复变函数第11讲xppt课件

1、本章主要内容：本章主要内容：1、孤立奇点及其分类、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用、留数在计算定积分中的应用1 1、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类定义定义1 1.)(,0,)(0000的孤立奇点的孤立奇点为为则称则称内解析内解析的某个去心邻域的某个去心邻域但在但在处不解析处不解析在在假设假设zfzzzzzzfd d - - 例如例如的的孤孤立立奇奇点点；为为zezfz1)(0 .1sin1)(), 2, 1(1, 0的的奇奇点点都都是是zzfnnzz 的的孤孤立立奇奇点点；为为11)(1- - zzfzxyo这说明奇点未这说明奇点未必是孤立的必

2、是孤立的.的的奇奇点点存存在在，总总有有邻邻域域内内不不论论多多么么小小的的去去心心在在但但)(,0, 01limzfznn .1sin10的的孤孤立立奇奇点点不不是是故故zz 注注: : 若函数的奇点个数有限，则每一奇点都若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点是孤立奇点. .2 2、孤立奇点的分类、孤立奇点的分类可可以以展展开开成成洛洛朗朗级级数数：内内在在于于是是内内解解析析在在的的孤孤立立奇奇点点，则则存存在在为为若若ddd - - - - |0)(.|0)(,0)(000zzzfzzzfzfz)1(.)()()(10000 - - - - - - - - - -nnnnnnnnn

3、zzczzczzc.)()(100分分类类据据此此，将将孤孤立立奇奇点点进进行行的的主主要要部部分分的的性性质质完完全全体体现现在在级级数数在在点点 - - - -nnnzzczzf2.1 可去奇点：展式中不含可去奇点：展式中不含z-z0 负幂项，即负幂项，即,|0,)()()1(000d - - - - zzzzczfnnn.)!12()1(! 5! 31sin242 - - - - - - nzzzzznn的可去奇点，这是因为的可去奇点，这是因为是是zzzsin0 ;)(0的的可可去去奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?.1cos102的的可可去去奇奇点点和和是是zzzezz- - - “

4、可去可去”一词的一词的解释解释?2.2 极点：展式中仅含有有限多个极点：展式中仅含有有限多个z-z0 负幂项，即负幂项，即，这是因为，这是因为级极点或者称为单极点级极点或者称为单极点的的是是10zezz ;)(0级级极极点点的的称称为为则则mzfz特点特点?.)1(1102的的极极点点都都是是和和- - zzzz),1, 0()()()2(0 - - - - - - mczzczfmmnnn.!211!110 - - nzzznzzzennnz2.3 本性奇点：展式中含有无穷多个本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0 负幂项负幂项,的的本本性性奇奇点点，这这是是因因为为是是zez10 .)(0的

5、的本本性性奇奇点点称称为为则则zfz特点特点?.1sin0的的本本性性奇奇点点是是zz .!1!211211 - - - -nznzzez3 3、 函数在孤立奇点的性质函数在孤立奇点的性质.)(,)(000解解析析在在补补充充定定义义：zzfczf ;)(lim)()(0000czfzzczfzznnn - - 3.1z0为为 f (z) 的可去奇点的可去奇点的的主主要要部部分分为为零零；在在点点0)()(zzfi性质性质1若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价：的孤立奇点，则下列条件等价：);()(lim)(000为为常常数数cczfiizz .)()(0的的某某去去心心邻邻域

6、域内内有有界界在在点点zzfiii3.2若若z0为为f (z)的的m (m 1) 级极点，那么级极点，那么mzzzhzfii)()()()(0- - . 1, 0)2(,)()()(00010 - - - - - - - - - - - mczzczzczzczfmnnnmm其其中中性质性质2若若z0为为 f (z) 的孤立奇点，则下列条件等价的孤立奇点，则下列条件等价 （都是（都是m级极点的特征）：级极点的特征）：).1,0()()()(0100 - - - - - - -mczzczzczzfimmm的的主主要要部部分分为为在在点点).0)()(00 zhzzh解解析析，在在422)1)(

7、1(2)(- - zzzzf例如：例如：z=1为为f (z)的一个的一个4级极点，级极点， z=i为为f (z)的单极点的单极点. 注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论的表面形式就急于作出结论. 例如例如 利用洛朗展式容易知道，利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的单极分别是它们的单极点，可去奇点，二级极点点，可去奇点，二级极点.1cos)(;sin)(;1)(433221zzzfzzzzfzezfz- - - - - - 性质性质3若若z0为为f (z)的孤立奇点，那的孤立奇点，那么么z0为为f (z)的极点的充要条件是的

8、极点的充要条件是.)(lim0 zfzz 在判断函数的极点时，请比较性质在判断函数的极点时，请比较性质2和性质和性质3.4 4、 零点与极点的关系零点与极点的关系2定定义义.)(0)()(000的的零零点点为为则则称称，解解析析，若若在在点点设设zfzzfzzf .)(,0)()1, 1 ,0(0)()(00)(0)(0级级零零点点的的为为则则称称但但，解解析析，若若在在点点设设mzfzzfmnzfzzfmn - - .)(,10的的单单零零点点也也称称为为zfzm ),()()(0zzzzfm- - . 0)()(00 zzzm点点解解析析，在在为为正正整整数数，其其中中可可以以表表示示为为

