【学生课件讲义】巧解外接球问题.doc

1、有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体 ，这个球称为多面体的外接球 .有关 多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查 学生的空间想象能力 以及化归能力 .研究多面体的 外接球 问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题【例 1】（上海中学）若棱长为3 的

2、正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ .【例 2】（交大附中）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24 ，则该球的体积为 _.2、求长方体的外接球的有关问题【例 3】（复兴高级中学）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为_.【例 4】（七宝中学） 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为 16，则这个球的表面积为（）.A. 16B. 20C.24D.32第1页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！3.求多面体的外接球的有关问题【例 5】（上海

3、实验中学）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一9个球面上，且该六棱柱的体积为8 ，底面周长为3，则这个球的体积为_.二、构造法 (补形法 )1、构造正方体【例 6】（ 2015 年上海高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 _.【例 7】（上海中学） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 _.【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2Ra2b

4、2c2.出现 “墙角 ”结构利用补形知识，联系长方体。【原理】长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则体对角线长为，几何体的外接球直径为体对角线长即第2页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！【例 8】：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。【例9】 （建平中学）一个四面体的所有棱长都为2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）ADBC图A.3B.4C.33D.6【例 10】（华二附中）在等腰梯形ABCD 中， AB=2DC=2 ，DAB=60 0， E 为 AB

5、 的中点，将ADE 与BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起，使A、B 重合于点 P ，则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为（） .43666A. 27B. 2C. 8D. 24第3页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！【例 11】 （交大附中） 已知球 O 的面上四点 A 、B、C、D， DA平面 ABC ， ABBC ，DA=AB=BC=3 ，则球 O 的体积等于.DOABC图 42、构造长方体【例 12】（ 2012 年上海高考题）已知点A 、B 、C、D 在同一个球面上， AB平面 BCD ， BCDC ，若AB 6,A

6、C=2 13,AD=8 ，则球的体积是.AOBCD图 5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。第4页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！三.多面体几何性质法【例 13】（大同中学）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A. 16B. 20C. 24D. 32【小结】本题是运用 “正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.四.寻求轴截面圆半径法【例 14】（西南位育中学）正四棱锥 SABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，点 S、A、B、C、D 都在同一球面上

7、，则此球的体积为.SDCO1A图3B【小结】根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.第5页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！五 .确定球心位置法【例 15】 （上海第二中学）在矩形ABCD 中， AB4, BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B ACD ，则四面

8、体ABCD 的外接球的体积为（）125125125125DA. 12B.9C. 6D. 3OCA图 4B【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例 16】（复旦附中）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，,求球的体积。【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。四面体是正四面体,外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。第6页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第7页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，

9、天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！赠送以下学习资料和倍差倍问题学习目标通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线段图。二、基础知识1. 和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本的数量关系： 和÷ ( 倍数 +1)= 较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )2. 差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本公式：差÷ ( 倍数的差 ) 标准数 ( 一倍数 )例题解析一、和倍问题例 1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸 240 千克，第一组交的废报纸是第二组的 3

10、倍，问两组各交废报纸多少千克？小结：解答基本的和倍问题，先确定其中一个数作为标准数(1 倍数 ) ，再找出两数的和，及其相对应的倍数关系，这样就可以求出标准数，也就可求出另一个数(较大数)。基本的数量关系： 和÷ ( 倍数 +1)=较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )第8页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！练一练：NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是339 厘米，姚明的身高大约是小明身高的2 倍。你能够算出来吗？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的 5 倍，弟

11、弟应给哥哥多少钱？练一练： 妹妹有课外书 20 本，姐姐有课外书 25 本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的 2 倍？例 3：二个同学共做了 23 道题。如果乙同学再多做 1 题，将是甲同学做的 2 倍，二个同学各做了几题？例 4：熊猫水果店运来水果 380 千克，其中苹果比梨的 3 倍还少 40 千克，水果店运来苹果和梨各多少千克 ?练一练：果园里种桃树和梨树共340 棵 , 其中桃树的棵数比梨树的3 倍多 20 棵，梨树种了多少棵？例 5：三捆电线共长 273 米，其中第二根的长度是第一根长度的 2 倍，第三根的长度是第二根长度的 2 倍。三根电线各多少米？练一练： 甲、乙、丙三数的

12、和是78，甲数比乙数的 2 倍多 4，乙数比丙数的 3 倍少 2。求这三个数。例 6：某小学有学生 975 人. 全校男生人数是六年级学生人数的 4 倍少 23 人，全校女生人数是六年级学生人数的 3 倍多 11 人. 问全校有男、女生各多少人？二、差倍问题例 1：某小学参观科普展览，第一天参观的人数比第二天多 200 人。已知第一天参观的人数是第二天的 3 倍，两天参观的各是多少人？第9页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！练一练： 已知甲、乙两个数的商是4，而这两个数的差是30，那么这两个数中较小的一个是多少？例 2：甲、乙两车

13、间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调 24 人到乙车间 . 这时乙车间人数是甲车间的 4 倍. 甲、乙两个车间原来各有多少人例 3：四（1）班与四（ 2）班原有图书的本数一样多。后来，四（ 1）班又买来新书 118 本，四（ 2）班从本班原有书中取出 70 本送给一年级同学。这时，四（ 1）班的图书是四（ 2）班的 3 倍。求两班原有图书各多少本例 4：有大、小两猴都有一些桃子。小猴比大猴少 13 个，如果小猴再给大猴 6 个，这时小猴的桃子相当于大猴的 1 半，求大、小两猴原来各有多少个？练一练： 有两块布料，第一块 148 米，第二块 100 米，两块布各剪去同样的一段后，剩下的米数第一

14、块是第二块的 3 倍。两块布各剪去多长？例 5：猪、牛、羊跑步，如果，牛为猪跑得 2 倍，羊为牛跑的 4 倍，羊比猪多跑 56，那么三动物共跑了多少路？试一试： 两个自然数相除商是15，余数是 7，并且被除数比除数大735。求这两个数。例 6：某工厂有两堆煤，第一堆比第二堆多 50 吨，两堆煤各用去 75 吨后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的 3 倍。求两堆煤原来各有多少吨？试一试： 用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车÷马 2，炮÷车 4，炮马 56，那么“车马炮”等于多少？第 10页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！第 11页 /共 12页有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴！课后作业 ：1. 小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共 88 棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的 3 倍. 小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？2. 学校图书馆买来故事书、 科技书共 1000 本，科技书比故事书的 2 倍多 12 本，求学校买故事书、科技书各多少本 ?3. 果园里有梨树、桃树、核桃树共 526 棵。梨树比桃树的2 倍多