多元函数常微分9-6gaoppt课件

1、设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.9.6.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 9.6 9.6 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程

2、处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt )1()()()( tztytx 例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3

3、)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切切线线方方程程为为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程为法平面方程为. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFF

4、xxGGFFyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求求曲曲线线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处处的的切切线线及及法法平平面面方方程程.解解 zFyFxFzyx222 yxxzzyT22 ,22 ,22 , 111 zyxGGG yxxzzyT ,可可取取 3 , 0 , 3 T,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲

5、线的曲线,)()()(: tztytx 9.6.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM0)(),(),( tttF 则有则有数数邻邻域域内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导在在假假设设 M ),(zyxF0)()()(000 tFtFtFzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令那那么么,Tn 由由 于于 曲曲 线线 是是 曲曲 面面 上上 通通 过过M的的 任任 意意 一一条条曲曲线线，它它们们在在M的的切切线线都都与与同同一一向向量量n垂垂直直，故故 曲曲 面面 上上 通通 过过M的的 一一 切切 曲曲 线线 在在 点点M的的 切切 线线 都都

6、在在同同一一平平面面上上，这这个个平平面面称称为为曲曲面面在在点点M的的切切平平面面. 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通过过点点),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直线线称称为为曲曲面面在在该该点点的的法法线线.法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量

7、称为曲面的法向量.特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的法向量为处的法向量为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令1),(),(0000 yxfyxfnyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为这说明函数这说明函数 在点在点 的全微分，在几的全微分，在几( , )zf x y00(,)xy何上表示曲面何上表示曲面 在点在点

8、处的切平面处的切平面( , )zf x y000(,)xy z上点的竖坐标的改变量。上点的竖坐标的改变量。 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它与与z轴轴的的正正向向所所成成的的角角 是是锐锐角角，则则法法向向量量的的方方向向余余弦弦为为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中),(yxfz 1),(),(0000 yxfyxfnyx例例 3 3 求求旋旋转转抛抛物物面面122 yxz在在点点)4 ,

9、 1 , 2(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在点点)0 , 2 , 1(处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面

10、方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)证证设设 为曲面上的任一点为曲面上的任一点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)()()()()(020022001002001 zzczbyFczaxFczyyFczxxF将定点代入平