多元函数极值ppt课件

1、医用高等数学医用高等数学第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值二、条件极值二、条件极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值医用高等数学一、二元函数的极值一、二元函数的极值00(,)( , )f xyf x y00( (,)( , )f xyf x y 定义定义4-6 4-6 设函数设函数 在点在点 的某一邻域的某一邻域内有定义内有定义, ,对于该邻域内异于对于该邻域内异于 的点的点 都满足不等都满足不等式式( , )zf x y00(,)xy00(,)xy( , )x y 极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值; ;使函数取得极值的点称使函数取得极值的点称为极值点为极值点. .

2、则称函数则称函数 在点在点 有极小值有极小值( (极大值极大值); ); . . 为函数为函数 极小值点极小值点( (极大值点极大值点).).( , )zf x y00(,)xy00(,)f xy00(,)xy( , )zf x y医用高等数学例例2234(0,0)zxy函数在处有极小值22(0,0)zxy 函数在处有极大值例例(0,0)zxy函数在处无极值例例 从以上例子看出从以上例子看出:若函数在某点取得极值若函数在某点取得极值,这点的偏这点的偏导数等于零或不存在导数等于零或不存在.下面介绍极值存在的必要条件与充下面介绍极值存在的必要条件与充分条件分条件.医用高等数学00(,)0,xfxy

3、00(,)0yfxy 定理定理4-54-5必要条件必要条件) )设函数设函数 在点在点 取取得极值得极值, ,且在该点处两个一阶偏导数都存在且在该点处两个一阶偏导数都存在, ,则必有则必有( , )zf x y00(,)xy证明证明不妨设不妨设 在点在点 处有极大值处有极大值 ( , )zf x y00(,)xy则对于的则对于的 某邻域内任意某邻域内任意 00(,)xy都有都有 00(,)( , )f xyf x y类似地可类似地可证证 . . 00(,)0yfxy必有必有 00(,)0,xfxy说明一元函数说明一元函数 在在 处有极大值处有极大值 0( ,)f x y0 xx故当故当 ， 时

4、，时， 0yy0 xx000(,)( ,)f xyf x y医用高等数学 与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点与一元函数相同，我们称一阶偏导数都等于零的点为函数的驻点为函数的驻点.如何判定一个驻点是否为极值点呢如何判定一个驻点是否为极值点呢? 定理定理4-64-6充分条件）充分条件） 设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续且有的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数一阶及二阶连续偏导数, ,又又 ， . .( , )zf x y00(,)xy00(,)0 xfxy00(,)0yfxy221yxz (2) (2)极值点也可能不是驻点极值点也可能不是驻点. .因为偏导数不存在的点也因为偏导数

5、不存在的点也可能是极值点，如锥面可能是极值点，如锥面 在顶点在顶点 处偏导处偏导数不存在，但顶点是极值点数不存在，但顶点是极值点. .(0,0) 注意注意 (1)驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.例如例如, 点是函数点是函数 (0,0)zxy的驻点的驻点, ,但不是极值点但不是极值点. . 医用高等数学00(,),xxfxyA00(,),xyfxyB00(,),yyfxyC令令则有则有 （1 1当当 时时, ,函数函数 在点在点 处具处具有极值有极值, ,且当且当 时有极大值时有极大值, , 时有极小值；时有极小值；20BAC( , )f x y00(,)xy0A0A （3 3当当 时时,

6、 ,可能有极值可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论. .20BAC （2 2当当 时时, , 函数函数 在点在点 没没有极值；有极值；20BAC( , )f x y00( ,)x y医用高等数学 由此可得求二元可微函数由此可得求二元可微函数 极值的一般步极值的一般步骤：骤： ( , )zf x y第一步第一步求函数求函数 的一阶和二阶偏导数的一阶和二阶偏导数;( , )zf x y第二步第二步解方程组解方程组 ,可求得所有驻点可求得所有驻点;( , )0( , )0 xyfx yfx y第四步第四步求出各极值点的函数值求出各极值点的函数值 对每个驻点对每个驻

7、点,求出相应的二阶偏导数求出相应的二阶偏导数 A、B、C 的值的值,并根据并根据 的符号判别各驻点是否是极值点的符号判别各驻点是否是极值点,是是极大值点还是极小值点极大值点还是极小值点;第三步第三步2BAC医用高等数学例例4-28 4-28 求函数求函数 的极值的极值. . xyxyxyxf933),(2233解解 求方程组求方程组063096322yxyxfxxyxfyx),(),(得驻点得驻点 . .(1,0) (1,2) ( 3,0) ( 3,2)、66 0 66 yffxfyyxyxx,又又在点在点 处处,(1, 0)2720BAC 且且120A故故 是极小值点是极小值点,极小值为极小

