不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法

1、.不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过 70%。一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。第一节基本不等式1.证明：当,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。2.基本不等式的变形（包括2 个方面）若,若,若,( 上述 3 个不等式，考虑如何证明？)注：上述的不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。（注意：不等式的右边是）例题 1.已知解：，；求有两种方法，其一是配式，

2、；另一种方法是，由,。例题 2. 已知,求证：。证明：由基本不等式得：，而条件是,即对于不等式等号成立，即。注：本题把等号成立的条件，作为求证的目标，比较新颖。例题 3.已知.解：,这里,.注：解答本题的关键是，如何运用好，两次使用了基本不等式，但不矛盾。例题 4. 求的最大值。解：函数的定义域为,可以用其它的方法来解，比如用两边平方转化成二次函数求极值等。但由于两式平方和为常数3，故应用基本不等式的变形公式简单些。2，当且仅当时成立，故。例题 5.已知, 则的最小值为（）。解：当且仅当等号成立，的最小值为16.注：这里要求2 元表达式的的最值，不能直接整体应用基本不等式（即不能直接整体消去a

3、、 b）而且也没有给出条件等式（即不可能代入消元）, 因此，对局部用基本不等式的变形公式进行处理。例题 6. 若二次函数的值域为 0,+ ), 则的最小值为（）。解：由题意得则，当且仅当 a=c=2 时，等号成立， 所以的最小值为。注：本题也可用消元法，由消去 a 或 c，比较麻烦。例题 7. 已知 a,b,c>0,且例题 8. 已知 a,b,c>0,且的最大值为（）。解：, 当且仅当等号成立，所求的最大值为。例题 9. 已知函数的定义域是 a,b,其中， (1) 求的最小值；.(2)若,求证：.解：(1) 由基本不等式的变形公式可得，, 上面各式等号成立的条件都是：时取得（虽然两

4、次使用了基本不等式，但x 的取值不矛盾） ，。(2) 设时，由 (1) 的结论可得：, 同理由得：.上面两次用到基本不等式，等号成立的条件都是s=2 时取得， (2) 得证。例题 10. 已知两条直线和图象从左至右相交于A,B, 与函数图象从左至右相交于C,D,记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为a,b,当 m 变化时，的最小值为（）。解：在同一坐标系中作出,图象，令,故由,当且仅当，即取等号，故 (。注：本题经过巧妙的”伪装 ”,将基本不等式融入到函数中，将文字语言转化为符号语言，实现基本不等式模型的构建，.对学生的运算能力和思维水平提出了很高要求，具有较好的区分度。例题 1

5、1. 若平面向量满足，则的最小值是（）。解：由，两边平方，得4，由基本不等式得：4(当且仅当)。设为夹角(),则当时，(当且仅当)，因此。注：本题将基本不等式与向量 相结合， 通过将向量的模平方，借助基本不等式和斜率数量积的性质，建立关于的不等式。此题视角独特，构思精心。例题 12. 函数图像上两相邻的最低点与最高点之间的最小值是（）。解：如图，设函数图像上两相邻点中最高点为A,最低点为B 且过 A 点平行与 x 轴的直线与过B点垂直于x轴的直线相交于C,则，即，故。注：本题将基本不等式渗透到三角函数中，关键是运用三角函数的周期、振幅，合理表示出相邻的最低点与最高点的距离。此题情景新颖，自然贴

6、切，这种不拘题型约束的命题方式是高考的一大亮点。例题 13. 设是等比数列，公比，的前 n 项和，记。记为数列的最大项，则().解：由题意，此时。注：本题将基本不等式嵌入数列解题中，运用数列的基本量及性质将条件转化为关于n 的代数式，通过换元后转化为基本不等式模型。例题 14. 一个四面体的一条长为x，其余所有棱长均为1，则此四面体体积V 的最大值是（）。解：由题意得：(当且仅当.等号成立 )，故的最大值是。注：本题把基本不等式与立体几何的相关知识进行交汇，如果学生对空间图形有较深刻的认识，可以准确建立V(x)的函数关系式以后求解，使问题的综合性进一步加强，充分体现出数学试题的多变性。例题 1

7、5. 平面直角坐标系xoy 中，已知点A(0， 1),B 点在直线上， M 点满足点 M的轨迹为切线C,(1) 求 C 的方程； (2)P 为 C 上的动点， l 为 C 在得 P 处的切线，求O 点到 l 的距离的最小值。解 ： (1)所 以l的 斜 率 为故l的 方 程 为则O点到l的距离, 又， O 点到 l 的距离的最小值为2.第二节“对勾”函数的图象、性质及应用“对勾”函数与基本不等式有着密切的联系，其图像如右图，当 x>0时 ,; 当 x<0 时，(同时 ,也是函数增减区间的分点 )。以上在不少的例题中已经运用了这个结论。事实上， 函数还有一个很重要的代数性质在变量代换

