【数学】函数的性质(奇偶性,单调性,最值)

1、菁优网【数学】函数的性质（奇偶性，单调性，最值） 【数学】函数的性质（奇偶性，单调性，最值）一选择题（共10小题）1（2014濮阳二模）已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1、x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，则不等式f（1x）0的解集为（）A（1，+）B（0，+）C（，0）D（，1）2（2014安徽模拟）函数f（x）=2xtanx在上的图象大致为（）ABCD3（2014黄冈模拟）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）Af（x）=4x3+xBCDf（x）

2、=ex+ex4（2014江门模拟）已知函数，则该函数是（）A非奇非偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增D奇函数，且单调递减5（2014渭南二模）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x0时g（x）=ln（1x），函数若f（2x2）f（x），则实数x的取值范围是（）A（2，1）BC（1，2）D6（2014威海一模）函数f（x）=（x2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+）单调递增，则f（2x）0的解集为（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x47（2014南昌模拟）已知f（x）是R上的偶函数，当x0时，f（x）=2x2x，又a是函数g（x）=ln（x+1）

3、的正零点，则f（2），f（a），f（1.5）的大小关系是（）Af（1.5）f（a）f（2）Bf（2）f（1.5）f（a）Cf（a）f（1.5）f（2）Df（1.5）f（2）f（a）8（2014郑州模拟）已知奇函数f（x）满足f（1）=f（3）=0，在区间2，0上是减函数，在区间2，+）是增函数，函数F（x）=，则x|F（x）0=（）Ax|x3，或0x2，或x3Bx|x3，或1x0，或0x1，或x3Cx|3x1，或1x3Dx|x3，或0x1，或1x2，或2x39（2014宜春模拟）已知定义在区间3，3上的函数y=f（x）满足f（x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（

4、x1），（x2，f（x2）都有（x1x2）f（x1）f（x2）0若实数a，b满足f（a22a）+f（2bb2）0，则点（a，b）所在区域的面积为（）A8B4C2D110（2014濮阳二模）定义在R上的函数y=f（x）在（，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1a，x2a，且丨x1a丨丨x2a丨时，有（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）f（x2）Df（x1）f（x2）二填空题（共10小题）11（2014河南一模）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间1，2上是减函数，那么b+c有最大值_12（2014碑林区一模）已知函数，若f（x）在区间（0，1上

5、是减函数，则实数a的取值范围是_13（2014浙江模拟）已知函数f（x）=x|xa|，若对任意的x1，x22，+），且x1x2，（x1x2）f（x1）f（x2）0，恒成立，则实数a的取值范围为_14（2012浦东新区三模）函数y=的单调递减区间为_15已知函数f（x）=在2，+）上单调递增，则a的取值范围为_16函数y=（）的单调增区间是_17（2014市中区二模）设，若恒成立，则k的最大值为_18（2014湖北二模）已知正实数x，y，z满足，则的最小值为_19（2014抚州一模）y=（6a3）的最大值为_20（2014永州三模）已知y=+2，则y的最大值是_三解答题（共10小题）21（201

6、4广东）设函数f（x）=，其中k2（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k6，求D上满足条件f（x）f（1）的x的集合（用区间表示）22（2014上海模拟）已知函数f（x）=（1）判断函数f（x）在区间（0，+）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围23（2014闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+），且满足：f（x）=设F（x）=（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明24（2014徐汇区一模）已知

7、函数f（x）=|x1|，g（x）=x2+6x5（1）若g（x）f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）f（x）的最大值25（2014长宁区一模）已知函数，（1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；（2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）kZ？（3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B=（m，k）|k2+（m1）2r2，r0，求使AB的r的取值范围26（2014闸北区三模）定义函数y=f（x），xD（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的

