奥物-质点的运动ppt课件

1、第一专题 质点运动学知识与方法研究 三、平面上两运动曲线的交点的运动一、运动分解的任意性二、曲率半径的物理求法四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的反射一、运动分解的任意性12rrr12vvv12aaa 不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选定方向分解.知识与方法研究 运动的分解与合成是不同于参照系变化时KK）对运动描述的伽利略或洛仑兹变换, 是在一个参照系中进行的. 将质点所作的运动视为同时参与两个独立存在的运动后的结果，便称之为一个运动分解为两个运动. 例1 足球运动员在球门正前方距离球门s远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门. 问球以怎

2、样的角度 射出，才能使射出的初速度v0最小？OCBsh解一建立如图的坐标系，则球到达球门时0(cos )svt201(sin )2hvtgt 消去t 得：2220tan2cosgshsv 进而得：22022(tan)cosgsvsh2sin2cos2gsshh222.sin(2gshsh）(arctan)hs其中：022v当时， 有最小值.所以.42将v0做水平、竖直的正交分解.v0 xyOCBshxyv0 解二 如图，建立坐标系.则有将v0、g均沿x、y方向进行分解.201(cos )( sin )2xvtgt201(sin)( cos )2yvtgt足球到达B时，0,y 所以有22201(

3、cos)( sin )2shvtgt2010(sin)( cos )2vtgt消去t 得：222022sin(coscossinsin )cosvshg202sin(2)sincosvg所以22220cossin(2)sinshgv022v当时， 有最小值.此时1(),2 242g22xsh421.42现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？OCBshv0 解三xy建立如图的坐标.据图中的几何关系，对三角形BOD由正弦定理有：sinsinsin()BDODOB即222012sinsinsin()gtv tsh由左边的等式得：02sinsinvtg将此代入右边的等式：222022sin

4、sinsin()vshg所以22220sin2sin() sing shv222sincoscos(2)g sh02v当时， 有最小值.此时x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动.1()21()22.42现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？DOCBshv0Dxy 题后总结与思考本题充分说明运动分解的任意性.如果愿意，还有一种如图的合理分解方式！g 例2 弹性小球从高h处自由落下，落到与水平面成角的足够长的斜面上，碰撞后以同样大小的速度弹回. （1求每个弹回点第一点和第二点，第二点和第三点，第n点和第n+1）点间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2求当

5、斜面以u匀速向上运动并在1中原处与小球第一次相碰时的x1-2的数值.解h 小球第一次与斜面相碰前、后的速度大小为102.vghxyo 则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分运动均是匀变速直线运动.10vgxgyg于是1010s2,insinxvvgh1010cos2cos .yvvgh以斜面为参照系.建立如图所示的坐标系.10 xv10yv 第一次碰后第二次碰前的运动方程为：11010sin( sin )xxxvvg tvgt11010cos( cos )yyyvvg tvgt221101011(sin )( sin )22xxxvtg tvtgt221101011(cos )( cos )2

6、2yyyvtg tvtgthxyo10vgxgyg10 xv10yv令 y 1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为101 22vtg代入x1的计算式后可得2101 24sinvxg2 2ghg22hg8sinhhxy10vgxgyg10 xv10yv 每相邻两次相碰的时间间隔均相等，于是22 32012xxxvtg t8 sin8 sinhho 据匀变速直线的特点可知在每次碰前碰后瞬间在y方向的速度大小均相等， 为22123 2sin2sin(22hhghggg）12 sin4 sinhh1 2+8 sinxh 据匀变速直线运动的特点可知在相邻的相等时间内位移的增量相等，8sin .nh(1

7、)8 sin1)8 sinnnxhnh（碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为所以第n次102cos .yvgh1 222.httg为1 28sinxh第二次碰撞前后x方向分速度为20101 2=sin +( sin )xvvgt3 2singhhxyo10vgxgyg10 xv10yv 题后思考 能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题？能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？ （2求当斜面以u匀速向上运动时在原处与小球第一次相碰时的x1-2的数值. 此时，仍以斜面为参照系. 则小球第一次与斜面相碰时速度大小便由（1中的v10变成了(v10+u). 所以将1中相关式子中的

