不等式证明的常用基本方法(自己整理)

1、.证明不等式的基本方法导学目标： 1. 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 .2. 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式 自主梳理 1. 三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c0，那么 _ ，当且仅当 a b c 时等号成立2. 基本不等式 ( 基本不等式的推广 ) ：对于 n 个正数 a1， a2， ， an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1 a2 anna a a ，当且仅当 _ _时等n12n号成立3. 证明不等式的常用五种方法(1) 比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是

2、 _与 0 比较大小或 _与 1 比较大小(2) 综合法：从已知条件出发，利用定义、 _、 _、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(3) 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实( 定义、公理或已证明的定理、性质等) ，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法(4) 反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点， 结合已知条件， 应用公理、 定义、定理、 性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件( 或已证明 的定理、性质、明显成立的事实等)

3、矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立， 再在正确的推理下得出矛盾， 这个矛盾可以是与已知条件矛盾， 或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5) 放缩法定义： 证明不等式时， 通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键.题型一 用比差法与比商法证明不等式1. 设 t a 2b， sa b2 1，则 s 与 t 的大小关系是 ( A)A. stB.stC.stD.s0; a2+b22(a-b-1); a2+3ab2b2; ,其

4、中所有恒成立的不等式序号是.【解析】 a=0 时不成立 ; a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20, 成立 ; a=b=0 时不成立 ;a=2,b=1 时不成立 , 故恒成立的只有 .题型二 用综合法与分析法证明不等式14.(1)已知 x， y 均为正数，且xy，求证： 2x x2 2xy y22y 3；(2) 设 a， b， c0 且 ab bcca 1，求证： abc 3.证明(1) 因为 x0， y0， x y0，1112x x2 2xy y2 2y 2(x y) x y2 (x y) (x y) x y232113x yx y2 3，所以2xx2 2xy y22y

5、3.(2) 因为 a， b， c0，所以要证 a bc3，只需证明 (a b c) 2 3.即证： a2 b2c2 2(ab bcca) 3，而 ab bc ca 1，故需证明： a2 b2 c2 2(ab bcca) 3(ab bc ca) 即证： a2 b2c2ab bc ca.222222而 ab bcca a b b c c a a2 b2 c2( 当且仅当 a b c 时等号成立 ) 成立222所以原不等式成立5. 已知 a、b 都是正实数，且 ab 2. 求证： (1 2a)(1 b) 9.证明：法一因为 a、 b 都是正实数，且ab 2，所以 2ab2 2ab 4.所以 (1 2

6、a)(1 b) 1 2ab2ab9.21法二 因为 ab 2，所以 (1 2a)(1 b) (1 2a)1 a 5 2aa .因为 a 为正实数，所以a12a1 2.所以 (1 2a)(1 b) 9.aa法三 因为 a、 b 都是正实数，所以(1 2a)(1 b) (1 aa) 1b b22323b3a b2223 a 394. 又 ab 2，所以 (1 2a)(1 b) 9.4思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见

7、，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野题型三放缩法证明不等式1，且 M11，N ab，则 M、N的大小关系是 ( A )6.已知 0aNB. MNC.MND.不能确定.解析： 0a0,1 b0,1 ab0，bM N 1 a1 b2 2ab1 a1 b1 a 1 b 0. 答案： A7. 若 a，bR，求证：|a b|a|b|.1 |a b| 1|a|1 |b|证明 当 |a b| 0 时，不等式显然成立当|a b| 0时，11由 0|a b| |a| |b| ? |a b| |a| |b| ，所以|a b|11|a| |b|111 |a

8、b| 11|a|1 |a| |b|a b| |b|a|b|a|b| 1 |a| |b| 1 |a| |b| 1 |a| 1 |b| .思维升华(1) 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：11111212变换分式的分子和分母，如 2， .k k k 1k k k1k k k 1kk k 1*上面不等式中kN， k1；a am真分数性质“若 0a0，则 ”b bm(2) 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度11118. 设 n 是正整数，求证： 2 n1 n 2 2nn(k 1,2 ， ， n) ，得1 1 12n n kn.111111111当 k

9、1 时， 2n n 1n；当 k2 时， 2n n 2n； ，当 k n 时， 2n n nn，1n111n 2 2n n1 n 2 2n0,b0, 且 a+b=. 证明 :(1)a+b 2;(2)a2+a2 与 b2+b0,b0,得 ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有 a+b2=2, 即 a+b2.(2)222得 0a1;同理得 0b1,从而 ab1,假设 a +a2 与 b +b2同时成立 , 则由 a +a0这与 ab=1 矛盾 . 故 a2+a2 与 b2+b0， b0，且1 1 ab.a b(1) 求 a3 b3 的最小值； (2) 是否存在 a， b，使得 2a3b 6？并

