高等数学-第4章 4.2 换元积分法(一)_第1页
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§4.2 换元积分法 能用直接积分法计算的不定积分是非常有限的，因此我们有必要进一步研究新的积分方法本节把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分成两类：第一类换元法和第二类换元法.一、第一类换元法（凑微分法） 先看下面的例子：例1 求。解 因为 ，而 ，如果令，则上式变为，回代，得 ，由于 ，所以上述结果是正确的例1的解法特点是：（1）把被积表达式变形为，并引入新变量，从而把积分变量为的积分化为积分变量为的积分（2）把公式中的换为时，公式仍成立，即有或一般地，有下面定理定理4.3 设，且为可微函数，则。证明从略。若不定积分的被积表达式能写为的形式，那么就可以按下述方法计算不定积分。用上式求不定积分的方法称为第一换元积分法或凑微分法例2 求. 解 = 。例3 求。解 。例4 求。解 。在凑微分时，常常用到下列凑微分的式子，熟悉它们是有助于求不定积分的（1）；（2） （为正整数）；（3）；（4） ；（5） ；（6）；（7） ；（8） ；（9）；（10）；（11）；（12）；（13） ；（14） .当运算比较熟练后，变量代换和回代的步骤可以省略不写例5 求 解 。例6 求解 。即。类似地，可得 。例7 求.解 。即。类似地，可得 。例8 求 . 解 = 。例9 求。解 .因为 .所

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