8、值为 .(1,0)5f (1, 0)医用高等数学在点在点 处处,(1, 2 )2720BAC故故 不是极小值点不是极小值点.(1, 2 )在点在点 处处,(3, 0)2720BAC故故 不是极小值点不是极小值点.(3, 0)在点在点 处处,( 3,2)2720BAC 且且120A 故故 是极大值点是极大值点,极大值为极大值为 .( 3,2)31f ( 3,2)医用高等数学 求最值的一般方法：求最值的一般方法： （1 1求函数在求函数在D D内的所有驻点和偏导数不存在的点；内的所有驻点和偏导数不存在的点； （2 2求出函数在求出函数在D D内的所有驻点和偏导数不存在点处内的所有驻点和偏导数不存在

9、点处的函数值的函数值, ,以及在区域边界上的最大值和最小值；以及在区域边界上的最大值和最小值； （3 3相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的最大值和最小值.二元函数的最值二元函数的最值医用高等数学 例例4-29 求函数求函数 在圆域上在圆域上 的最大值的最大值.22( , )4f x yxy221xy解解 显然显然,函数在圆周函数在圆周 上的值到处是上的值到处是 .221xy3令令04042

10、222yxyyxfyxxyxfyx),(),(得驻点得驻点 ,(0,0)(0,0)2(3)f所以在所以在 处取得最大值处取得最大值2.(0,0)医用高等数学 在很多实际问题中,根据问题本身的性质,知道函数f(x,y)在区域D内一定能取到最大值(最小值),又如果函数在D内只有一个驻点,那么这驻点处的函数值就是f(x,y) 在D上的最大值(最小值),而不必再进行检验. 例4-30 要制作一个容量V为长方体箱子，问如何选择尺寸，才能使所用材料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积2()VVSxyyxxyxy Vxy解解 设箱子的长为设箱子的长为 , ,宽为宽为 , ,则其高为则其高为 . .xy2(

11、) VVxyxy(0,0)xy医用高等数学 所以当水箱的长、宽、高均为所以当水箱的长、宽、高均为333,VVV 时，时，水箱所用的材料最省水箱所用的材料最省.33,xV yV令令020222)()(yVxSxVySyx 根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域在，并在开区域D D 内取得内取得. .又函数在又函数在D D内只有唯内只有唯一的驻点，因此可断定当一的驻点，因此可断定当(0,0)xy时，时，S S取得最小值取得最小值33,xV yV医用高等数学条件极值条件极值 对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值 无条件极

12、值 对自变量除有定义域的限制外无任何其它条件限制的极值无条件极值无条件极值条件极值条件极值二、条件极值二、条件极值条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算条件极值还可以应用拉格朗日乘数法来计算.问题问题 求目标函数求目标函数 ,zf x y在约束条件在约束条件 ,0g x y 下的极值下的极值.医用高等数学,0,0,0 xxxyyyFfx ygx yFfx ygx yFg x y 求解步骤求解步骤(1) 构造辅助函数构造辅助函数(lagrange函数函数), ,F x yf x yg x y( 为常数为常数) (2) 对函数对函数 分别关于分别关于 、 、 求偏导数求偏导数,并令并令其等于零其等

13、于零,得方程组得方程组( , , )F x yxy (3) 解方程组解方程组,假设假设 是方程组的解是方程组的解,那么那么 是可能的条件极值点是可能的条件极值点000(,)xy00(,)xy (4) 判别判别 是否为极值点是否为极值点.在实际问题中在实际问题中,可根据问可根据问题本身的性质来判定题本身的性质来判定.00(,)xy医用高等数学 例例4- 31 某工厂生产两种型号的仪器某工厂生产两种型号的仪器,其产量分别为其产量分别为 台和台和 台台,两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一两种仪器的产量与所需的成本的关系可以用一个以应变量个以应变量z为成本、以自变量为成本、以自变量(x,y)为两

14、种仪器产量的函为两种仪器产量的函数表示数表示: (单位单位:万元万元).若根据市场调查预测若根据市场调查预测,需这两种仪器共需这两种仪器共8台台,问应如何安排生产问应如何安排生产,才能使成本最小才能使成本最小?xy222zxyxy构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 解解 本题归结为本题归结为: 求函数求函数 在约束条在约束条件件 下的最小值下的最小值.222zxyxy80 xy,F x y222(8)xyxyxy医用高等数学解方程组解方程组204080 xyFxyFyxxy 得唯一解得唯一解5,3,7xy 由于实际问题的最小值存在，由于实际问题的最小值存在， 、 是是 唯一的驻点，故唯一的驻点，故 、 是本题的最小值点是本题的最小值点.即：两种即：两