专题圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展

1、2 2变式2.1直线|与椭圆笃為胡a b 0相交于A,a b线I的距离d二ab.2 22.2直线I与双曲线 笃一每日a 0,b 0相交于a bB两点，则0A_0B的充要条件是椭圆中心 0到直变式A , B两点，则(1)当b a 0时，0A_0B的充要条件是双曲线中心0到直线I的距离。二b2-a2 ；(2)当a _b 0时，不可能有0A_0B.专题7.32 :圆锥曲线中弦张直角问题的研究与拓展【课本溯源】(1)直线y=x_2与抛物线 寸=2x相交于A， B两点，求证：0A _ 0B .(2)已知直线y二x b与抛物线x2 =2y交于A，B两点，且0A _ 0B( 0为坐标原点)，求b的值.【问题

2、提出】问题1 :直角顶点为坐标原点的圆锥曲线中弦张直角问题问题2:直角顶点为曲线顶点的圆锥曲线中弦张直角问题问题3:直角顶点为曲线上不同于顶点的任一点的圆锥曲线中弦张直角问题【探究拓展】探究1假设过点2p,0的直线I与抛物线y2 =2px相交于A，B两点，贝U 0A _ 0B .证明：设直线I的方程为：x=my t，由题意显然t=0.联立直线I与抛物线得：2 一y -2pmy2pt=0.由韦达定理有： 旳 y2=2pm , yi y -2pt .2 20A 0B =xx2 +yty2 =(my +t Jmy2 +Q+y1 y2 =(m +1 )y1 y2 + m y1 + y2 )+t又点2p

3、,0在直线I上，故t =2p，从而0A 0B = m2 1 | 2pt mt 2pm t2 =t2 -2pt 二 2p ? _2p 2p =0.所以，0A _0B0A_0B的充要条件为直线I过点2p,0 .探究2直线I与抛物线y2 =2px相交于A , B两点，则4 / 4探究则点M的轨迹是一个圆(去掉原点0 ),轨迹方程为(x-p3直线I与抛物线y2 =2px(p0 )交于A , B两点，当0A丄0B ( 0为坐标原点)时，作 0M丄AB ,变式3.1直线I :y =kx m与椭圆2 2=1 a b 0 交于 A ,B两点，贝U OA_OB （ O为坐标原点），作OM _AB，则点M的轨迹是

4、一个以0为圆心，以儿为半径的一个圆，轨迹方程为2 2变式3.2直线I : y=kx+m与双曲线 爲再=i（ba0）交于A，B两点，则0A丄0B（ 0为坐标原点），a b作OM _AB，则点M的轨迹是一个以o为圆心，以，ab 2为半径的一个圆，轨迹方程为耳ba2-222 a bX y 2 2 . b -a探究4直线I与椭圆2x2a2y2 =1 a b 0相交于A， B两点, bP是其右顶点，当PA_ PB时，直线I过定a aa2变式4.1直线I与椭圆2x2a2y2 =1 a 0,b O,a=b 相交于 A， bB两点，P是其右顶点，当PA_ PB时，直线i过定点ab2a -b,0 .注：对于P是

5、左顶点时，同样有相似结论该问题留给有兴趣的读者自己去研究2 2a2 _b2yo b2 _a2探究5设直线I交椭圆X, =1 a .b 0于A, B两点，点P xo,yo是椭圆上不同于 A, B两点的一个定点，贝U PA _ PB的充要条件是直线I过定点Q |2 2变式5.1设直线I交双曲线 孑-存=1 a .o,b .o,a = b于A , B两点，点P x,y是双曲线上不同于A,B两点的一个定点，贝UPA_PB的充要条件是直线I过定点Q|X02 2a byo b2 2一 a2 2 , 2 b -a a b变式5.2设直线I交抛物线y2 =2px p 0于A , B两点，点P Xo,yo是抛物

6、线上不同于 A , B两点的一2个定点，则 PA丄PB的充要条件是直线I过定点Q 2p +旦,-yoI 2P试题解答方法一：设A xi,yi , B X2,y2联立直线与抛物线得：x2 -6x，4=o.由韦达疋理有：xix2 =6 ,X|X2 = 4.又 OA OB =Xix2 yiy2 =为血亠i为-2 x - 2 = 2为血-2 Xi x2 亠4T T所以 OA OB =2 XiX2 2 Xi X2 4 =2 4 2 6 4 =o，从而 OA _ OB .方法二：设A xi ,yi , B X2,y2，假设线段 AB的中点为M xo,yo，联立直线与抛物线得:2x6x 4 =o .由韦达定理有：Xi x 6 , x2 = 4 .所以，xo 二仝 x2 =3, yo =也 y2 二 _x24 =i , M 3,i，故 OM 二 io.2 2 2又 AB| =Ji +k2 J(x +X2 j _4x/2 =紜 736_i6 =2帀，所以