北京邮电大学高等数学教学-41特殊类型ppt课件

1、 几种特殊类型函数的不定积分有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之. .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 这有理函数是真分式；这有理函数是真分式；,)2(mn 这有理函数是假分式；这有理函数是假分式；1.假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和假分式可以化成一个多项式和一个真分式之

2、和.例例1123 xxx.112 xx做法：做法：(1)长除；长除；(2)恒等变形。恒等变形。有理函数的代数性质有理函数的代数性质 2.真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式真分式可化为简单分式的和，所谓简单分式(或称部或称部分分式分分式)是指下面四种形式的分式：是指下面四种形式的分式： nnqpxxCBxqpxxCBxaxAaxA 22, n=2,3,4, 其中其中A,B,C,a,p,q为常数，为常数， 无实根，所以它无实根，所以它不能在实数域中分解为两个因式的乘积。不能在实数域中分解为两个因式的乘积。qpxx 2真分式化为简单分式之和的方法是真分式化为简单分式之和的方法是 ：（1分母中若有

3、因式分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)( ,)()(121axAaxAaxAkkk 有理真分式化为简单分式之和：有理真分式化为简单分式之和：其其中中kAAA,21都都是是常常数数.特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;axA （2分母中若有因式分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其其中中iiNM ,都都是是常常数数), 2 , 1(ki .特殊地：特殊地：, 1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 总之，如果多项式总之，如果多项式Q(x)在实数范围内能分解

4、成一次因在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积，如式和二次质因式的乘积，如 )()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ 04,0422 srqp那么真分式可以分解成如下部分分式之和：那么真分式可以分解成如下部分分式之和： axAaxAaxAxQxP 121)()( bxBbxBbxB 121 qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM 21222211 srxxSxMsrxxSxRsrxxSxR 21222211 + + 其中其中 都是待定常数都是待定常数. iiiiiisrNMBA,称为真分式化为简单分式之和的待定系数法称为真分式化为简单分式之和的待定系数法真分式化为简

5、单分式之和的待定系数法真分式化为简单分式之和的待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 2真分式化为简单分式之和的待定系数法真分式化为简单分式之和的待定系数法例例3

6、3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arc

7、tan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 简单分式的积分：简单分式的积分：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 2令令224apq ,2MpNb dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx , 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可积

8、出这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数. ., 1)1( n dxqpxxNMx2|ln22qpxxM ;2arctanCapxab dtatMtn)(22 dtatbn)(22dxxxxx112334例例6 6 求积分求积分1)12(1123334 xxxxxxx 111112223 xxCBxxAxxxxxx) 1)() 1(2xCBxxxAx 1111311313113112223xxxxxxxxxxdxxxxx112334dxxxxxxx11113122Cxxxxxx312arctan31|1

9、|ln61|1|ln3122例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 2133136Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(三角有理式的定义：三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称

10、之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duud

11、x 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan |1|ln212u Cu |1|ln2tanxu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 例例8 8 求积求积分分.sin14 dxx解一）解一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 解二）解二）修改万

12、能置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 解三）解三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式. dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法, 便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.例例9

13、9 求积求积分分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos141 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 xxcotcscln41 .tan41Cx 讨论类型讨论类型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法解决方

14、法作代换去掉根号作代换去掉根号. .例例10 10 求积求积分分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 例例11 11 求积求积分分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 阐明阐明 无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指

15、数的最小公倍数取根指数的最小公倍数.例例1010解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 例例1111解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则,),()(上上连连续续在在 xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 联联立立并并令令例例12 12 求积求积分分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213( dxxx)1