1直线与直线的方程

1、1甜 2M；第二章解析几何初步§ 1直线与直线的方程1.1直线的倾斜角和斜率1学习目标导航I1理解直线的倾斜角和斜率的概念.（重点）2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.（重点）阶段1.认知侦习质疑基础初探教材整理1直线的确定及直线的倾斜角阅读教材P61至P62 “图2-5”前面部分，完成下列问题1. 直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直 线上的一个点和这条直线的方向.2. 直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直 线l，把X轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线I重合所成的角,叫作 直线I的倾斜角，通常用a表示.（2）范

2、围：0°W a<180°微休验如图2-1-1中标注的a表示直线I的倾斜角的是（）A. B.C.D.【解析】结合直线I的倾斜角的概念可知 正确，选A.【答案】A教材整理2直线的斜率阅读教材P62 “图2-5”以下至P64 “例1”以上部分，完成下列问题.1. 直线的斜率与斜率的计算公式：(1) 直线的斜率：tan a a 90°直线倾斜角a的正切值叫作直线的斜率，即k= m °C。 .不存在,a 90 .(2) 经过两点的直线斜率的计算公式：V2 y 经过两点P1(X1, y1), P2(X2, y2)(其中X1MX2)的直线的斜率公式为k=X2 X

3、12. 斜率与倾斜角的关系：图示1 yi2V刊1-V倾斜角(范围)a= 0°0°v a90°a= 90°90 °< av 180°斜率(范围)k= 0k> 0不存在k< 0【解】吩靑3,解得21所以a的值为1.合作探究通关小组合作型直线的倾斜角例 一条直y轴正方向的夹角为a(0 <a<90°)，贝U其倾斜角为()A. aB.180 ° aC.180 °- a或 90° aD.90 °+ a或 90° a【精彩点拨】由题意知直线I的上半部分可能在y

4、轴的左侧或右侧，因此 可借助图形解之.【自主解答】如图，当直线I向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+ a当直线I向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90° a【答案】 D名师'求直线的倾斜角的方法及两点注意:(1)方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解两点注意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为 0°当直线与x轴垂直时，倾斜角为90° 注意直线倾斜角的取值范围是 0°< a< 180°.再练一题1. 设直线I与x轴交于点A，其倾斜角为a,直线I绕点A顺时针旋转45°后 得直线h,有下列四个选

5、项：a+ 45°a+ 135°a 45°135° a，则直线11的倾斜角可能的取值是()B.A.C.D.【解析】 当 a45°寸，直线I绕点A顺时针旋转45°后得直线11的倾斜角 为a 45°当0°< a<45°时，直线li的倾斜角为180° (45。一 "= 135°+ a,故选B.【答案】 B例EJ (1)已知点A(4, 5), B(2, 3),则直线AB的斜率kAB =;已知过A(3,1), B(m, 2)的直线的斜率为1,则m的值为【精彩点拨】利用直线的斜

6、率公式求解3 ( 5)2【自主解答】(1)kAB=24二22二1.当m= 3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在.2 13当 mH 3 时，k= 1,解得 m= 0.m3m3【答案】 (1) 1(2)01熟记斜率公式是解答本题的关键2求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义.当两点的横坐标相等时, 过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用 斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在.再练一题2已知直线I经过两点P1(2,1)和P2(m,2)(m R).(1) 求直线l的斜率；(2) 若直线l的倾斜角a为45°求m的值.【导学号:39292067】【解】(1)

7、当m= 2时，X1 = X2 = 2,二直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在.2 1 1当咗2时，直线l的斜率k=m2=砂.(2) v a= 45 ,二 k=tan a= 1,1m 2=1，即卩 m 2= 1，二 m= 3.探究共研型探究点斜率的应用探究1【提示】若三点A(2， 3)，B(4,3), C(5，k)在同一条直线上，求k的值.T A, B, C在同一条直线上，二kAB= kBC,311 巳，解得 k= 6.5 4探究2 已知点A(- 1, 3)，B(0，-1)，C(4,7),试判断这三点是否共线?【提示】kAB= 1 ( 3) = 2, kAC = 7 = 20 ( 1)4 ( 1

8、)-IAB = kAC.直线AB与AC重合，点A, B, C共线.卜例已知坐标平面内三点 A( 1,1)，B(1,1)，C(2, 3+ 1).(1) 求直线AB, BC, AC的斜率和倾斜角；(2) 若 DABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.【精彩点拨】(1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)可采用数形结合法来解.【自主解答】(1)由斜率公式得1 1(3+1 1匚如=1 ( 1)=0, kBC=2 1=3,窃+ 1 1 3尿=2 ( 1)=亍 tan 0=0,二AB的倾斜角为0°tan 60 =3, - BC的倾斜角为60° AC的倾斜角为30

9、°ta n 30 = 3 ,(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此 时k由kcA增大到kcB,所以k的取值范围是 彳,3 .1求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜 率的范围.2. 利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线？ kAB= kAc或kAB与kAc都不存在.3S的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问再练一题3. 已知点A(2, 3)，B(-3, 2),直线I过点P(3,1)且与线段AB相交，求 直线I的斜率的取值范围.【解】如图所示，设直线

10、I, PA,当I与线段AB相交时，n有 Ov a W a aV2，贝 U tan aW tan a tan a,kpB w kw kpA.PB的倾斜角分别是a, a, a.又 kPA=kPB =1+ 2 _ 1 3+ 3_ 2,1 2<kw4,即直线I的斜率的取值范围是阶段3体验落实进价课堂回馈即时达标1. 对于下列命题： 若a是直线I的倾斜角，贝U 0oW亦180° 若k是直线的斜率，则k R ； 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】由直线的倾斜角和斜率的定义可知 正确【答案】C2

11、. 若经过P( 2, m)和Q(m,4)的直线的斜率为1,则m等于()A.1B.4B. 1 或 3D.1 或 44 m【解析】由题意，得kpQ= 1,解得m= 1.m+ 2【答案】A3. 在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图2-1-2所示，则直线AB的倾斜角为斜率为.图 2-1-2【解析】根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为30° k= tan 30 虑【答案】30°于4.若直线的倾斜a 30°则该直线的斜率k=【解析】k= tan 30 =即【答案】35.如图2-1-3，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1,下底长为3,高 为1，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率.【导学号：39292068】【解】如图，分别过点B, C作x轴的垂线，垂足分别为 D和E，则有10E= ED