8、y=f（x），xD的模若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），xD的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），xD的短距（1）分别判断函数f1（x）=与f2（x）=是否存在长距与短距，若存在，请求出；（2）求证：指数函数y=ax（a0，a1）的短距小于1；（3）对于任意x1，2是否存在实数a，使得函数f（x）=的短距不小于2且长距不大于4若存在，请求出a的取值范围；不存在，则说明理由？27（2014上海二模）对于函数f（x），若在定义域存在实数x，满足f（x）=f（x），则称f（x）为“局部奇函数”（1）已知二次函数f（x）=ax2+2bx4a（a，bR），试判断f（x）是否为“局部奇

9、函数”？并说明理由；（2）设f（x）=2x+m是定义在1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围28（2014嘉定区二模）设a是实数，函数f（x）=4x+|2xa|（xR）（1）求证：函数f（x）不是奇函数；（2）当a0时，求满足f（x）a2的x的取值范围；（3）求函数y=f（x）的值域（用a表示）29（2014嘉定区三模）设a为实数，函数f（x）=x2+|xa|+1，xR（1）若函数y=f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）若a=2，求f（x）的最小值；（3）对于函数y=m（x），在定义域内给定区间a，b，如果存在x0（ax0b），满足m（x0）=，则称函数m（x）是区间a，b上的“平均值

10、函数”，x0是它的一个“均值点”如函数y=x2是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数g（x）=x2+mx+1是区间1，1上的平均值函数，求实数m的取值范围30（2013长宁区一模）已知二次函数f（x）=ax2+|a1|x+a（1）函数f（x）在（，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）关于x不等式2在x1，2上恒成立，求实数a的取值范围；（3）函数g（x）=f（x）+在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围【数学】函数的性质（奇偶性，单调性，最值）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1（2014濮阳二模）已知函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1

11、、x2，不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立，则不等式f（1x）0的解集为（）A（1，+）B（0，+）C（，0）D（，1）考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；转化思想分析：先利用不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x+1）是定义在R上的奇函数得到函数f（x）过（1，0）点，二者相结合即可求出不等式f（1x）0的解集解答：解：由不等式（x1x2）f（x1）f（x2）0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数 又因为函数f（x+1）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（x+1）过点（0，0）；故函数f

12、（x）过点（1，0）相结合得：x1时，f（x）0故不等式f（1x）0转化为1x1x0故选C点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题关键点有两处：判断出函数f（x）的单调性；利用奇函数的性质得到函数f（x）过（1，0）点2（2014安徽模拟）函数f（x）=2xtanx在上的图象大致为（）ABCD考点：奇偶性与单调性的综合；函数的图象菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意判断函数的奇偶性以及函数在x大于0时的单调性即可推出正确结果解答：解：因为函数f（x）=2xtanx在上满足f（x）=f（x），所以函数是奇函数，故A，B不正确；又x=0+，函数f（x）=2×

13、tan=0，故C正确，D不正确故选C点评：本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的应用，特值法是解答选择题的好方法3（2014黄冈模拟）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）Af（x）=4x3+xBCDf（x）=ex+ex考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：新定义；函数的性质及应用分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数A中，f（0）=0，且f（x）为

14、奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（x）=ln=ln=ln=f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（x）=tan=tan=f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e0=2，所以f（x）=ex+ex的图象不过原点，故f（x）=ex+ex不为“和谐函数”；故选D点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题4（2014江门模拟）已知函数，则该函数是（）A非奇非偶函数，且单调递增B偶函数，且单调递减C奇

15、函数，且单调递增D奇函数，且单调递减考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：证明题分析：由题意，根据题设条件及选项可判断出，可先由定义判断函数的奇偶性，再由函数的单调性的判断方法判断出函数是一个增函数，由此可以判断出正确选项解答：解：此函数的定义域是R当x0时，有f（x）+f（x）=12x+2x1=0当x0时，有f（x）+f（x）=12x+2x1=0由上证知，此函数是一个奇函数，又x0时，函数12x是一个增函数，最小值是0；x0时，函数2x1是一个增函数，最大值为0，所以函数函数在定义域上是增函数综上，函数在定义域上是增函数，且是奇函数故选C点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌

