博弈论课程补充

1、博弈论课程补充无限策略博弈分析 在无限策略、连续策略空间的博弈中，仍然可以以纳什均衡概念为基础进行 博弈分析。下面以“古诺双寡头垄断博弈”为例进行分析。古诺(1838)的双寡头垄断模型被认为最早提出了纳什定义的均衡。这里研 究的是古诺模型最简单的情况， 在完全信息动态博弈、 不完全信息博弈静态博弈 条件的研究将对这个模型进行不同的变形。由于市场容量总是有限的， 在一定的价格水平上一个市场能够销售出特定产 品的数量肯定是有限的。 如果向该市场投放的商品超出该数量， 则必须降低才能 全部销售出去。换言之，在任何一个市场上，能够将商品全部销售出去的价格， 也称为市场出清价格，是投放到该市场上商品数量

2、的函数。设市场有1,2两家厂商生产同质产品，厂商1的产量为qi，厂商2的产品为 q2,则市场总供给为Q=qi+q2，市场出清价格P(可以将产品全部卖出去的价格) 是市场总供给的函数P=P(Q)=a-Q (更精确的表述为：Q<a时，P(Q)=a-Q ； Q>a 时，P(Q)=0) 设两厂商生产qi的总成本c(qi)=cqi,即企业不存在固定成本，且生 产每单位产品的边际成本为常数 c,这里假定c<a。根据古诺的假定，两厂商同时 决定各自的产量，他们在决策之前都不知道另一方的产量。在该博弈中，博弈参与人为厂商 1 和厂商 2，两博弈的战略空间是他们可选 择的产量， 因为产量是连续

3、可分的， 因此两厂商都有无限多种可选策略。 该博弈 中两博弈方的得益是两厂商各自的利润， 即各自的销售收入减去各自的成本， 即u1=q1P(Q)-c1q1=q1a-(q1+q2)-cq1u2=q2P(Q)-c2q2=q2a-(q1+q2)-cq2 两博弈方的得益(利润)都取决于双方的产量水平。利用纳什均衡的概念， 如果两博弈方的一个策略组合 ( q1* ,q*2 )满足其中的 q1* 和 q2* 相互是对对方的最佳策略，就构成一个纳什均衡。如果可以证实它是该博 弈唯一的纳什均衡，则可以预言理性的博弈方(厂商)将分别选择这两个产量。根据纳什均衡的定义，(q；,q；)应当是下列最大值问题的解。*m

4、ax q1 a (q1 q；2) cmaxq2【a Q q?) cq2利用微积分求极值的方法，可以知道，该问题的解就是对每个厂商的收益函数求一阶导数并令其等于0,即可求出纳什均衡。*qi*1 *2 (a q2 c)i*q22 (a qi c)解这一对方程组得* a cq q2这一对产量组合就是古诺双寡头垄断模型的纳什均衡。可以对这一结果进行 效率评价。这一对产量组合就是古诺双寡头垄断市场上，每个厂商都从自身利润最大化出发选择了最优产量 口 o市场总产量为 空 9，每个厂商的纳什均衡利润为33(a c)2o9可以将这个结果与完全垄断市场做一比较。在完全垄断市场上只有一个厂商，这时他会选择qi使自

5、己的利润ui=qi(a-qi-c)的最大化，容易解出其垄断产量应为qm=(a-c)/2,并可赚取垄断利润(a当市场上有两家企业即双寡头垄断时，要使两家厂商总的利润最大化，两厂 商的产量之和qi+q2应当等于垄断产量qm,比如qi=q2=qm/2时就可以满足这一条 件。这时每个厂商的利润为也，大于上述纳什均衡利润。因此，从两厂商8的总体来看，根据总体利益最大化确定产量效率更高， 如果两厂商考虑合作，联 合起来决定产量，先定出使总收益最大的产量，然后各自生产一半，则各自可分 享到比只考虑自身利益的独立决策行为更高的利润水平。但是，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容 易出现

6、，即使出现了也往往是不稳定的。因为各生产一半实现最大总利润的产量 组合不是纳什均衡，每一厂家都有动机单独偏离它；因为垄断产量较低，相应的 市场价格就比较高。因此，产量博弈的古诺模型也是一种囚徒困境。在上面讨论的两寡头古诺模型汇中， 对厂商2的任意产量q2,厂商1的最佳 对策产量qi就是使自己在厂商2生产q2的情况下利润最大化的产量，即qi是最 大化问题的解。*maxui maxq1a (qi qi ) cqiqi1qi (a q2 c)2这样就得到了对于厂商2的每一个可能的产量，厂商i的最佳对策产量的计 算公式，它是厂商2的一个连续函数，称这个连续函数为厂商i对厂商2产量的 一个反应函数，记为

