2016年高考全国1卷理数试题(解析版)

1、绝密启封并使用完毕前-1 -试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标理科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；)设集Axx24x30,x2x30,则AIB(A)3,3(B)3；(C)1,3(D)2222【答案】D加试题分析；因为£二口2灭十3虬0二，所以考

2、点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算(2)设(1i)x1兀其中x,y实数，则|xyi=(A)1(B)2(C)3(D)2【答R案】B【解析】试题分析：因为x(1i)=1+yi,所以xxi=1+yi,x=1,yx1,|xyi|=|1+i|2,故选B考点：复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共版复数，复数的模及复数的乘除运算

3、，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是i21中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性(3)已知等差数列an前9项的和为27,ai8，则aioo(A)100(B)99(C)98(D)97【答案】c【解析】9ai36d271,d1,aiooa99d19998,故选试题分析：由已知，所以a印9d8【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法(4)某公司的班车在7:00

4、,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是/A、1123(A3(B)2(C)3(D)4【答案】B【解析】试题分析：如图所示:画出P寸间轴：7:307:407:508:008:108:208:30四ACDB小明到达aw间会随机的落在廛|中纯段如社而当他的八达时间落在线段AC或册时:才髓保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型所求飘率“盘#4.故选E.402考点：几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定“测度”，常见的测度由：长度、面积、体积等22_,(5)已知方程勺

5、oVn1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值2mn3m2n范围是(A)1,3(B)1,3(C)0,3(D)0,3【答案】A【解析】试;M分析已亍，一未示双曲线贝“言寸Y心”-用&彳他-十M3叶nr5丈3商匚由双曲线性质知：d=(w2An)+(3/?f-A|=4m2,M中c是半焦:.OE2c勿l=4，解得|B卜1,；.-l<n<3，故选A.考点：双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现，主要考查双曲线几何性质，属于基础题注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何

6、体的体积是28，则它的表面积是3(D) 28(A)17(B)18(C)20w【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示:-7-彳是一个球被切掉左上角的L设球的半径为R,则V4R33QO,解得R2,所以它的3表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和87212S=422+322=17故选A.4考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何由三题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键（7）函数y2x2ex在2,2的图像大致为【答案】D【解析】所限试题分析

7、：酗?WJcJK在.空1上是存酗其廛|象关于因为二排除挫/选项$当工亡S2时=4工有一雾点55为%当女（0心）时,/&）为斟当址（心时,（巧为增函数.故选D.考点：函数图像与性质-# -【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项(8)若ab1,c1,则(A)Ac【答 案】【解 析】bc ( B) abc bac (C)ageblogac(D) logaC gc试题分析：用特殊值法，令a 3,b2,c选项A错误，3 22 2 3

8、2,选项B错-9 -，选项D错误，故选C.误，3log1210g32,选项C正确，logs22考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幕或对数值的大小，若幕的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.(9)执行右面的程序框图，如果输入的xO>y1>n1,则输出x,y的值满足(A)y2x(B)y3x(C)y4x(D)y5x输入x,n=n +1n-1 x=x+-，y=ny输出x,yIJL结束【答案】C不满足/ +十二36；试题分析；当用=1时左=Q+J=JMI日勺二2.H二0+M二，二2x1二2环龊F+员乏36：珥二

9、玄“2+211二二AW满足'IT>T占£f1./+/>36j?Ax=|：v=6：则静若的ZTv的值满足v=4r故选<考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果(10)以抛物线c的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】试题分析：如凰设抛物线方程为二2px'应交工轴于点贝kC二22柳A自纵坐你为犁.则山点横坐标为

10、仝即OC=-由勾股定理知DF：+OF：=Q0：=乂Ad-M二汽即PP(8g"+<-)解得牛斗即C的焦点到准线的距嵩为血故洗B2P考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算，注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.BiA1=n,则n所成角的正弦值为m、(11)平面过正方体ABCDAiBCDi的顶点A,平面CBQi,I平面ABCD=m,I平面AB3231(A)2233【答案】A【解析】试题分析：如图，设平面CBDiI平面ABCD=m',平面CB1D1I平面ABBA

11、=",因为平面CBN,所以m/m',n/n',则m,n所成的角等于m',n'所成的角延长AD,过D1作DiE/B|C,连接CE,BD1,则CE为m,同理BF为n',而BDCE,BF/AB,则m',n所J3成的角即为AB,BD所成的角，即为60,故m,n所成角的正弦值为一一选A.2考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补(12) .已知函数f(x)sin(x+)(0>),x为f(x)的零点,x为2445y

12、f(x)图像的对称轴，且f(x)在一，一单调，则的最大值为1836(A)11(B)9(C)7(D)5【答案】B试题分析：因文寸工二一£为门工)的雷点，”弓为/XQ圉像的对称轴所r【解析】 18 ?6叙述方式新AO,是一道考 本0的单调斗二兰M化兰否竺所加二如1吐心又因为几。在任暨擀所以2443苕汩刍弓哙耳心皿由此顷如单选B考点：三角函数的性质2师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查能力的好题注意本题解法中用到的两个结论：fxAsinx区间长度是半个周期；若fXAsinxA0,0的图像关于直线XX。对称则f怡A或fX。A第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第