16、握函数奇偶性判断方法与函数单调性的判断方法是解题的关键5（2014渭南二模）已知函数g（x）是R上的奇函数，且当x0时g（x）=ln（1x），函数若f（2x2）f（x），则实数x的取值范围是（）A（2，1）BC（1，2）D考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用分析：根据奇函数g（x）当x0时g（x）=ln（1x），可得当x0时，g（x）=ln（1+x）结合f（x）表达式可得f（x）在其定义域上是增函数，得f（2x2）f（x）等价于2x2x，解之即得本题答案解答：解：奇函数g（x）满足当x0时，g（x）=ln（1x），当x0时，g（x）=

17、ln（1+x）=g（x），得当x0时，g（x）=g（x）=ln（1+x）f（x）的表达式为，y=x3是（，0）上的增函数，y=ln（1+x）是（0，+）上的增函数，f（x）在其定义域上是增函数，由此可得：f（2x2）f（x）等价于2x2x，解之得2x1故选A点评：本题给出分段函数，要我们解关于x的不等式，着重考查了基本初等函数的单调性和函数的奇偶性等知识，属于中档题6（2014威海一模）函数f（x）=（x2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+）单调递增，则f（2x）0的解集为（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x4考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：函数的性质及应

18、用分析：根据二次函数f（x）的对称轴为y轴求得b=2a，再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0，f（x）=ax24a再利用二次函数的性质求得f（2x）0的解集解答：解：函数f（x）=（x2）（ax+b）=ax2+（b2a）x2b为偶函数，二次函数f（x）的对称轴为y轴，=0，且a0，即 b=2a，f（x）=ax24a再根据函数在（0，+）单调递增，可得a0令f（x）=0，求得 x=2，或x=2，故由f（2x）0，可得 2x2，或2x2，解得 x0，或x4，故f（2x）0的解集为 x|x0或x4，故选：C点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，

19、二次函数的性质，属于中档题7（2014南昌模拟）已知f（x）是R上的偶函数，当x0时，f（x）=2x2x，又a是函数g（x）=ln（x+1） 的正零点，则f（2），f（a），f（1.5）的大小关系是（）Af（1.5）f（a）f（2）Bf（2）f（1.5）f（a）Cf（a）f（1.5）f（2）Df（1.5）f（2）f（a）考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：常规题型；综合题；压轴题分析：本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题在解答时可先结合零点定理获得a与1.5和2的关系：1.5a2，然后利用求导获得函数f（x）的单调性，再有单调性即可获得问题的解答解答：解：当a0时，易知g（x

20、）为增函数，而且g（2）=ln310，g（1.5）=ln2.5lne1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g（x）存在零点，再由单调性结合题意可知a就为这个零点，因此有1.5a2又当x0时，直接求导即得，于是当x1时，我们有f'（x）2ln21=ln221lne1=0，由此可见f（x）在（1，+）上单调增，可见必有f（1.5）f（a）f（2），而又由于f（x）为偶函数，所以f（1.5）f（a）f（2）故选A点评：本题考查的是函数的单调性与奇偶性的综合类问题在解答时充分体现了零点定理、导数知识的灵活应用其中数形结合的思想、问题转化的思想在题目中也得到了充分的展现值得同学们体

21、会和反思8（2014郑州模拟）已知奇函数f（x）满足f（1）=f（3）=0，在区间2，0上是减函数，在区间2，+）是增函数，函数F（x）=，则x|F（x）0=（）Ax|x3，或0x2，或x3Bx|x3，或1x0，或0x1，或x3Cx|3x1，或1x3Dx|x3，或0x1，或1x2，或2x3考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用分析：根据奇函数f（x）满足f（1）=f（3）=0，在区间2，0上是减函数，在区间2，+）是增函数，可得3x1或0x1，或x3时，f（x）0；x3或1x0或1x3时，f（x）0，再将不等式等价变形，即可得到结论解答：解：奇函数f（x）满足f