8、v10代换为v10+u）， 便能得到对应的结果.于是2101 24()sinvuxg24( 2)sin .ghugu2101 24sinvxg让质点做某种轨迹为给定的曲线的运动确定质点在运动轨迹上某处的v和a心由向心加速度公式求在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便 得到曲线某处的v和a心 二、曲率半径的物理求法1、从曲率圆的角度看质点作平面光滑曲线运动的速度和加速度aaa切心22va 心|dvadt切表示由速度大小变化引起的速度变化之快慢程度表示由速度方向变化引起的速度变化之快慢程度yop1p1va切a心ax2、由运动学求曲率半径的思路：这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的. 例3 试

9、求椭圆 的顶点处的曲率半径.22221xyAB解椭圆的参数方程为cosxAtsinyBtxy0AB可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程)sincos;xyvAtvBt 22cossinxyaAtaBt 于是有在图中顶点A处：0 xv yvBvB2xaA 0ya 2xaaA心xy0AB所以2Ava心va心同理可得2BAB222BA2BAvB2xaaA心 求滚轮线上任意点处曲率半径.解为方便计，让轮子做匀速的纯滚动.设轮心O相对地面的速度为v0 . P点相对于轮心匀速平动参照系o 的加速度为：00a 由于，0.aaa故0.

10、aaaP点相对地面参照系的加速度为轮边缘上任意一点P相对轮心O的线速度为多大？相对地面的速度为多大？v0oPoooo20vaR，例4方向指向轮心o点a0v0v0=2cos2vv 则图中P点相对轮心o的速度为0v ，相对地面速度为0=2cos.2vv其中指向曲率圆心o的分量为cos2naao0=2cos2vvo0vna20cos2vR设P点的曲率圆半径为，a0=2cos2vvoo0v20(2cos)2.nva则向心加速度为由此即得=4 cos.2r讨论：在滚轮线最高点：在滚轮线最低点：=0，= ，02vv，=0.0v ，naov0PPPooo0v0=2cos2vv0v=4 . rcos2naa于

11、是有 题后总结此两题的解法属于运动学的求法，曲率半径还有动力学的求法这将在以后研究.三、平面上两光滑运动曲线包括直线的交点的运动 注 意交点并非曲线上的一个固定点(一个质元，一个点记号)，而是两条曲线相交而成的几何点.1、几种交点的运动情况2、如何求交点的速度决不能 ！12Pvvv（3直线与曲线的交点P12v1v2（2曲线与曲线的交点Pv20v10 v1=v10v2平动纯滚动（1直线与直线的交点 Pv10 v20110vv220vv（1由速度的定义出发求（2从相对运动出发求 如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率.

12、解一AB由定义出发求速度l1l2Pv1v2P2P3设经过时间t, 交点P匀速直线运动至P1处.21csccsc ,PPAPvt1232csccscPPPPPBvt2212122122cos()PPP PPPP P PP在图中：由余弦定理有所以1P22121 22coscscvvv vt 22121 22coscscvvvv1PPPvt如何求得 ？1PP2 PP ，12PP1PP例5 l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二由相对运动出发求速度先求出交点相对于杆l1的速率v1：在图中：1122APPPAP所以11APvt 进一步得交点P相对于地面的速率：21csccotvtvt32PPAPcscc

13、otPBAP12cotcscvv22121 22coscscvvvv2211Pvvv22112(cotcsc )vvv 如图, 在o-xy平面内有一个圆, 在y轴上放一根细杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.xyOv0解一 设在t 时刻交点在P点，经过小量时间t，交点由P点运动到P1点.P0而121323PPPPP P那么1PPR当很小时，有122 (cos )2PPR由、消去 ：121,cosPPPP将22 20cosRv tR代入即得022 20Pv RvRv t所以22022 20.PPv RvaRRv t

14、心（其中 ）0Rv t由速度定义出发解答.2 cos()sin22Rsin()sinRR所以1121cosPPPPtt，00.cosPvtv 当时便有PP1P2P3（1小量分析例6 解二由相对运动出发解.vPv.v设 为交点相对于细杆的速度那么0Pvvv0vv因为，0.Pvvv所以便是以 、 为边的矩形的对角线所以便有0cosPvv进一步便可得到交点 P 的向心加速度.xyOv0PP0P3v02022 20.Pv RaRv t心（2微分求解xyOPP0P3v0如下图，由几何关系得3sinPPR两边求导得3()( sin )d PPdRdtdt0cosvR 而,PvR由上式即得0.cosPvvP