9、如如下下形形式式邻邻域域内内，的的某某级级零零点点的的充充要要条条件件是是在在为为以以)()(00zfzmzzf处处的的泰泰勒勒展展式式为为在在点点级级零零点点，故故的的为为若若00)()(zzfmzfz证明证明: :先证明必要性先证明必要性. . ).()()()()()()(00101010zzzzzcczzzzczzczfmmmmmmmm- - - - - - - - - - 性质性质4 4.)(0点点解解析析显显然然在在 zz.)1()(103与与三三级级零零点点的的一一级级分分别别是是与与- - zzzfzz例如：例如：. 0)(, 0, 0)(00)( zczfmm即即必要性证毕必

10、要性证毕.充分性请自己完成充分性请自己完成.结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.)(0)()()(000的的某某一一邻邻域域内内不不为为零零在在于于是是，连连续续，点点解解析析，则则在在事事实实上上，zzzzzz .)()()(000处处为为零零在在的的该该邻邻域域内内仅仅在在所所以以zzzzzzfm- - 级级零零点点，则则的的是是若若mzfz)(0性质性质5.)(10级级极极点点的的是是mzfz证明：证明：)()()(0zzzzfm- - 由于由于z0为为f (z)的的m 级零点，所以级零点，所以 .0)(,)(00 zzz且且解解析析在在

11、),()()(:)(1)(1)(1000zzzzzhzzzzfmm - - - - .0)(,)(00 zhzzh且且解解析析在在.)(10级级极极点点的的是是从从而而mzfz 在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的常有用的.级级零零点点；的的是是级级零零点点，则则级级和和的的和和分分别别是是若若nmzgzfznmzgzfz )()()1()()(00.)(/ )()2(0级级极极点点的的是是时时，当当mnzgzfznm- - ，设设23)1(sin)1()(- - zezzzzf例如，例如，;1sin0;5)1(023级级零零点点的的为为分分

12、子子级级零零点点的的为为分分母母容容易易判判断断zzezzz - - .4)(0级级极极点点的的为为所所以以zfz .)(lim)(0 不不存存在在，也也不不为为负负幂幂次次项项的的洛洛朗朗级级数数有有无无穷穷多多项项zfzfzz性质性质6z0为为 f (z) 的本性奇点的本性奇点注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的罗必塔法则的罗必塔法则.，则则数数，且且两两个个不不恒恒为为零零的的解解析析函函和和若若0)()()()(00 zgzfzgzf. )()( )( lim)()(lim00 或或者者两两端端都都为为zgzfzgzfzzzz由性质由性

13、质1 1和性质和性质3 3，得，得.级级数数如如果果是是极极点点，指指出出它它的的孤孤立立奇奇点点，奇奇点点类类型型，练练习习：考考察察下下列列函函数数的的.sin)1()6(;sin)1(1)5(;sincos)4(;11sin)3(;2111)2(;1)1(22342zzzezezzezzezzezzzzz- - - - - - - - -5 5、函数在无穷远点的性态、函数在无穷远点的性态 有时在考虑解析函数的孤立奇点时，将无穷有时在考虑解析函数的孤立奇点时，将无穷远点考虑在内会给我们处理问题带来极大方便远点考虑在内会给我们处理问题带来极大方便.)()0(|)(的的孤孤立立奇奇点点为为内内

14、解解析析，则则称称的的去去心心邻邻域域在在若若zfRzRzzf 定义定义3 3).1, 0(1|0|1,)( RRRzRzzzfz则则规规定定若若点点的的去去心心邻邻域域平平面面上上原原映映射射为为的的去去心心邻邻域域平平面面上上，则则它它把把扩扩充充令令的的孤孤立立奇奇点点为为设设点点又记又记下面给出相应的定义下面给出相应的定义. .),(:)1()( fzf.)(0,1|0)(一一个个孤孤立立奇奇点点的的为为所所以以内内解解析析在在则则 R定义定义4 4.)()(0级级极极点点、本本性性奇奇点点的的可可去去奇奇点点、为为相相应应地地称称级级极极点点、本本性性奇奇点点，则则的的可可去去奇奇点点、为为若若mzfzm .)(1)(0的的单单极极点点为为的的单单极极点点，所所以以为为例例如如，因因为为zzfz .sin)(1sin)(0的的本本性性奇奇点点为为的的本本性性奇奇点点，所所以以为为又又例例如如，因因为为zzfz .|)(的的类类型型内内的的展展开开式式来来判判断断奇奇点点在在或或者者讨讨论论，也也可可以以利利用用极极限限类类似似于于有有限限孤孤立立奇奇点点的的 zzRzf例如：例如：,! 31! 2111321 zzzez;可可去去奇奇点点 - - - -z,)(0111azazazazpnnnnn - - -多多项项