, 由 bsinA=acos

19、 (B-芈)，得 sinA=L6Iavc, cosA=X-V?si n2A=2si nAcosA= 7cos2A=2cogA- 1 丄, sin (2A- B) =sin2AcosB- cos2AsinB=72 72【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力,(U)由余弦定理得 b=厂，由 bsinA=acos ( B-7T),得 sinA=7,cosA ,V7【解答】a. bsi nA sinB,得 bsinA=asinEB由余弦定理得b= . I ! ,/又 bsinA=acos (B- tanB=.=,即si nB=cos ( B考查函数与方程思想，是中档题.1

20、6. (13.00 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24, 16, 16.现 采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数 学期望；(ii)设 A 为事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工 ”,求事件 A 发生的概率.【分析】(I)利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人

21、数；(U)若(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概 率，得到随机变量 X 的分布列，然后求解数学期望；(ii)利用互斥事件的概率求解即可.【解答】解：(I)单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16.人数比为：3: 2: 2，从中抽取 7 人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3, 2，2 人.(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,所以随机变量的分布列为:3生35(ii)设 A 为事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充

22、足的员工，也有睡眠不足的员工随机变量 X 的取值为:0, 1, 2,k=0,1, 2, 3.0135随机变量 X 的数学期望 E (X)12=1第27页(共26页)第18页(共26页)设事件 B 为：抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人, 事件C 为抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人，则：A=BUC,且 P (B) =P (X=2), P ( C) =P (X=1)，故 P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)二.7所以事件 A 发生的概率：.【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布 列与

23、期望，确定 X 的可能取值，求出相应的概率是关键.17. (13.00 分)如图，AD/ BC 且 AD=2BC AD 丄 CD, EG/ AD 且 EG=AD CD/ FG且 CD=2FG DG 丄平面 ABCD，DA=DC=DG=2(I)若 M 为 CF 的中点，N 为 EG 的中点，求证：MN/平面 CDE(n)求二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60求线段 DP 的长.I-H -【分析】(I)依题意，以 D 为坐标原点，分别以.、1 :的方向为 x 轴，y轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出对应点的坐

24、标，求出平面 CDE 的法 向兀量及而，由袖兀二 0,结合直线 MN?平面 CDE 可得 MN /平面 CDE(n)分别求出平面 BCE 与平面平面 BCF 的一个法向量，由两法向量所成角的余 弦值可得二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)设线段 DP 的长为 h, (h 0, 2),则点 P 的坐标为(0, 0, h),求出BP=(-1, -2, h),而 DC=(O, 2, Q)为平面 ADGE 的一个法向量，由直线 BP 与平 面 ADGE所成的角为 60可得线段 DP 的长.第20页（共26页）【解答】（I）证明：依题意，以 D 为坐标原点，分别以；.、I、-的方向为 x 轴，y

25、轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.可得 D （0，0，0），A （2, 0，0），B （1, 2, 0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1, 2），G （0，0，2），M （0, 一，1）, N （1, 0，2）.设无二仏 y,爲）为平面 CDE 的法向量，nn* DC=2y=0-，不妨令 z=-1可得石二（1, 0, -1）；ncl-DE=2x+2z=O-u又 M 沪（1，-77 1）,可得 MNno=0 .又直线 MN?平面 CDE MN /平面 CDE（U ）解：依题意，可得| 1 .，| _ .丄.一.设二二 3 丁. :为平面 BCE 的法向量，* 则丁兰二-

26、口，不妨令 z=1,可得二 e 1, 1）Ln * BE=x-2y+2z=0设；| :为平面 BCF 的法向量，则曹更 5，不妨令 z=1，可得訓2, 1）.冷CF=-y+2 口 因此有 COSV ；=、一；_ ，于是 sin；=.丄ULU二面角 E- BC- F 的正弦值为;10（川）解：设线段 DP 的长为 h, （h 0, 2）,则点 P 的坐标为（0, 0, h）,可得审二（-1, -2, h）,而丘=（Q, 2, 0）为平面 ADGE 的一个法向量，%一、I IIPCD |2故1*.4 工由题意，可得 一 Z1/.:，解得 h= _ 0, 2.#h+5/第29页(共26页)18. (

27、13.00 分)设an是等比数列，公比大于 0,其前 n 项和为 Sn(n N*), bn是等差数列.已知 ai=1, a3=a2+2, a4=b3+b5, a5=b4+2b6.(I)求an和bn的通项公式；(II)设数列Si的前 n 项和为 Tn(n N*),【分析】(I)设等比数列an的公比为 q，由已知列式求得 q,则数列an的通 项公式可求；等差数列bn的公差为 d,再由已知列关于首项与公差的方程组， 求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；(I)(i)由等比数列的前 n 项和公式求得 Sn,再由分组求和及等比数列的前 n项和求得数列S的前 n 项和为 Tn；【解答】(I)解：设等比数

