导数复合函数的导数练习题

1、函数求导1 .简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限)(1)求函数的增量 y f(x0x) f(x0)；(2)求平均变化率工f(x0x) Mx。)。xx(3)取极限求导数 f'(x0) lim f(xx一Ux x 0x、一 一 一、一一、 一 _» Z、2 .导致与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f (x0)的导数就是导函数f(x),当x x0时的函数值。3 .常用的导数公式及求导法则:(1)公式C 0, (C是常数) '(cosx)sin x(ax) axln a(log a x)(tanx)'(2)法则：1xln a12- cos xf

2、(x) g(x)(sin x) cosxn'n 1(x ) nxx' x(e ) e、，1(ln x) 一 x、1(cotx)丁sin2 xf (x)g(x),f(x)g(x) f (x)g(x) g(x)f(x)f(x), f (x)g(x) g(x)f(x) g(x)g2(x)(1) y x3 x2 4sin xy x(3) y 3cos x 4sin x(4) y22x 3(5) y ln x 2复合函数的导数如果函数(x)在点x处可导，函数f (u)在点u= (x)处可导，则复合函数y= f ( u)=f (x)在点x处也可导，并且( f (x) , = f (x)(x

3、)或记作yx = yu?uxx u x熟记链式法则若 y= f ( u), u= (x) y= f (x),则yx= f (u)(x)若 y= f ( u), u= (v), v= (x) y= f ( (x),则yx= f (u)(v)(x)(2)复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求 导时要由外到内，逐层求导。1(1 3x)例1函数y 4的导数.-1斛：y 4(1 3x).(1 3x)设 y u 4, u 1 3x,则y'x y'u u'x (u 4)'u (

4、1 3x)'x124u 5 ( 3) 12u 512(1 3x) 5 (1 3x)5例2求y 5j的导数.解：y ,1 x4,1 x 5 xy - 5 1 x 1 x41 x 51二25 1 x (1 x)2例3求下列函数的导数y 3 2x解：(1)y 332x令u=3 -2 x,则有y= Vu , u=3 -2 x41 x 5 1 x x( 1)5 1 x (1 x)2461x 5(1 x) 5.5Vu ?Ux有 y' = Vu u(3 2x)x =12.u?(2)3 2x由复合函数求导法则 yx在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量 u,于是前

5、面可以直接写出如下结果：y / = y= . 1 2x cos x?(3 2x),12 3 2x3 2x在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：?( 2)2.3 2x13 2x例4求下列函数的导数(2) y=ln ( x+V1x2 )解：(1) y= a/12xcos x而在求<1 2x导数由于y=J1 2x cos x是两个函数 J1 2x与cos x的乘积，而其中J1 2x又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则, 时再用复合函数求导法则，于'=(、，1 2x) , cos x - J1 2xsin x y=ln ( x+ 1 x2 )x2 )

6、是u= x + 71x2与y=ln u复合而成，所以对此函 cosx- 1 2xsin2 1 2xcosx / cx= 1 2xsin x1 2x由于 y=ln ( x+ . 1数求导时，应先用复合函数求导法则，在求ux时用函数和的求导法则，而求2x(<1 x2 )'的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以? 1+(1 x2x1? x 1x2x 1 x21 x2例 5 设 y ln(x xx 1)求解利用复合函数求导法求导，得y ln( x1x2 1)-(x1.x2 1)1 ( x21)2-1 x x 1121(x2 1) 12221 x 1x x 1x，x2- 11 x21小结

7、对于复合函数,要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的例 6 求 y=(x23x+2) 2sin3 x 的导数.解：y' = (x23x+2)2 ' sin3 x+(x23x+2)2(sin3 x)'二2(x23x+2)( x23x+2) ' sin3 x+(x23x+2)2cos3x(3x)'二2(x23x+2)(2 x3)sin3 x+3(x2-3x+2) 2cos3x.1.求下函数的导数.2x(1) y cosx34(1) y=(5x3)5(2) y=(2+3x)y=(2 - x2)3(4)

8、y=(2 x3+x)21(1) y=23(2x2 1)3(2) y=43x 1y=sin(3 x-)(4)y=cos(1+ x2) y (2 x2)3；2，一、 y sin x ；(3)cos(- x);4y ln sin(3x 1).1.求下列函数的导数(1) y =sin x3+sin 33x；(2)sin2xy 2T7lOga(x2 2)2.求ln(2x23x 1)的导数、选择题（本题共 5小题，每题6分,共30分）1.函数y=(3x 1)A.(3x72的导数是（B.6(3x 1)2C.6(3x 1)3D.(3x3.函数 y=sin (3x+ )4的导数为（A. 3sin(3x+ 一)4

9、B. 3cos (3x+ )4C. 3sin4.曲线A. 1(3x+ )4xn在x=2处的导数是 12,B. 22 ，一、D.3cos ( 3x+一)4n=()C.D. 45.函数y=cos2x+sin Jx 的导数为(cos、xA. 2sin2 x+2xB. 2sin2cos xx + -sin 一 xC. 2sin2x+.2 x6.过点P （1, 2）与曲线y=2x2相切的切线方程是（D. 2sin22. xcos xx-2 xA. 4x y 2=0C. 4x+y=0B. 4x+y 2=0D.4x y+2=0二、填空题（本题共 5小题，每题6分，共30分）8.曲线y=sin3 x在点P （ 一，0）处切线的斜率为39.函数 y=xsin (2x) cos (2x+)的导数是10.11.函数y=4cos(2x )的导数为f (x) xln x, f (x0) 2,则x0(3)0 5n2xdx例2 .计算下列定积分,、2/、2 , 2x1(1)° x(x 1)dx;(2) (e2x -)dx45.2exdx的