偏心厄米--高斯光束通过失调一阶光学系统的传输特性

1、第13卷第5期2001年9月强激光与粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS.13,No.5VolSep.,2001文章编号:100124322(2001)0520533204偏心厄米-高斯光束通过失调一阶光学系统的传输特性丁桂林1,吕百达2(1.洛阳师范学院物理系,河南洛阳471022;2.四川大学激光物理与化学研究所,四川成都610064)摘要:使用广义惠更斯菲涅尔衍射积分,增广矩阵和Wigner分布函数方法,研究了偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统的传输特性,证明了偏心厄米2高斯光束通过一阶光学系统时保持其封闭性,光束的二阶矩矩阵按通常的规律变换,一阶

2、矩矩阵遵循几何光线的变换规律,光束传输因子保持不变。关键词:偏心厄米2高斯光束;失调非对称光学系统;封闭性;一阶矩和二阶矩中图分类号:O437文献标识码:A在激光技术中,常用厄米2高斯光束描述矩形域中的多模激光。已证明,厄米2高斯光束通过非失调一阶光学系统时保持其封闭性和形状不变性1。激光光束通过一阶光学系统的封闭性和形状不变性在光束传输的研究中是十分有意义的并受到广泛的重视26。在光束合成中,常采用偏心光束的概念710。最近,我们证明了厄米2高斯光束在通过失调一阶光学系统的变换时不保持其封闭性,出射光束与入射光束相比需要更多的参数加以描述,并由此引入了描述此类光束的偏心厄米2高斯光束概念11

3、。本文采用广义惠更斯2菲涅尔衍射积分12,增广矩阵和Wigner分布函数方法13,研究了偏心厄米2高斯光束通过失调一阶光学系统的传输特性,并证明偏心厄米2高斯光束在失调一阶光学系统的变换下保持其封闭性,光束的一阶矩矩阵遵循几何光线的变换规律,一阶光学系统的失调并不影响光束的二阶矩的变换规律和光束传输因子(M2因子)。1偏心厄米2高斯光束通过失调一阶光学系统的传输考虑一个由N个子系统构成的失调非对称一阶光学系统。整个系统由增广矩阵Sa描述ABee(1)Sa=CDf=Sf00100式中:S为对应的非失调非对称一阶光学系统的44实矩阵,A,B,C和D为22对角实矩阵,0为12零矩阵,e=(ex,ey

4、)T为横向失调量,f=(fx,fy)T为方向失调量12。令r=(x,y)T和p=(px,py)T分别表示光线位置矢量和方向矢量,由矩阵光学可写出联系光学系统出射面和入射面的光线变换方程rr(2)p=Sap1(x,y)表示出射光束的场分布,则E(x,y)和E(x,y)的关系用E(x,y)表示入射光束的场分布,E由失调光学系统的广义惠更斯2菲涅尔衍射积分决定12e(x,y)=Ef2detB-)exp-dxdyE(x,yT-1-1rBA-B2r-(B-1)TDB-1rr(3)收稿日期:2001201213;修订日期:2001206219基金项目:激光技术国家重点实验室资助课题(200020009,2

5、00020010)作者简介:丁桂林(19572),男,教授,博士,从事光束变换技术研究;guilinding。 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.534强激光与粒子束第13卷式中为失调算符,其定义为efTE(x,y)=expikefexp-ik(fxx+fyy)E(x-ex,y-ey)(4)考虑偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统的传输变换。设系统的入射面和入射光束的束腰在z=0的平面,此时入射光束的曲率半径为无穷大,场分布的表示式为1122E(x,y)=HmHnexp-22wx

6、0式中(x0,y0)和(px0,py0)分别是光强峰值的位置和平均传输方向,与之相应的高斯光束在x和y方向的束宽分别为wx0和wy0,在x和y方向的瑞利长度分别为zRx=kwx02 2和zRy=kwy02 2。将入射光束场分布方程(5)代入衍射积分方程(3),可由两种途径得到出射光束的场分布。(1)利用符号计算软件MATHMATIC4.0。其关键步骤是:将方程(5)中的厄米多项式展开,注意到分步积分方法和积分公式exp-ik(x-x0px0+(y-y0)py0wy0wx0wy0(5)-dxdye-(a+ax+ay+ax2+axy+ay2)012345=2e-a0-22aa+aa-aaa2a-4