22、（1）=f（3）=0，在区间2，0上是减函数，在区间2，+）是增函数，3x1或0x1，或x3时，f（x）0；x3或1x0或1x3时，f（x）0函数F（x）=，x0且f（x）0，或x0且xf（x）0时，F（x）0x0且f（x）0，或x0且f（x）0时，F（x）03x1或1x3故选C点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题9（2014宜春模拟）已知定义在区间3，3上的函数y=f（x）满足f（x）+f（x）=0，对于函数y=f（x）的图象上任意两点（x1，f（x1），（x2，f（x2）都有（x1x2）f（x1）f（x2）0若实数a，b满足f（

23、a22a）+f（2bb2）0，则点（a，b）所在区域的面积为（）A8B4C2D1考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：根据条件确定函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，然后利用线性规划的知识作出不等式组对应的平面区域，即可得到结论解答：解：函数y=f（x）满足f（x）+f（x）=0，f（x）=f（x），即函数f（x）是奇函数由（x1x2）f（x1）f（x2）0，则函数f（x）在区间3，3上是减函数则不等式f（a22a）+f（2bb2）0等价为f（a22a）f（2bb2）=f（2b+b2），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，3），B（3，1），E（1，

24、1），则对应区域的面积为2×，故选：A点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的转化，利用条件将不等式转化为二元一次不等式组是解决本题的关键，综合性较强10（2014濮阳二模）定义在R上的函数y=f（x）在（，a）上是增函数，且函数y=f（x+a）是偶函数，当x1a，x2a，且丨x1a丨丨x2a丨时，有（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）f（x2）Df（x1）f（x2）考点：奇偶性与单调性的综合菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：根据y=f（x+a）是偶函数，可得f（x+a）=f（x+a），根据x1a，x2a，丨x1a丨丨x2a丨，可得2a

25、x1x2，且2ax1a，x2a，结合函数的单调性，即可得到结论解答：解：y=f（x+a）是偶函数，有f（x+a）=f（x+a）f（x）关于x=a对称偶函数在（，a）上是增函数，在（a，+）上是减函数x1a，x2a，丨x1a丨丨x2a丨，去掉绝对值得ax1x2a，即2ax1x2，且2ax1a，x2a由（a，+）上是减函数知f（2ax1）f（x2）f（x）关于x=a对称，f（2ax1）=f（x1）f（x1）f（x2）故选A点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二填空题（共10小题）11（2014河南一模）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间1，2上

26、是减函数，那么b+c有最大值考点：函数单调性的性质；幂函数的图像；幂函数的性质菁优网版权所有分析：转化为导函数0在区间1，2上恒成立，而f（x）为二次函数，可结合二次函数的图象解决解答：解：函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间1，2上是减函数，f（x）=3x2+2bx+c0在区间1，2上恒成立，只要即成立即可 当过A点时，b+c有最大值A，故b+c有最大值为故答案为：点评：本题考查函数单调性的应用、线性规划等知识，有一定难度12（2014碑林区一模）已知函数，若f（x）在区间（0，1上是减函数，则实数a的取值范围是（0，3考点：函数单调性的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：利用复合函数

27、的单调性的判断法则进行分析，结合函数有意义的条件，列出不等式，求解即可得到答案解答：解：函数，若f（x）在区间（0，1上是减函数，则t=3ax在区间（0，1为减函数，且t0，分析可得a0，且3a0，解可得0a3，a取值范围为（0，3故答案为：（0，3点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，要注意端点的取舍情况13（2014浙江模拟）已知函数f（x）=x|xa|，若对任意的x1，x22，+），且x1x2，（x1x2）f（x1）f（x2）0，恒成立，则实数a的取值范围为（，2考点：函数单调性的性质；函数恒成立问题菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：对任意的x1，x22，+），且x1x2，（