15、v进一步可得向心加速度.2022 20.Pv RaRv t心（3平面两光滑曲线交点速度的最简求法2v1v1l2l21v22v12v11v如图，L1、L2的交点P相对地面的速度为 .Pv121212 vvPLLPP、 分别为交点 在 参照系、参照系中的“座位”点、 相对地面的速度.分别作L1、L2的切线l1、l2.交点P在L1参照系中以速度 沿l1运动，1v则据绝对运动与相对运动、牵连运动的关系有11Pvvv在地面参照系中沿l1、l2方向分解 1:v11112vvv在地面参照系中沿l1、l2方向分解 2:v22122vvv由图可知1221Pvvv请说出该式的物理涵义？交点P在L2参照系中以速度

16、沿l2运动，2v22Pvvv则据绝对运动与相对运动、牵连运动的关系有Pv2v1v1L2LP重解例5：l1l2Pv1v2121cscvv212cscvv由余弦定理求合：22122112 212cos()Pvvvv vv112vv221vPv22121 22coscsc .vvvv重解例6：xyOv0PP0v0v01001cosvv，所以01Pvv进一步便可得到交点 P 的向心加速度. 题后总结该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点！此方法并不限于两曲线作平动的情况.100.v0=.cosv 参考资料： 李卫平.平面内两运动光滑曲线交点速度计算之“速度分解-合成法的证明及应用举例.物理教师2019年

17、第4期）.四、质点弹性斜碰的运动轨迹类比于光的镜面反射NijijN 例7 如图，光滑水平面上两块刚性挡板OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON板运动，初速度大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？解小球作的是匀速折线运动.MNPOl300150 将光线经镜面反射后的行进对应处理为光线沿原入射方向的行进. 因此光线在两平面镜之间的不断反射可对应为光线沿PP直线传播. 可将小球的运动类比为光线在平面镜M、N之间的反射.由于4 1560POP ，因此光线能够沿原路返回到P点.090 .PP

18、O所以PPMNPOlP300150P 所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP=2PP.所经历的时间为02PPtv002 cos30lv2 3( ) s本题还有另一种常规解法：1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰2、确定在什么位置正碰3、算出所有折线段的总长4、计算时间但这种解法需解三角形！试一试，看能否用此法解答.题后总结与思考这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化. 例7 如图，OABC是一桌球台面. 取OA为 x 轴，OC为y 轴，P是红球，坐标为(x, y), Q是白球，坐标为x, y ), (图中未画出Q球在台面上的位置）. 已知OA=BC=25分米，A

19、B=OC=12分米. ABCOPQxy(x, y) 解NM （1若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米. 问Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？ （2P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置动身，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围.（白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞，两球体积很小，可看作质点.）如右图，你能不能让白球与桌璧N M 弹性相碰后击中红球?ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)给球桌各顶点及红球的位置标注上坐标(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-

20、8)P3(-10,32)P4(60,32)（1）1、如果白球对着镜像点P1击在OA上就能击中P；如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1;如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2；如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、为了保证白球能对着P4点且击在BA上，白球应该放在什么区域？ 3、白球放在该区域是否能保证经BA反弹后能击在BC上？ 4、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上？比如放在图中所示的点处？ABCO

21、PQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上？作直线P2OP交CB于E点，E点坐标为(15,12).(15,12)F白球放在这里行吗？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上？作直线P3E交BA于D点

22、， D点坐标为(25,4).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)QD(25,4)(20,0) 7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上？H作直线P4D，交AO于H， H点的坐标(20,0).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)DH(25,4)(20,0)最终结论：白球应放在三角形DAH以内的区域. （但不能放在HD、DA边上） （2P球有没有一些位置是Q球无论从什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围. ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)QDH(25,4)(20,0) 问题可转换为：P 球有没有一些位置，使1问的解答中求得的三角形DAH不存在或者说面积缩小为零）？ABCO