28、列an的公比为 q，由 a1=1, a3=a2+2，可得 q2-q-2=0. q0,可得 q=2.【点评】 本题考查直线与平面平行的判定,向量求解空间角，是中档题.考查空间角的求法，训练了利用空间(ii)证明=L薔0d-i)0d-2)n+2-2 (n N*).(ii )化简整理再由裂项相消法证明结论.线段 DP 的长第20页（共26页）设等差数列bn的公差为 d, 由 a4=b3+b5,得 b1+3d=4,第31页(共26页)由 a5=b4+2b6，得 3bi+13d=16, bi=d=1.故 bn=n；(n)解：由(I)，可得nn故 T =E C2k-1)=E 2k-nk=l【点评】本题主要

29、考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和等基础知识, 考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题.19.(14.00 分)设椭圆 =1 (ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知 椭圆的离心率为匹，点 A 的坐标为(b，0 )，且|FB?|AB= .3(I)求椭圆的方程；(U)设直线 I: y=kx (k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 I 与直线 AB 交于点 Q.若=-sin/ AOQ(O 为原点)，求 k 的值.|Py |4【分析】(I)设椭圆的焦距为 2c,根据椭圆的几何性质与已知条件，求出 a、b 的值，再写出椭圆的方程；(U)设出点 P、Q 的坐标，由题意利用方程思想，

30、求得直线 AB 的方程以及 k 的值.【解答】解：(I)设椭圆一+.=1(ab0)的焦距为 2c,由椭圆的离心率为 e=匚,又 a2=b2+c2,=j：. . 一 :;1-2(ii)证明： .(几+b知2)%_2曲-卜2址+2)1 _(k+订(k十可_0c+l)Ck-b2) k+2 Icfl (k+f Qri-2)34 谍年略事醤占nH+2tk+n(k+2)第32页(共26页)-2a=3b，由 |FB=a, |AB|b，且 |FB?|AB|=;可得 ab=6,从而解得 a=3, b=2,2 I 2椭圆的方程为+匚=1；（U）设点 P 的坐标为（xi, yi）,点 Q 的坐标为（X2, y2）,

31、由已知 yi y2 0; | PQ sin / AOQ=y - y2；| AQ| = .:y2,直线 AB 的方程为 x+y- 2=0;由方程组产也，消去 x,可得 y2化;xfy-2=0k+1由 5yi=9y2,可得 5 (k+1) =3 .：；, 两边平方，整理得 56k2- 50k+1 仁 0,解得 k或;2 28 k 的值为寺或z z8【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、 直线方程等知识的应用问 题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题， 考查了运算求解能 力与运用方程思想解决问题的能力.20.(14.00 分)已知函数 f (x)=才，g (x) =logax

32、，其中 a 1.(I)求函数 h (x) =f (x)- xlna 的单调区间；(U)若曲线 y=f(x)在点(X1,f(X1)处的切线与曲线 y=g(x)在点(x2,g又 | AQ| =sinZOAB且/OAB*,由-L=sin/AOQ,可得 5yi=9y2；第33页(共26页)(X2)处的切线平行，证明 Xl+g (X2)二-女1口1门且；Inam(E)证明当 ae -时，存在直线 I,使 I 是曲线 y=f (x)的切线，也是曲线 y=g (x)的切线.【分析】(I)把 f (x)的解析式代入函数 h (x) =f (x)- xlna,求其导函数， 由导函数的零点对定义域分段，由导函数在

33、各区间段内的符号可得原函数的单调 区间；(U)分别求出函数 y=f (x)在点(xi, f (xi)处与 y=g (x)在点(X2, g (x2) 处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；(E)分别求出曲线 y=f (x)在点(勺，J】)处的切线与曲线 y=g(x)在点(X2,Iogax2)处的切线方程，把问题转化为证明当 ajj时，存在 xi(-x,+x),x2( 0 , +x)使得 Ii与|2重合，进一步转化为证明当a 时，方程且-心 Qin 寸+亠耳皿丸存在实数解然后利用导数证明即可11Ina Ina【解答】(I)解：由已知，h (x) =a 1,可知当 x 变化时，h (x), h (x)的变化情况如下表：(-x,0)h (x)-0+h (x)J极小值T函数 h(x)的单调减区间为(-x,0)，单调递增区间为(0,+x)；(U)证明： 由f(x)=彳|na,可得曲线y=