28、x1x2）f（x1）f（x2）0可得出函数是一个增函数，由函数的单调性即可判断出参数的取值范围解答：解：f（x）=x|xa|的图象如图，其在，a，+）上是一个增函数，对任意的x1，x22，+），且x1x2，（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x）在2，+）上是增函数，故2，+）a，+）a2故答案为（，2点评：本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是要把题设中的单调区间与函数在定义域上的单调区间进行比较，从而得出参数的取值范围本题中借助图象说明函数单调性，利用图象的直观帮助解题14（2012浦东新区三模）函数y=的单调递减区间为（，1考点：复合函数的单调性菁优网版权所有专题：函数的性质及应用

29、分析：确定函数的定义域，考虑内外函数的单调性，即可得到结论解答：解：由题意，函数的定义域为（，11，+）令t=x21，则在0，+）上单调递增t=x21，在（，0上单调递减，在0，+）上单调递增函数y=的单调递减区间为（，1，故答案为：（，1点评：本题考查复合函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题15已知函数f（x）=在2，+）上单调递增，则a的取值范围为（，考点：复合函数的单调性；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：令g（x）=x2ax3a，则，再利用复合函数的单调性的性质，只需使函数g（x）=x2ax3a在2，+）上单调递增，且g（x）0恒成立解答：解：设

30、g（x）=x2ax3a，则，递增，由复合函数的单调性知，要使原函数单调递增，只需满足：函数g（x）=x2ax3a在2，+）上单调递增，且g（x）0恒成立函数g（x）=x2ax3a的对称轴方程为，故答案为：（，点评：本题重在考查复合函数的单调性，利用复合函数的单调性满足同增异减是解题的关键16函数y=（）的单调增区间是，+）考点：复合函数的单调性菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：令t（x）=x2+x+2，显然二次函数t（x）的图象的对称轴方程为x=，且y=，本题即求函数t（x）的减区间，再利用二次函数的性质求得函数t（x）的减区间解答：解：令t（x）=x2+x+2=+，显然二次函数t（x

31、）的图象的对称轴方程为x=，且y=，故本题即求函数t（x）的减区间，再利用二次函数的性质求得函数t（x）的减区间为，+），故答案为：，+）点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题17（2014市中区二模）设，若恒成立，则k的最大值为8考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题：综合题分析：令t=，恒成立，等价于tmink恒成立，利用基本不等式求出最小值，即可求k的最大值解答：解：令t=恒成立，tmink恒成立t=2（2+）2m0，12m0（当且仅当，即m=时取等号）t8k8k的最大值为8故答案为：8点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，

32、解题的关键是求函数的最小值18（2014湖北二模）已知正实数x，y，z满足，则的最小值为考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有分析：先把已知中的式子展开，出现，代入的展开式中，再用基本不等式就可求出最小值解答：解：x，y，z满足，2x2+=yz，又=x2+=+x，y，z为正实数，+2=即，当且仅当=时等号成立的最小值为故答案为点评：本题主要考查了基本不等式的应用，做题时注意变形19（2014抚州一模）y=（6a3）的最大值为考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：求y=（6a3）的被开方数的最大值，即得y的最大值解答：解：y=（6a3），设t=（3a）（a+6

33、），则t=a23a+18；当a=时，t有最大值t（a）max=t（）=，y有最大值y（a）max=y（）=；故答案为：点评：本题考查了二次根式的被开方数是二次函数的最值问题，是基础题20（2014永州三模）已知y=+2，则y的最大值是考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：通过对函数求导找出单调区间，从而求出最值解答：解：3x0，x10，定义域为：1，3，y=，令分子为0，解得：x=，在（1，）上，y是增函数，在（，3）上，y是减函数；当x=时，y最大，ymax=+2=故答案为：点评：本题是求函数的最值问题，通过导数求最值是方法之一，本题是一道基础题三解答题（共1

34、0小题）21（2014广东）设函数f（x）=，其中k2（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k6，求D上满足条件f（x）f（1）的x的集合（用区间表示）考点：复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集解答：解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t30，解得t1或t3，