7、iqi Ri©)(a q2 c)同样的方法，可以求出厂商 2对于厂商i产量qi的反应函数1q2 R2(qi)(a qi c)2两个反应函数构成的方程组的解，即满足纳什均衡的条件；两厂商的产量选 择(战略)均是对手战略的最优反应。对于一个一般的博弈，只要得益是策略的多元连续函数，都可以求每个博弈方针对其他博弈方策略的最佳反应构成的函数，也就是反应函数，解出的各个博弈方反应函数的交点就是纳什均衡。这种利用反应函数求博弈的纳什均衡的方法 称为“反应函数法”。作为学习和进化结果的纳什均衡古诺模型的结果在现实中是如何实现的？可以用学习调整过程来解释该均 衡结果。假定博参与人反复逐个设定它们的产

8、量，每个参与人所选择的产量是对其对手在前一阶段选择产量的最优反应。因此，如果参与人i在阶段0中行动，并选择的产量是对其对手在前一阶段选择产量的最优反应。因此，如果参与人i在阶段0中行动，并选择qi0，则参与人2在阶段i的产量是q2 r2(qi0)，其中P2 是厂商2的反应函数，继续迭代这一过程qi2i(q2) rir2(qi°)这一过程可能终结在一种稳定状态上，其产量水平是常数。这一过程从一开始点均衡收敛到纳什均衡，也就是说，纳什均衡是全局稳定的完全信息静态博弈的典型应用可以用完全信息静态博弈的分析方法解释的分析方法解释许多经济现象， 古 诺寡头竞争就是最古老而典型的博弈分析。1、豪

9、泰林价格竞争模型 在古诺模型中，产品是同质的。在这个假设下，如果企业的竞争战略是价格 而不是产量，伯川德证明，即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成 本，企业的利润为 0，与完全竞争市场均衡一样。这便是所谓的“伯川德悖论” 。解开这一悖论的方法之一是引入产品的差异性。 如果不同企业生产的产品是 有差异的， 替代弹性就不会是无限的， 此时消费者对不同企业的产品有着不同的 偏好，价格不是他们唯一感兴趣的变量。 在存在产品差异性。 如果不同企业生产 的产品是有差异的， 替代弹性就不会是无限的， 此时消费者对不同企业的产品有 着不同的偏好， 价格不是他们唯一感兴趣的变量。 在存在产品差异的情况

10、下， 均 衡价格不会等于边际成本。产品差异有多种形式，经典的豪泰林模型考虑了一种特殊的差异，即空间上 的差异(实际上，可以将消费者的位置差异解释为一般性的产品差异) 。在模型 中，产品在物质性能上是相同的， 但在空间位置上有差异。 因为不同位置上的消 费者要支付不同的运输成本， 他们关心的是价格与运输成本之和， 而不仅仅是价 格。假定有一个长度 1 的线性城市，消费者均匀分布在 0,1区间里，分布密度为 1假设有两个商店，分别位于城市的两端，商店1在x=0处，商店2在x=1处，出售性能相同的产品。每个商店提供单位产品的成本为c,消费者承担每单位距离为t的交通成本。这样，住在x处的消费者如果单位

11、产品的成本 c,消费者承 担每单位距离为t的交通成本。这样，住在x处的消费者如果在商店1购买，要 花费tx的交通成本；如果在商店2购买，要花费t(1-x)的箭头成本。假定消费者 具有单位需求，即或者消费 1 个单位，或者消费 0 个单位。考虑两商店之间价格竞争的纳什均衡，即行动变量为价格Pi(i=1,2),需求函数 Di(p1,p2)(i=1,2)。如果住在比x距离近的消费者在两个商店之间消费成本是无差异的，即满足pi+ tx=p2+t(1-c)那么，住在比x距离近的消费者都会在商店1购买，住在比x距离远的消费U1Ul(Pl, P2) (Pi C)?Di(R,P2)(Pic)P2Pi2t者都会在商店2购买，则需求函数分别为D1(P1,P2)P2P1tx2tD2(R,Fb)“P1P2t1 x2t利润函数分别为U2 U2(Pi，P2)(P2 C)?D2(P1，P2)(P2 C)求使得利润最大的价格水平，分别令以下一阶导数为零-p2 c 2t 2p1 0 PiP2Pi c 2t 2 P2 0P1 P2 C t每个企业的均衡利润为tU1 U22如果将位置差异解释为产品差异，则差异越大，均衡价格及利润就越高。原 因在于，随着交通成本的上升，不同商店出售的产品之间的替代性下降， 每个商 店对附近的消费者的垄断能力加强， 商