差分方程在长期债券投资折溢价摊销中的应用

1、差分方程在长期债券投资折溢价摊销中的应用    摘 要 在用实际利率法摊销长期债券投资的折溢价时，后一期的摊销数据依赖于前一期的已摊销数据,因此为了计算某一期的摊销额必须先计算在此之前各期已摊销数据。本文通过分析相邻两期摊销折溢价的关系，建立了摊销折溢价间的差分方程，获得了求取某一期的摊销折溢价的通项公式，使得计算某一期的摊销额可以直接使用这一公式。最后，探讨了差分方程法在长期借款利息本金完成、融资租赁的融资费用计算中的应用，比较了在Excel中用这两种方法计算某一期的摊销额的实现过程，进一步说明了模型在长期债券投资折溢价摊销电算化中的应用。关键词 长期

2、债券投资；折溢价摊销；实际利率法；差分方程中图分类号F230.9文献标识码A文章编号1673-0194（2006）12-0038-03一、 长期债券投资问题简介企业购买其他企业发行的长期债券作为一项长期投资，由于购买时债券市场上的实际利率并不一定等于债券发行合同上的约定利率，所以购买债券的价格债券在这一时点上的价值并不一定等于债券面值，即存在债券的折价或者溢价。对于购买企业而言，折价是为了今后少得利息而事先得到的补偿，溢价是为了今后多得利息而事先付出的代价。根据企业会计准则投资的规定：折价溢价应在投资期限内合理摊销。各期债券投资的实际收益等于按照面值与票面利率计算出的票面利息加上（减去）折价（

3、溢价）的摊销。同时债券价值也随着折溢价摊销而逐步向面值靠拢。因此，为了科学核算持有长期债券各期的投资收益，就应将折溢价在各期准确摊销。二 、长期债券折溢价摊销处理实务中存在的问题现行实务中一般使用直线法和实际利率法摊销折溢价。直线法将债券的折溢价按照债券投资期限（付息期数）平均分摊，因此，每期折溢价摊销数额相等，每期确认的投资收益也相等。这种方法虽然简单，但不符合实际情况。因为，随着折溢价的摊销，债券价值在上升或下降，每期的投资收益实际并不相等。实际利率法则将债券的实际价值乘以实际利率确认为实际投资收益，实际投资收益与票面利息的差值作为折溢价摊销，期末债券价值等于其面值与本期未摊销折溢价的差或

4、和。可见实际利率法准确核算了投资企业获得的实际经济利益，在实务中有广泛应用。但实际利率法在应用中有以下缺点。第一，会计人员无法由初始条件直接计算任意年度投资收益与该年末债券价值。这是因为后一年的各项数据必须在前一年基础上才可求得，所以必须从第一年开始逐年滚动求解。在手工计算下，比较麻烦，不利于企业作出长期的预测和决策。第二，由于本期数据依据前期求出，以前年度由于四舍五入带来的误差累积对本期形成较大影响，尤其是最后一年受到前期所有误差的影响，造成一定程度的会计信息失真。但这些只是操作上的，是可以通过一定方法改进的。三、 长期债券折溢价摊销差分方程的建立注意到实际利率法下前后各期数据是一环扣一环的

5、，因而这些数据之间必然存在一定的关联。下面介绍差分方程对基于实际利率法的折溢价摊销的简便算法。设某企业在第0年以M+A0的价格购买了发行企业此时发行的面值为M，溢价为A0（A00）的长期债券，票面利率为r0，市场实际利率为r1(r1r0)，债券t年之后到期。这些初始条件满足以下关系：M+A0=Mr0(p/a， r1，t)+M(p/s， r1，t)。在未知实际利率r1的情形下，可用插值法估计r1。由以上条件编制溢价摊销表如下：由上表可知：Dt =Mr0-（M +At-1）r1，所以At= At-1- Dt=At-1-Mr0+（M +At-1）r1，即At =（1+ r1）At-1+M(r1-r0

6、) （t1）（1）这是一个一阶常系数差分方程，求解过程如下：令At+C=（1+ r1）(At-1+C)，C是常数，所以有：At =（1+ r1）At-1+（1+ r1）C-C （2）从（1）（2）两式有C=M(r1-r0)/ r1，所以有：At+M(r1-r0)/r1=（1+r1）At-1+M(r1-r0)/ r1即Atr1+M(r1-r0)/ r1=（1+r1）At-1r1+M(r1-r0)/ r1 （3）注意到第t期溢价摊销Dt=Mr0-（M+At-1）r1，所以（3）式可以化为Dt+1 =（1+r1）Dt （4）（4）式表明每期的溢价摊销是一个等比数列，其首项为D1=Mr0-（M +A0