35、即x2+2x+k1或x2+2x+k3，则（x+1）22k，或（x+1）22k，k2，2k2k，由解得x+1或x+1，即x1或x，由解得x+11，即1x1+，综上函数的定义域为（1，+）（，1）（1，1+）（2）=，由f'（x）0，即（x2+2x+k+1）（2x+2）0，则（x+1+）（x+1）（x+1）0解得x1或1x1+，结合定义域知，x1或1x1+，即函数的单调递增区间为：（，1），（1，1+），同理解得单调递减区间为：（1，1），（1+，+）（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）3=（3+k）2+2（3+k）3，则（x2+2x+k）2（3+k）2+

36、2（x2+2x+k）（3+k）=0，（x2+2x+2k+5）（x2+2x3）=0即（x+1+）（x+1）（x+3）（x1）=0，x=1或x=1+或x=3或x=1，k6，1（1，1+），3（1，1），f（3）=f（1）=f（1）=f（1+），且满足1（，1），1+（1+，+），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）f（1）的集合为：（）（1，3）（1，1+）（1+，1+）点评：本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大22（2014上海模拟）已知函数f（x）=（1）判断函数f（x）在区间（

37、0，+）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围考点：函数单调性的判断与证明；函数与方程的综合运用菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）判断函数f （x）在区间（0，+）上的单调性，并加以证明，先去绝对值号对函数表达式化简，根据其形式判断出函数的性质，再进行证明（2）方程f （x）=kx2有四个不同的实数解，代入函数表达式，进行探究，由于方程带有绝对值，故需要分类去绝对值，在每一类中找出满足方程有两解的参数的值，合并既得解答：解：（1）函数f （x）在区间（0，+）上，证明如下：f（x）=，当x0时，f（x）=上是减函

38、数f （x）在区间（0，+）上是增函数（4分）（2）原方程即：=kx2由方程的形式可以看出，x=0恒为方程的一个解（5分）当x0且x2时方程有解，则=kx2即kx2+2kx+1=0当k=0时，方程kx2+2kx+1=0无解；当k0时，=4k24k0即k0或k1时，方程kx2+2kx+1=0有解设方程kx2+2kx+1=0的两个根分别是x1，x2则x1+x2=2，x1x2=当k1时，方程kx2+2kx+1=0有两个不等的负根；当k=1时，方程kx2+2kx+1=0有两个相等的负根；当k0时，方程kx2+2kx+1=0有一个负根（8分）当x0时，方程有解，则=kx2，kx2+2kx1=0当k=0时

39、，方程kx2+2kx1=0无解；当k0时，=4k2+4k0即k0或k1时，方程kx2+2kx1=0有解设方程kx2+2kx1=0的两个根分别是x3，x4x3+x4=2，x3x4=当k0时，方程kx2+2kx1=0有一个正根，当k1时，方程kx2+2kx+1=0没有正根（11分）综上可得，当k（1，+）时，方程f （x）=kx2有四个不同的实数解（13分）点评：本题第一问考查单调性的判断，题目较易，第二问由方程有四个解来求参数的范围，本题对思维的严密性要求很高，需要熟练运用分类讨论的思想，因为题目中有太多的不确定性，本题难度较大23（2014闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，

40、值域为（0，+），且满足：f（x）=设F（x）=（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断菁优网版权所有专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+），即可求函数y=F（x）值域和零点；（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性解答：解：（1）f（x）=，F（x）=1+，f（x）0，011F（x）1，故y=F（x）的值域为（1，1）；（4分）f（x）=，令x=0，f（0）=±1，f（x）0，f（0）=1故y=

41、F（x）的零点为x=0（4分）（2）对任意的xR，F（x）=F（x），（3分）y=F（x）是奇函数（2分）由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，对任意的x1，x2R，x1x2，都有f（x1）f（x2）0又F（x1）F（x2）=0（3分）y=F（x）在定义域R上是减函数（2分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题24（2014徐汇区一模）已知函数f（x）=|x1|，g（x）=x2+6x5（1）若g（x）f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）f（x）的最大值考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：（1

