近世代数习题与答案

1、选择题（本题共5小题,每小题3分，共（从下列备选答案中选择正确答案）1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（二、填空题（本题共5空，每空（请将正确答案填入空格内）3、域F上的所有n阶方阵的集合Mn（F）中，规定等价关系A秩（A）=秩（B），则这个等价关系决定的等价类有4、6次对称群S6中，(1235)4(36)=.三、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“y，错误的打“X”）1、设G是群，0工H,若对任意a,bH可推出abH，则HKG .（(A)1，1，i,i(B)1，1(C)1,-1,i2、设H是群G的子群，a,a1b1H（A）3、在模6的剩余类环bG

2、，贝UaH=bH（B）a1bHZ6中，Z6的极大理想是（的充要条件是(C)ab1H(A)(2), (3)(B)(2)(C)(3)4、若Q是有理数域，则（Q（ J2 ）:Q）是（）。（A）5、下列不成立的命题是（）。（A）欧氏环是主理想环（B）整环是唯一分解环(B)3(C)（C）主理想环是唯一分解环bR，b|a，则（b）是域，则F%（x）是域当且仅当1、R为整环,2、Fa,(a)O5、12的剩余类环Z12的可逆元是15分)3分，共15分）本题得分本题得分本题得分2、群G中的兀a, b,0(a) = 2(b) = 7, ab = ba,则Q(ab) =14。()3、商环Z6z是一个域。4、设f是群

3、G到群G的同态映射，若f（H）lG,则H VG。（5、任意群都同构于一个变换群。四、计算题（本题共2小题，每小题10分,（要求写出主要计算步骤及结果）1、找出Z6的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。1、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f（N）=GH N ”Kerf =G。2、设N G, G:N=2OO8,证明：对Vx亡G，恒有x2008亡N。3、设R为交换环，若R的理想PMR,则R/P是整环当且仅当P是素理想。4、设 RX是实数域R上的一元多项式环，取X2+1忘Rx，证明:C为复数域。近世代数测试题（一）选择题（本题共5

4、小题,每小题3分，共15分） （从下列备选答案中选择正确答案）G规定运算o,下列规定中只有（:bG，贝U H a=H b的充要条件是().(A)aob=a+b-2(B)aob=a b(C)aob=2a+3b(” 为数的乘法)共20分)K,写出Z%的全部元。五、证明题（本题共4小题，每小题10分,共40分）1、设G = Z,对）构成群。2、设HWG,a,(A)abH本题得分本题得分(B)a1eH(C)a1bcH五、证明题(本题共4小题，每小题10分，共40分)3、在整数环Z中，包含(15)的极大理想是(A)(3)(B)(5)(C)o(3)或(5)4、若Q是有理数域，则(Q( J3):Q)是(A)

5、6(B)5、下面不成立的命题是(C)(A)域是整环(B)除环是域(C)整数环是整环二、填空题(本题共5空，(请将正确答案填入空格内)环Z(i)=a+bi|a,德Z的单位是_若a是群G中的一个8阶元，则a6的阶为每空3分，共15分)1、2、3、4、5、设M100(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合，在M100(F)中规定等价关系下:AB =秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有6次对称群S6中，(1245)(46)=12的剩余类环Z12的零因子是三、判断题(本题共5小题，每小题2分，共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“2”，错误的打“X”若HN,HG,那么NH PG。设I是一主理想环，则I是一欧氏环。1、2、3、商环是一个域。4、设f是群G到群G的同态映射,5、素数阶的群G一定是循环群。四、计算题(本题共2小题,每小题10分，共20分)(要求写出主要计算步骤及结果)1、在10次对称群S10中，b =7 8 9 10110将 b 表成一些不相交轮换之积，并求2、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。五、证明题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1、设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明：f(A) = R0A + Kerf = R。2、设N G, G:N=2009,证明：对