7、）r1，公比为（1+ r1）。即Dt = Mr0-（M+A0）r1（1+r1）t-1 （5）由Dt和At-1的关系求出第t期未摊销的溢价：At =A0+M(r1-r0)/ r1 （1+r1）t-M（r1-r0）/ r1 （t1）（6）这是我们根据溢价摊销的经济含义推出的直接计算某期未摊销溢价的通项公式。当然我们也可以由一阶差分方程的通项公式直接求出以上结果，在此不再赘述。如果债券折价发行，则A00，r1r0，可以证明上述公式仍然成立。利用这些公式，我们可以方便地求出任何一年未摊销折溢价，该年摊销金额和年末债券价值，使计算更加简单准确。四、应用举例以下举例说明这种简便方法的应用。某企业在第0年购

8、入另一企业在此时发行的五年期债券，票面利率为12%，面值为1 000元，该企业以1 050元的价格购入80张，该债券每年末付息一次，最后一年还本金并最后一次付息。先用插值法可算出实际利率10.66%(实际利率的计算过程在此从略)。在新的方法下根据上述通项公式（5）、（6）有：第t期溢价摊销为Dt =645.6×1.1066t-1第t期未摊销溢价为At =10 056.285-6 056.285×1.1066t(t1)因此只需代入初始数据就可以很快地求出各期溢价摊销金额和未摊销溢价。在传统算法下，为了计算第二期的实际溢价摊销或期未摊销溢价，需要先计算第一期的相关数据。具体如下

9、，第一期的实际投资收益为1 050×80×10.66%=8954.4元, 溢价摊销为1 000×80×12%-8 954.4=9 600-8 954.4=645.6元,未摊销溢价为4 000-645.6=3 354.4元,期末债券价值为80 000+3 354.4=8 3354.4元,第二期又在第一期期末债券价值的基础上依照同样的步骤计算。可见，如果要计算某一期的数据，必须将之前所有的数据都计算出来，这相当的麻烦。在手工计算过程中，为了清楚地表述上述计算过程，一般先计算好如表2形式的溢价摊销表。五、 模型推广应用实际利率法还可用于其他类似的问题，比如分期

10、等额归还长期借款的计算。每期等额偿付的金额中，归还的利息等于上期末的未还本金余额乘以利率，余下部分作为本期的本金归还。因此差分方程同样可用于处理这类问题。以下简要说明。某企业年初借入金额为P0的长期借款，利率为i，借款合同约定每年年末等额归还本息，分n期归还完毕，设每年末偿还的金额为X，有X= P0 / (p/a，i，n)。编制利息费用分摊表如下：表3 长期借款利息本金计算表所以Pt+1=Pt-Dt+1，即Pt+1=Pt-（X-Pti）即Pt+1=（1+i） Pt-X，这是一个一阶常系数线性差分方程，可以求出：每期偿还的本金通项公式： Dt =（X-P0i）（1+i）t-1每期末未偿付的本金余

11、额通项公式：Pt = X /i+（P0-X /i） （1+i）t有了这个通项公式，就不一定要编制上面的表格或者可以更高效地编制上面的表格。同样，这个模型几乎可以原封不动地用于融资租赁中每期未确认融资费用的计算。以下再举一例说明。某企业向租赁公司租入一台价值为1 300 000元的设备，租赁合同规定：租期5年，租金每年年末支付一次，利率为6%，租期满后设备归该企业所有。每期应等额偿付的租金为1 300 000÷（p/a，6%，5）=1 300 000÷4.21236=308 615.32。由上述公式有：在第t（t1）期偿付的308 615.32元中，该期偿还的本金为Dt=23

12、0 615.32×1.06 t-1，该期偿还的利息为It=308 615.32-230 615.32×1.06 t-1，该期末未付本金余额为Pt=5 143 588.667-3 843 588.667×1.06t。由上述公式直接计算各期偿还利息和本金及应付本金余额，编制租金分摊表如下：表4融资租赁的融资费用计算在讨论了差分方程模型在各个领域的应用后，最后再看看这一方法在基于实际利率法的摊销折溢价电算化中的应用。随着计算机应用的普及，财务管理的电算化已成为趋势。长期债券投资的摊销折溢价处理对于能熟练使用Excel表格及Excel公式应用的财务管理者不难模仿上面的表格

13、设计相应的模板，实现摊销折溢价表的生成；但是，在有了本文设计的基于差分方程模型的通项计算公式后，要计算某期的摊销折溢价只需要一个简单的Excel公式就可完成，而传统的计算方法可能需要定义几十个Excel公式。六、结 论在简述基于实际利率法的摊销长期债券投资的折溢价的计算过程后，建立了摊销折溢价数据间的差分方程，获得了求取某一期的未摊销折溢价的通项公式，使得计算某一期的摊销额可以直接使用这一通项公式；避免了传统计算方法中后期摊销的数据依赖于前期已摊销数据计算,为计算某一期的摊销额必须先计算在此之前各期已摊销数据的递归过程。探讨了差分方程法在长期借款利息本金完成、融资租赁的融资费用计算中的应用，比较了在Excel中用这两种方法计算某一期的摊销额的实现过程，进一步说明了该模型在长期债券投资折溢价摊销电算化中的应用。<注>：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文