10、说明理由.【解】 (1) 由 ab112 ，得 ab2. 当且仅当 a b2时等号成立abab故 a3 b32 a3b34 2，且当 a b 2时等号成立所以a3 b3 的最小值为 4 2.(2) 由 (1) 知， 2a3b2 6ab4 3. 由于 4 36，从而不存在 a， b，使得2a3b 6.1.证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法2.应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1) 分清命题的条件和结论； (2) 作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于

11、是原结论成立， 从而间接地证明了命题为真3.放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性； (2) 等量加不等量为不等量；(3)同分子 (母 )异分母 (子 )的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求； 每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和1314.放缩法的常用措施： (1)舍去或加上一些项， 如 a 2 24 a22；(2) 将分子或分母放大(缩小) ，如 121， 12(k N* 且 k1) 等kk k 1kk k 1kk k

12、1kk k 11. 设 a、 b 是正实数，给出以下不等式：ab 2ab ； a|a b| b； a2 b24ab 3b2；a b2ab ab2，其中恒成立的序号为 (D)A. B. C.D. 2ab2ab 答案 D 解析 a、b R 时， ab2 ab， a b 1， a bab，不恒成立，2排除 A、 B； ab 2 22 恒成立，故选 Dab11112.设 M210 210 1 210 2 211 1，则 (B)AM1B M1DM与 1 大小关系不定【解析】2 101210， 210 2210， ， 211 1210 ，.111111110M210 210 1210 2 211 10，b

13、0. 则 a b aab a2 的最小值为 (C )A 7B 8C9D101313【解析】因为a0，b0，所以 a ba 3a b a 3b0，211321131同理可证： a b a2 3a b a2 3b0. 1211331由及不等式的性质得a baa ba2 3b 3b 9. 【答案】 C5. 下列结论正确的是 (B)A当 x 0 且 x1时， lg x12 B当 x 0 时， x1 lg xx211C当 x2时， xx的最小值为 2D当 0x2时， xx无最大值解析：当0 x 1时， lg x1 0，A 错误；lg x当 x 0 时，x1x12x2，B 正确；x15当 x2时， x x

14、的最小值为2，C错误1当 0x2时， xx是增函数，最大值在x 2 时取得，D 错误答案： Bxyz6.若 P(x0 ， y0，z0) ，则 P 与 3 的大小关系为 _ P0， 1 y0，1 z0， 1 x 1 y 1 z1 x 1 y1 z 3. 即 P3. 【答案】 P0，b0，ab，上述四个方案中， 降价幅度最小的是 _ x3x1 x2x4_解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为x1、x2、 x3、 x4.则 x1 (1 a%)(1 b%) 1 (a b)%a%b% x2(1 b%)(1 a%)x1，a ba b12x3 1 2 % 1 2 % 1 (a b)% 4(a b

15、)% ，x41 (a b)%0， x3x1 x2x4.8. 已知两正数 x， y 满足 x y 1，则 z x11的最小值为 _25xy4_y111yx1 （ x y） 2 2xy2【解析】 z x xy y xy xy x y xy xyxyxy xy 2，x y 2 1令 t xy ，则 0t xy .24211233由 f(t) t t 在 0， 4 上单调递减，故当t 4时 f(t) t t 有最小值4，12525所以当 xy 2时， z 有最小值4.【答案】 4111*9. 求证： 12 22 n22(n R) 1111证明 k2 k（ k 1） k 1k，1111111111 12

16、 22 n 21 (1 2) ( 2 3) ( n 1 n) 1 (1 n) 2n0， b0， 1 a b 2 ab， ab 1，令 ab t t1 .44令 y ab 1 t1 0t 1 ，abt4.y112， t 1， 12 16.t4ty110， y t 在 (0， 单调减11t4y44 44，11即 ab 4 .ab41(2) 猜想：当 a b2 时，不等式 a2b2 21 2 ()与 a3b3 313 ()取等号，故在括号内分别填16 1与641.a ba b1664(3) 由此得到更一般性的结论：anbn n1n 4n 1n .a b4 ab a b 2 1， 1 4.24ab证法一： anbn n1 anbn 2n 1 n4