42、）去掉f（x）的绝对值，由g（x）f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）f（x）的最大值在1，4上取得，求出即可解答：解：（1）当x1时，f（x）=x1；g（x）f（x），x2+6x5x1；整理，得（x1）（x4）0，解得x1，4；当x1时，f（x）=1x；g（x）f（x），x2+6x51x，整理，得（x1）（x6）0，解得x1，6，又，x；综上，x的取值范围是1，4（2）由（1）知，g（x）f（x）的最大值在1，4上取得，g（x）f（x）=（x2+6x+5）（x1）=+，当x=时，g（x）f（x）取到最大值是点评：本题考查了含有绝对值的函数的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再进

43、行讨论解答25（2014长宁区一模）已知函数，（1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；（2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）kZ？（3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B=（m，k）|k2+（m1）2r2，r0，求使AB的r的取值范围考点：函数的最值及其几何意义菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）由题意函数F（x）有最大值，应满足，即二次函数有最大值，解得k、m、x的取值；（2）由函数F（x）有最大值，G（x）有

44、最小值；得m、k的值，求出满足条件的实数对（m，k）；（3）由AB知，k4+（m1）2=5成立时，k2+（m1）2r2恒成立，求出r的取值范围解答：解：（1）函数，当时，解得k0且；即当时，F（x）有最大值（2）函数，当时，F（x）有最大值；函数G（x）=，x=k时，G（x）有最小值；，得4+2mm2=k4，k4+（m1）2=5，其中k为负整数，当k=1时，m=1或者3，存在实数对（3，1），（1，1）满足条件（3）由条件AB知，当k4+（m1）2=5成立时，k2+（m1）2r2恒成立，因此，恒成立，当时，右边取得最大值，因此，r0，；r的取值范围是r|r点评：本题考查了函数的最值以及函数与不

45、等式的综合应用，是综合性的题目26（2014闸北区三模）定义函数y=f（x），xD（D为定义域）图象上的点到坐标原点的距离为函数的y=f（x），xD的模若模存在最大值，则称之为函数y=f（x），xD的长距；若模存在最小值，则称之为函数y=f（x），xD的短距（1）分别判断函数f1（x）=与f2（x）=是否存在长距与短距，若存在，请求出；（2）求证：指数函数y=ax（a0，a1）的短距小于1；（3）对于任意x1，2是否存在实数a，使得函数f（x）=的短距不小于2且长距不大于4若存在，请求出a的取值范围；不存在，则说明理由？考点：函数的最值及其几何意义；基本不等式菁优网版权所有专题：新定义分析：（

46、1）通过基本不等式及代入求值解出即可，（2）通过和单位圆作比较得出不等式求出t（x0）1；（3）假设存在，将a分类讨论，解不等式求出并集即可解答：解（1）设（当且仅当x=±1取得等号）f1（x）短距为，长距不存在设v（x）min=v（1）=1v（x）max=v（5）=5f2（x）短距为1，长距为5 （2）设，t（0）=1，y=ax（a0，a1）的短距不大于1，ax=，y=ax与单位圆存在两个交点当a1时，存在1x00使得：，t（x0）1，当0a1时，存在0x01使得，t（x0）1指数函数y=ax（a0，a1）的短距小于1；（3）设，使得函数的短距不小于2且长距不大于4， 即4x2+2x|xa|16对于x1，2始终成立，x2+2x|xa|4对于x1，2始终成立：当a2时：对于x1，2始终成立，a，当1a2时：取x=a即可知显然不成立当a1时：对于x1，2始终成立，a，x2+2x|xa|16对于x1，2始终成立，即：（3x）a（x+）对于x1，2始终成立：1a5；综上 点评：本题新定义了长距和短距，属于新定义问题，考察了函数最值及基本不等式