7、aa(6)4a4a5-a23再运用数学归纳法。(2)直接进行积分运算。其关键步骤是:令x-x0=wx00=,y-ywy0(7)运用如下积分公式(x,y)=E-exp-Hn(x)dx=2uwxn 22u(1-2u)Hn(1-2u)1(8)无论是由上述那一种途径,经过积分和化简运算后,都可得到出射光束的场分布为wxwyHmHn(wy=exp-exp-22ik+(x-x)px+(y-y)py2Rx2Rywx-2wyexpi(m+)tan-1()+i(n+2ZRxzRj=AjzRj0wj=wj02-2(a2j+bjzRj)tan-1()2zRy(9)其中22-2-2(ajcj+bjdjzRRj=(aj

8、+bjzRj) j),(j=x,y)TT(x,y,px,py,1)=Sa(x0,y0,px0,py0,1)(10)(11)式中:(x,y)和(px,py)分别是出射光束的光强峰值位置和传输方向;wx,wy;Rx,Ry和zRx,zRy分别为相应的高斯光束在x和y方向的束宽、等位相面曲率半径和瑞利长度。方程(9)(11)表示,当偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统变换时,出射光束仍然是偏心厄米2高斯光束,其光束参数完全由入射光束的参数和失调非对称一阶光学系统决定。因此,给定任一偏心厄米2高斯光束和失调非对称一阶光学系统,总有且仅有一偏心厄米2高斯光束与之对应,也就是,在失调非对称一阶光学系

9、统的变换下,偏心厄米2高斯光束保持其封闭性。这一结论拓宽了光束封闭性的条件,由光束在非失调非对称一阶光学系统的变换下的封闭性拓宽到在失调非对称一阶光学系统 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第5期丁桂林等:偏心厄米2高斯光束通过失调一阶光学系统的传输特性535变换下的封闭性。2偏心厄米2高斯光束的一阶矩、二阶矩的变换规律和传输因子利用Wigner分布函数可得出偏心厄米2高斯光束的一阶矩和二阶矩。相干光束的Wigner分布函数的定义如下13W(x,y,px,py)=-E(x-x 2,y-y

10、 2)E(x+x 2,y+y 2)(12)exp-)dxik(pxx+pyydy由Wigner分布函数为权重的一阶矩和二阶矩矩阵的定义分别是13T=W(x,y,px,py)dxdydpxdpy(=x,y,px,py)I-(13)(14)(15)(-)T=V=(-II=W(x,y,p,p)dxdydpdp-)(-)TW(x,y,px,py)dxdydpxdpy(-xyxy-将方程(9)带入方程(12),利用方程(13)(15),略去中间冗长的积分计算过程,最后得到出射面处偏心厄米2高斯光束的一阶矩和二阶矩矩阵分别为=S0+V=SV0SefT(16)0=x0yTpx0py0wV0=x0(18)2(

11、2m+1) 4000(19)20wy4000(2n+1) 2200(2m+1) kwx0022000(2n+1) kwy分别是入射厄米2高斯光束的一阶矩矩阵和二阶矩矩阵。方程(16)和(17)给出了偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统变换时其一阶矩矩阵和二阶矩矩阵的变换规律。我们看到,当偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统变换时,其二阶矩矩阵与厄米2高斯光束通过非失调非对称一阶光学系统时的变换规律相同,其一阶矩矩阵遵循几何光线通过该系统的变换规律。一阶矩表示光束在近场或空间域的重心,表示光束在远场或空间2频率域的重心。由方程(18)看出,偏心厄米2高斯光束的一阶矩矩阵遵循几何光

12、线的变换规律。由于这一原因,不可能仅用空间域的坐标变换使得偏心厄米2高斯光束变为厄米2高斯光束。为了深刻理解这一点,我们考察偏心厄米2高斯光束通过自由空间的传输。当偏心厄米2高斯光束在自由空间传输时,方程(16)简化为(20)x=x0+zpx0,y=y0+zpy0(21)px=px0,py=py0光强分布峰值的位置分布在方程(16)决定的直线上,该直线被定义为光强峰值轴8,光束的传输方向平行于该轴,在垂直于光强峰值轴的任一平面上,光束光强分布不是厄米2高斯高斯分布。由方程(17)可以得到,当偏心厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统变换时,存在传输不变2量Meff因子M2eff=2k4det