13、(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共3小题,每小题5分(13) 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m二.【答案】2【解析】试题分析：由|abl2|a|2得ab,所以m1120,解得m2.考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性本题所用到的主要公式是：若axi,yi,bX2,y2,则abxiyix2y2(14) (2xX)5的展开式中/3的系数是(用数字填写答案)【答案】10试题分析：(

14、2.+八)5的展开武通项为C；(加)=2碍/；0L2.J3冷所以.它的系数是2©“0.考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项口勺,再确定r的值，从而确定指定项系数(15)设等比数列an满足ai+a3=10,a2+a4=5,贝【Jaia2如的最大值为.【答案】64a3得，翅1 qj w5-q"，解a4aq(1M)泡【解析】ai试题分析：设等比数列的公比为q,由a2n(n1)22，于是当n 3或4时,azL an取得最大n12L(n1)ftn(尸aia2Lanaiq0值2664.考点：等比数列及其应用在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应高考中

15、数列客观题大多具有小、巧、活的特点用，尽量避免小题大做(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【答案】216000-# -试题分析：设生产产品卫、产品月分别为-V、F件;利润之和为2元，那么1.5X+0JJ八150：忙+0.*如5x+3j<600rJ沁目标国数

16、匚dQ”+9QQ厂二元一次不等式组等价于3兀+r£3g10x+3>«900.5X+3JA600T©aA0.作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域4y210taA90（h-zMS将|二210Qx+900y变形一得什盒平行直洽一言寸当直知；职得最大值.10%+3y=900解方程组一、,Ann；得胚的坐标何100）一为+3y=bU0所以当丈二（50v=10G时=2100x60+900x100=216000故生产产品且、产品序的制和的最大值对216000元考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点般以客观题形式出现，基本题型是给出约

17、束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离解决此类问题常利用数形结合本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分为12分）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）c.（I）求C；（II）若c7,ABC的面积为33,求VABC的周长.2【答案】（I）C（II）573【解析】试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得cosC；（|）根据31absinC33及C得ab6再利用余弦定理得25再根据c7可得试题解析！(I)由已知及正弦定理得2

18、cosc(UnAcosB+sinBcosA)=C2cc»Cshi(A4B)=smC.2siaC=sinC.可得®V加3?口由已知£说心斗L由已知及舸绽理得:+故a；+£>=13JAi而+盯二25-15-考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sinaBsgcosABcosC,tanABtanC,就是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边（18）（本小题满分为12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2

19、FD,AFD90。,且二面角D-AF-E与二面角C-BEF都是60。（I）证明：平面ABEF平面EFDC（II）求二面角E-BC-A的余弦值.答案（1）见解析（II）小，【解析】试题分祈：（D先证明A7,平面EFDC；结合AFu平面ABEF可得平面ABEF_平面EFDC.II）建立空间坐标粢分别求出平面B亡旦的j去向量朋及平面BCB的法向量川一一面K|m|龟试题解析：（I）由已知可得FDF,FF,所以F平面FDC.又F平面F,故平面F平面FDC.（II）过D作DGF,垂足为0,由（I）知DG平面Fuuum以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Gxy

20、z.由（I）知DF为二面角DF的平面角，故DF60。，则|DF|2,DG3,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0,D0,0,3.由已知、F,所以平面FDC.又平面CD I平面FDC DC,故/CD, CD/ F .由 F,可得平面FDC,所以F为二面角CF的平面角C F 60° 从而可得 C2,0, 3 .uuuuuu所以 C 1,0,3,uuu0,4,0 , Cuuu3, 4,3,4,0,0设n x, y,z是平面C的法向量，filllr urnn C r 0 uuu n即4yo0所以可取3,0, 3 .r UUU设m是平面 CD的法向量，则mullCm同理可取m 0, 3,4

21、.则cos n,m2V1919故二面角C 的余弦值为 219 .19考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主第二问一般考查角度问题，多用空间向量解决.该种机器使用三年后即被淘汰机器有一(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在

22、购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：-21 -以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(I)求X的分布列；(II)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值；(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【答案】(I)见解析(II)19(III)n19【解析】试题分析：先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22”再用相互独立事件概率模型求概

23、率，然后写出分布列；(II)通过频率大小进行比较；(III)分别求出n=9,n=20的期望根据n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，应选n19.试题解析；(I由柱状IH并以频率代替班率可得.一台机器在三年内需更换的易损零件数为的机髡分别为0一工。屯区22从而=16)=0.2x02=0X4|P(八=17)=2x0_2xC.4=0.16j=18)=2x:0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；A-19)-2x0.2x0.2+2x0.4x(.2-0.24,P6r二20)二2x0.2x0.4+0.2K0.2二0.2j八=21)=2x0.2x02=0.08;2台机器在购买易损零件上所需

