2026-2027学年浙教版数学九上 第3章 圆的基本性质 单元综合知识梳理卷

第3章圆的基本性质单元综合知识梳理卷（时间：120分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（)A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了90°的圆周角所对的弦是直径B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SASD．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面宽度为8m，圆柱形油槽的直径为（）A．6m B．8m C．10m D．12m3．如图，AB是⊙O的弦，点D是弦AB的中点，OD与⊙O交于点C，AE是直径，连接BE、DE，若DE=6，DO=2，则半径OC的长为（）A．4 B．25 C．264．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A．75° B．72° C．70° D．65°5．如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，点B恰好在量角器上40°的位置，则∠BAC的度数是（）A．40° B．80° C．20° D．10°6．下列命题中正确的是（）A．正五边形是中心对称图形B．平分弦的直径垂直于弦C．化简﹣a−1aD．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是菱形7．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的外心 B．△ACD的内心C．△ABC的外心 D．△ABC的内心8．一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折()次．A．1 B．2 C．4 D．89．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．33 B．42 C．3210．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．12．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD的度数为．13．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，那么⊙O的半径为.14．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，顺次连接AC，CB，BD和DA，得到四边形ACBD，则四边形ACBD的形状一定是．15．正多边形的一个外角的度数为30°，这个正多边形的边数是16．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题14分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.18．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形.（1）请在图18-2中利用尺规作出正六边形ABCDEF（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求地基的面积（答案保留根号）.19．如图，在⊙O中，有定长弦AB在圆上滑动，点C是弦AB的中点，过点A作AD丄直径MN垂足为D，连接CD.（1）当弦AB在⊙O上滑动时，探究∠ADC的大小是否变化，请说明理由（2）当∠ADC=30°，AB=6时，求圆的半径.20．如图这是一个残缺的圆形部件，已知A,B,C是该部件圆弧上的三点．（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求该部件的半径R．21．如图所示，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结BC，AC，（1）求证：OD//（2）若BC=8，DE=3，求22．（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，求（2）下图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为5m，求圆形拱门所在圆的半径．23．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α0°<α<90°后得到△ADE，AE=5，AB=8（1）如图1，当AB的对应边AD恰好经过点C时，求CD的长；（2）将△ABC继续旋转至如图2所示的位置，若∠BAE=4∠CAD=80°，求线段AB扫过的面积．第3章圆的基本性质单元综合知识梳理卷（解析版）（时间：120分钟满分：120分）一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数学来源于生活，又服务于生活.以下四幅图中用数学原理解释不正确的是（)A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了90°的圆周角所对的弦是直径B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法SASD．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短【答案】C【解析】【解答】解：A：图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了90°的圆周角所对的弦是直径，正确，不符合题意；

B：图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，正确，不符合题意；

C：图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角

形全等中的判别方法ASA，错误，符合题意；

D：图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，正确，不符合题意；故答案为：C【分析】根据圆周角定义，三角形的稳定性，全等三角形判定定理，垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.2．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面宽度为8m，圆柱形油槽的直径为（）A．6m B．8m C．10m D．12m【答案】C【解析】【解答】解：如图，依题意得AB=6m，CD=8m，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=12AB=3m，CF=1在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，∵OA=OC，∴32+x2=42+（x﹣1）2，解得x=4，∴半径OA=32∴直径MN=2OA=10m．故选：C．【分析】如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理得AE=12AB=3m，CF=13．如图，AB是⊙O的弦，点D是弦AB的中点，OD与⊙O交于点C，AE是直径，连接BE、DE，若DE=6，DO=2，则半径OC的长为（）A．4 B．25 C．26【答案】C【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的弦，点D是弦AB的中点，∴OD⊥AB，AD=DB=1∵AE是直径，连接BE，DE，∴∠ABE=90°，∴OD是△ABE的中位线，∴OD=1∵DE=6，OD=2，∴BE=2OD=4，在Rt△DBE中DB=D∴AD=DB=25在Rt△ADO中OA=A∴OC=26故答案为：C．

【分析】利用垂径定理得OD⊥AB，AD=DB=12AB，根据过圆周角定理的推论可证得∠ABE=90°，再证明OD4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（）A．75° B．72° C．70° D．65°【答案】A【解析】【解答】解：连接BD，