13、V=(2m+1)(2n+1)(22)2它与厄米2高斯光束通过非失调非对称一阶光学系统时的Meff因子相同。由以上的讨论可知,一阶光学系统的失调对二阶矩的变换规律和光束传输因子(M2因子)没有影响,对光束的一阶矩产生了作用,使得一阶矩的变换遵循几何光线的变换规律。显然,偏心厄米2高斯光束通过非失调非对称一阶光学系统的变换是本文的特殊情况,只要一阶光 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.536强激光与粒子束第13卷学系统的失调量都是零,本文各方程的相应形式都是成立的,因此,偏心厄米2高斯光束在

14、失调或非失调非对称一阶光学系统的变换下总是保持其封闭性。3结论由广义的惠更斯-菲涅尔衍射积分出发,利用增广矩阵和Wigner分布函数方法,研究了偏心厄米2高斯光束通过一阶光学系统的传输变换特性。证明了偏心厄米2高斯光束在失调或非失调非对称一阶光学系统的变换下保持其封闭性。这一结果的意义在于对光束保持封闭性的认识从非失调非对称一阶光学系统拓展到失调非对称一阶光学系统,并对光束合成的研究十分有意义。参考文献:1SiegmanAE.LasersM.Oxford:OxfordUniversity.Press,1986.2GoriF,GuattariG.AnewtypeofopticalfieldsJ.

15、OptCommun,1983,48(1):712.3SimonR,SudarshanECG,MukundaN.AnisotropicGaussianSchell2modelbeams:Passagethroughopticalsystemsandassociatedin2variantsJ.PhysRevA,1984,31(4):24192434.4SimonR,MukundaN.TwistedGaussianSchell2modelbeamsJ.JOptSocAmA,1993,10(1):95109.5NamesG,SiegmanAE.Measurementofalltensecond-or

16、dermomentsofanastigmaticbeambytheuseodrotatingsimpleastigmatic(anamorphic)opticsJ.JOptSocAmA,1994,11(10):22572264.6SimonR,MukundaN,GaussianSchell2modelbeamsandgeneralshapeinvarianceJ.JOptSocAmA,1999,16(12):24652475.7Al2RashedAR,SalehBEA.DecenteredGaussianbeamsJ.ApplOpt,1995,34(30):68196825.8PalmaC.D

17、ecenteredGaussianbeams,raybundles,andBessel-GaussbeamsJ.ApplOpt,1997,36(6):11161120.B,MaH.CoherentandincoherentoffaxisHermite2GaussianbeamcombinationsJ.ApplOpt,2000,39(10):12791289.9Lu171(14):185194.B,MaH,Coherentandincoherentcombinationsofoff2axisGaussianbeamswithrectangularsymmetryJ.OptCommun,1999

18、,10Lu11丁桂林,吕百达.厄米2高斯光束通过失调非对称一阶光学系统的传输特性和偏心厄米2高斯光束J.中国激光,待发表.(DingGBD.PropagationofHermite2Gaussianbeamsthroughamisalignedfirst2orderopticalsystemanddecenteredHermite2GaussianL,Lu.ChineseLaser,tobepublished)neams12NazarathyM,HardyA,ShamirJ.Misalignedfirst2orderoptics:canonicaloperatorTheoryJ.JOptSoc

19、AmA,1986,3(3):13601369.13BastiaansMJ.Wignerdistributionfunctionanditsapplicationtofirst-orderopticsJ.JOptSocAm,1981,69(14):17101716.PropagationofdecenteredHermite-Gaussianbeamsthroughamisalignedfirst-orderopticalsystemBai2da2DINGGui2lin1,Lu(1.DepartmentofPhysics,LuoyangTeachersCollege,Luoyang471022,China;2.InstituteofLaserPhysics&Chemistry,SichuanUniversity,Chengdu610064,China)Abstract:PropagationpropertiesofdecenteredHermit