24、的费用(单位：元)不斗 22) = 0-2 父 0-2=0 04(川v主一) 记丫表不当n 19时,EY192000.68(19 200 500) 0.2(19 2002 500) 0.08(19 200 3500)0.044040 .当n20时,EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.考点：概率与统计、随机变量的分布列，有一定综合性但难【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查度不是太大大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题

25、(20).(本小题满分12分)设圆x2y22x150的圆心为A,直线I过点B(1,0)且与X轴不重合，1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点月(I)证明|EA|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线G,直线I交Ci于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.22【答案】XV1(yo)(II)12,83)43【解析】试题分析：根ig|£4|+|£B|可兴瞰迹MM凰刹用棉圆定义7ft方程；(II)分孵罡否存衽设升I直八方程占直鲨斜率存在人设其方程为$二凰丸J冷锻0)，根翩祐系数的关系和弦长公式把面枳

26、示为期率的国数:再求最僧试题解析：因为|AD|IAC|,EBAC,故EBDACDADC,所以|EB|EDI，故|EA|EB|EA|ED|AD|.-#-又圆A的标准方程为(x1)2y216,从而|AD|4，所以|EA|EB|4.由题设得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：(n)当I与x轴不垂直时，设I的方程为yk(x1)(kO),M(X1,%),NXy).得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.yk(x1)由X2y2xy143则 X28k24k2 3 和 224k 124k2 3所以 | MN |1 k2 |xiX2|12( hill4k2 3过点B

27、(1,0)且与I垂直的直线m1 2y (x 1), A到m的距离为2|PQ|242()24j.故四边形MPNQ的面积vk21Vk212|MN|PQ|12J14k23可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).当I与x轴垂直时，其方程为x1,|MN|3,|PQ|8,四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,83).考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，

28、解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.2(21)(本小题满分12分)已知函数fxx2exax1有两个零点.(II)设Xi,X2是fx的两个零点证明：4X22.(I)求a的取值范围；【答案】(0,)【解析】试题分析(I求异，根捋辱函数的符号来确走一主要荽根1E导函数零点来分类；CD僧组第一问的结论来由单册可知画+七c2等价于心只2.动即/(2.对0,慢g(x)二S(x河则二则当“1口寸而£(1)=0;故当戈”口寸£(工)弋0.从而5(话&/()一可)uO故西十花2.试题解析;(I)f'(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).(i)设

29、a0,则f(x)(x2)ex,f(x)只有一个零点.(ii)设a0则当x(,1)0tff(x)0；当x(1,)时,f'(x)。.所以f(x)在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增.a又f(1)e,fa,取b满足b0且bIn,则2a223f(b)2)2)a(b1)2a(b2b)0,故f(x)存在两个零点.(iii)设a0,由f*(x)0得x1或xln(2a).若a，则ln(2a)1,故当x(1,)时,f'(x)0,因此f(x)在(1,)上单调递增.又2当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.e若a，则ln(2a)1，故当x(1,ln(2a)时,f'(x)0;

30、当x(ln(2a),)2时,f'(x)0因此f(x)在(1,ln(2a)单调递减,在(ln(2a),)单调递增又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围为(05).<II）不妨设:吗益由（I）e（-QO=1）=JAe（L+oo）,2-jtje（-0Q）/U）在（一迟1）匕里调递减所以坷+眄亡2等价于问“（2-码）砂（2对。由于/（2-孔）二-氏产掩+/忑一）1而舆耳）二（七一20就$-1）-二。所以f（2一吃=2-=-八-2上包，设岸二一左x_工2）/则O（1X（X-0所以当x>1时的v6而D=山散当-v>1时.fU）<0从而-/（2

31、八：）（°故五十花丫2-考点：导数及其应用【名师点睛】，对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；，解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲1如图，OAB是等腰三角形，/AOB=120。以。为圆心，OA为半径作圆.2（I）证明：直线AB与eo相切；（II）点c,D在O。上，且A,B,GD四点共圆，证明:AB/CD.-27 -【答案】（I

32、）见解析（II）见解析【解析试题分析；（1）设E是曲的中点先证明"0E=的逋一步可得OE=AO即，到直线召的距离等于心作直线00，删圆。的半人所决直线曲与。相切.（II）设少是4耳GD四点所在圈的OOf_CD.由此可证明JFCD.-# -试题解析：设E是AB的中点连结0E,因为OAOB,AOB120，所以OEAB,AOE601在RtAO囱，OEAO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径所以直线AB与oO相2切.因为OA2OD，所以。不是代B,C,D四点所在圆的圆心，设0,是代B,C,D四点所在圆的圆心，作直线由已知得。在线段AB的垂直平分线上，又O'在线段AB的垂直平分线上，所以OCTAB.同理可证QOCD.所以ABCD.考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定