∵∠ACD=15°，∴∠B=∠ACD=15°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°﹣∠ADB﹣∠B=75°，故答案为：A【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠B和∠ADB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.5．如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，点B恰好在量角器上40°的位置，则∠BAC的度数是（）A．40° B．80° C．20° D．10°【答案】C【解析】【解答】解：∵OA=OB∴∠BAC=∠OBA∵∠COB=∠BAC+∠OBA=2∠BAC=40°∴∠BAC=20°故答案为：C．【分析】由OA=OB可知∠OAB=∠OBA，再由三角形外角的性质得出∠COB=∠OAB+∠OBA=40°即可求出∠BAC的度数．6．下列命题中正确的是（）A．正五边形是中心对称图形B．平分弦的直径垂直于弦C．化简﹣a−1aD．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是菱形【答案】C【解析】【解答】解：A、正五边形不是中心对称图形，此选项错误；B、当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直，此选项错误；C、化简﹣a−1a的结果是D、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形，此选项错误；故选C．【分析】A、根据中心对称图形的概念进行判断；B、根据垂径定理进行判断；C、判断a的正负，再化简即可判断；D、根据菱形和矩形的性质即可判断．7．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的外心 B．△ACD的内心C．△ABC的外心 D．△ABC的内心【答案】A【解析】【解答】解：由勾股定理可知：OA=OD=OC=1所以点O是△ACD的外心，故答案为：A．【分析】利用勾股定理求出OA=OD=OC=18．一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折()次．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】【解答】解：∵圆的对称轴是任意一条通过圆心的直线，

∴圆心在折痕上，

∴对折2次后，两次折痕的交点为圆的圆心．故答案为：B.

【分析】根据圆的对称轴是任意一条通过圆心的直线可判断两次折叠后折痕的交点为圆的圆心．9．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．33 B．42 C．32【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接OC，OD，设OD交AC于点F，∵D是AC⏜∴AD=∴∠AOD=∠COD，∵OA=OC，∴OF⊥AC，AF=CF，

∴∵AB是⊙O的直径，

∴OA=OB，∠ECB=90°，∴OF是△ABC的中位线，∠EFD=∠ECB，∴OF=1∵E是BD的中点，∴DE=BE，在△EFD和△ECB中，∠EFD=∠ECB∴△EFD≌△ECBAAS∴BC=DF，∴OF=1又∵⊙O半径为3，∴OF+DF=3，AB=6，解得：OF=1，∴BC=DF=2OF=2，∴AC=A故答案为：B．【分析】连接OC，OD，设OD交AC于点F，根据圆心角、弧、弦之间的关系得∠AOD=∠COD，根据等腰三角形”三线合一“性质得出OF⊥AC，AF=CF，由此证得OF是△ABC的中位线，从而得OF=12BC，然后证明△EFD≌△ECBAAS，得出BC=DF，10．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面的结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，

∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，

在△ABE和△DBC中，AB=DB∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①符合题意；

∵△ABE≌△DBC，

∴∠BAE=∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，

∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，

∴②符合题意；

在△ABP和△DBQ中，∠BAP=∠BDQAB=DB∠ABP=∠DBQ=60°∴△ABP≌△DBQ（ASA），

∴BP=BQ，

∴△BPQ为等边三角形，

∴③符合题意；

∵∠DMA=60°，

∴∠AMC=120°，

∴∠AMC+∠PBQ=180°，

∴P、B、Q、M四点共圆，

∵BP=BQ，∴∠BMP=∠BMQ，

即MB平分∠AMC；

∴④符合题意；

综上所述：正确的结论有4个；

故应选：D。【分析】①根据等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，根据等式的性质及平角的定义得出∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，从而利用SAS判断出△ABE≌△DBC；②根据全等三角形对应角相等得出∠BAE=∠BDC，根据外角的定义得出∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，根据等量代换得出∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；③根据ASA判断出△ABP≌△DBQ，根据全等三角形的对应边相等得出BP=BQ，又∠PBQ=60°，从而根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得出△BPQ为等边三角形；④首先由∠AMC+∠PBQ=180°得出P、B、Q、M四点共圆，又根据等弦所对的圆周角相等得出∠BMP=∠BMQ，从而得出MB平分∠AMC。二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)11．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．【答案】πa【解析】【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴AB的长=BC的长=CA的长=60πa180=πa∴勒洛三角形的周长为πa3故答案为：πa．【分析】利用等边三角形的性质，可得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，弧AB=弧BC=弧AC，再利用弧长公式求出弧AB的长，就可得出勒洛三角形的周长。12．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD的度数为．【答案】40°【解析】【解答】解：连接BD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠ABC=50°，

∴∠DBC=40°，

∴∠DAC=40°.故答案为：40°.【分析】连接BD，由AD是⊙O的直径，可得∠ABD=90°，进而得出∠DBC=40°，根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案.13．如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，那么⊙O的半径为.【答案】5【解析】【解答】连接OA．∵半径OC⊥AB于E，∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝在Rt△AOE中，由勾股定理，得：AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得：r＝5．故答案为：5．【分析】连接OA，由垂径定理可知AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r．在Rt△14．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，顺次连接AC，CB，BD和DA，得到四边形ACBD，则四边形ACBD的形状一定是．【答案】矩形【解析】【解答】解：∵AB和CD是⊙O的两条直径，∴∠CAD=∠ADB=∠DBC=∠BCA=90°，∴四边形ACBD的形状是矩形，故答案为：矩形．

【分析】根据圆内接四边形的性质及矩形的判定方法求解即可。15．正多边形的一个外角的度数为30°，这个正多边形的边数是【答案】12【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12，则正多边形的边数为12．故答案为：12．【分析】根据正多边形的性质可得边数为360°÷外角度数16．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．【答案】108【解析】【解答】解：如图所示：

∵两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共点O，

∴∠AOC=∠BOD=540°÷5=108°，∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，

∴∠COD=180°-2×72°=36°，

∴∠AOB=360°-∠COD-2∠AOC=360°-36°-2×108°=108°.

故答案为：108°.

【分析】先由正五边形性质及内角和，求得∠AOC=∠BOD108°，∠OCD=∠ODC=72°，再根据等腰三角形性质求得∠COD=36°，最后由∠AOB=360°-∠COD-2∠AOC代入数据计算即可求解.三、解答题（17、18、19题每题8分，20、21题每题10分，22、23每题14分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.【答案】（1）解：作出圆的两条弦的垂直平分线的交点O，如图所示：（2）解：由题意得下图：其中OC=10，OD=5，在Rt△OCD中根据勾股定理得；CD=O∴圆的半径为10cm，弦心距为5cm的弦长为：2CD=103【解析】【分析】（1）在弧AB上任意取一点C，连接AC、BC，作线段AC、BC的垂直平分线，两线的交点O即为所求；

（2）由题意得OC=10，OD=5，利用勾股定理求出DC的长，由垂径定理即可求出结论.18．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形.（1）请在图18-2中利用尺规作出正六边形ABCDEF（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求地基的面积（答案保留根号）.【答案】（1）解：作法如图所示所以正六边形ABCDEF为所求.（2）解：如图，连接OB，作OP⊥AB，垂足为P.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴△OAB是等边三角形.∴∠OAP=60°.∵OP⊥AB，在Rt△OAP中，∠AOP=30°∴APOP∴亭子地基的面积S=6S△【解析】【分析】

（1）首先再圆的任意一个位置取一点A，再以A为圆心，OA为半径截取B点，再以B为圆心等长为半径依次截取点C，D，E，F，画出图形，解答即可；

（2）根据正六边形的性质得到△OAB是等边三角形，∠OAP=60°，再计算出∠AOP=30°，利用30°角的性质得到AP=19．如图，在⊙O中，有定长弦AB在圆上滑动，点C是弦AB的中点，过点A作AD丄直径MN垂足为D，连接CD.（1）当弦AB在⊙O上滑动时，探究∠ADC的大小是否变化，请说明理由（2）当∠ADC=30°，AB=6时，求圆的半径.【答案】（1）证明：根据圆的轴对称性，作点A关于直径MN的对称点A’，连接A'D，AO，BO，AD=A'D∴D为A'A中点，C为AB中点，

∴CD为△AA'B的中位线，

∴A'B//CD，∠ADC=∠A’

在⊙O中根据圆周角定理得∠A’=12∴∠ADC=12∵弦AB为定长，

∴在同圆中定长弦所对圆心角相等，即∠AOB为定值，所以∠ADC为定值所以当弦AB在⊙O上滑动时，∠ADC的大小不变（2）解：由（1）知当∠ADC=30°，∠AOB=2∠ADC=60°∴△AOB为等边三角形，AO=AB=6∴圆的半径为6【解析】【分析】（1）作点A关于直径MN的对称点A’，连接A'D，AO，BO，AD=A'D，再根据三角形中位线定理可得A'B//CD，∠ADC=∠A’，再根据圆周角定理即可求出答案.

（2）由（1）知当∠ADC=30°，∠AOB=2∠ADC=60°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.20．如图这是一个残缺的圆形部件，已知A,B,C是该部件圆弧上的三点．（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求该部件的半径R．【答案】（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求圆形部件的圆心；​​​​​​​（2）解：连接AO,OB,BC,BC交OA于D，如图所示：∵BC=16cm，AB=AC，∴BD=CD=8cm，BC⊥OA.∵AB=10cm，∴AD=A设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=R−6∴解得：R=25​​​​​∴圆片的半径R为253【解析】【分析】（1）弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心，据此即可完成作图；（2）连接AO,OB,BC，记BC与AO相交于点D，根据垂径定理可得BD=8cm，再结合勾股定理可得AD的长；设圆片的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求解．（1）解：如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）解：连接AO,OB,BC,BC交OA于D．∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=A设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=R−6∴解得：R=25∴圆片的半径R为25321．如图所示，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结BC，AC，（1）求证：OD//（2）若BC=8，DE=3，求【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD⊥BC，

∴∠OEB=∠C=90°，

∴OD∥AC；（2）解：设⊙O的半径为r，则OE=r-3，

∵OD⊥BC，

∴BE=CE=12BC=4，

在Rt△BOE中，由勾股定理得r2=42+(r−3)【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得∠C=90°，由垂直定义得∠OEB=∠C=90°，从而根据同位角相等，两直线平行得OD∥AC；

（2）设圆O的半径为r，则OE=r-3，由垂径定理得BE=1222．（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=30°，将△ABC