8、中经常使用。例题 1.（2013 年江苏卷13 题）在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(a,a),P 是函数图像上的动点，若点P,A之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为（）。解：点 A(a,a)是直线上的动点，点 P,A 之间的最短距离为，即以 A 为圆心，半径的动圆与函数.图像相切时求a 的值。依题意可画出草图，点 A 在直线上运动时，凭直觉认为，动圆都会与函数的图像相切于点C(1,1)，因此不难求出a 的两个值为 -1 或 3；而这个答案是错的。事实上，当a>0 时，两图像的切点位置是与动圆半径大小有关的(如图 )，只有半径较小时，才可能相切于C。, 令, 则式可化为：

9、,解得.注：解答本题有两个问题需要注意，一是用数形结合的方法解题时，直觉有可能是错误的；二是解析式与的可代换关系，这样的关系还存在于sinx± cosx 与 sinx?cosx;等。如果将“对勾”函数变形为：(a,b R),研究其图像、性质对解题是很有必要的。(1)(a>0,b>0)此函数是由叠加而成，通过分析两个简单函数的图像特征，画出其叠加函数的图像，是数学能力的一种体现。由图像可知:关于原点对称；时，函数存在极小值点A();时，函数存在极大值点B();递减区间为：(),), 递增区间为：(),();（两条性质可通过导数证明）存在两条渐近线：(渐近线在通过作图解题时，

10、起作用)。(2) 其余的三种情况的图像如下：.其性质由同学们自己小结，在此不在赘述。例题 2.若函数的值域是 ,则函数的值域是（）。解：设,则,只要画出函数的图像可知：.注：本题看似简单，但取不同的表达式时，情况可能变得很复杂。例题 3. 设定义在 (0,+ )上的函数(a>0)求的最小值。解 1.（基本不等式法）,当且仅当时等号成立，.解 2.（判别式法）设，则有,显然,解得(舍去 )，故应将代入得：即,因此。（注：当主元x 有范围使用判别式法时，都应将所求最值回代，检验x 的解是否在给定的范围内）解 3.（求导数法）由题意,有;有.故当时，函数时，函数，因此。变式 1：设定义在 (0

11、,+ )上的函数(a>0)求的最小值。变式 2：设定义在 (0, )上的函数(a>0)求的最小值。变式 3：设定义在 0,+ )上的函数(a>0)求的最小值。变式 4：设函数(a>0)求的最小值。变式 5：设定义在 (1,+ )上的函数(a>0,a 1)求的最值。注：以上 5 个变式，若以填空题的形式解答，可使用变量代换，用“对勾”函数的图象直接得到答案；若以解答题的形式解答，应使用求导数的方法证明。.变式 6：讨论函数(a>0,c>0,n 取正整数 )。解：,当 n 为奇数时，函数是奇函数，只要讨论;当 n 为偶数时，函数是偶函数，只要讨论。例题 4

12、.求函数,的最值。解：由于函数的分子分母的次数都是2，因此采用“配式法”降低分子的次数；令,则再令,.注：求型如函数的最值 (值域 )，可通过换元法() 转化为函数，只要讨论的极值即可； 当所求函数的分子分母的次数相同时（如本题）应采用“配式法”降低分子的次数，转化成的形式。例题 5.,若对不等式10 在上恒成立，求b 的取值范围。解：函数上单调递减，在上单调递增，则上的最大值为.由, 不等式10 在上恒成立 ,有即解得.注：将不等式恒成立问题转化为最值问题，是常见的转化形式。变换主元，把看成关于 a 的一次函数,不等式10 恒成立(分两步进行 ) ，10恒成立，在上单调递减10,解得：.练习

13、 1.若关于 x 的方程至少有一个实根在区间1,2 内 ,则实数 a 的取值范围是 ().练习 2.若,则函数的最大值是（）。练习 3.若最小值(4)第三节判别式法解题利用一元二次方程的判别式求某些函数的值域或极值的方法，称为判别式法。判别式法的使用通常是对含有参数的二次方程。例题 1.求函数。解：由判别式可知分母，两边同乘以得：,将此式看成是x 的方程，必有实数解， =解得：，即函数例题 2. 求函数。解：当时分母虽然为0，但分子 x+4 0，变形后仍然可得到关于x 的二次方程，将函数的两边同乘得：,此方程 x 显然有实数解，=,解得：，二次项系数y 0，函数为注：在使用判别式法求分式函数的

14、值域时，应注意两点：一是分式的表达式不能约分，二是变形后，二次项系数为 0 的 y 在求得的 y 的范围内，要代入方程验证。例题 3.求函数.解：,由函数的定义域知，式的值域为; 再将代入式 , 得到的须删除 , 函数注：函数的表达式中的分式，可约分时应先约分，再求值域，最后删除定义域中不存在点所对应的函数值。例题 4.设为实数，且首项为公差为 d 的等差数列的前 n 项和为，满足，求公差d 的取值范围。解：,将其代入并化简得：此式可看成是关于的二次方程，=，解得：。注：由于方程(*) 中的，是方程有解的充要条件，因此不必要再对结果进行检验了。本题也可以求的取值范围，方法相同。例题 5.,试问

15、实数为何值时，取得最大值？解 1：利用基本不等式（略）。解 2：设代入题设等式并整理得：=，解得：或。由知,由令，代入 (*) 式，可解得满足题设条件，所以.注：把式看成关于a 的二次方程，是方程在有解的必要条件(不是充要条件 )，因此需要通过检验说明最值的取得是合理的。变式：已知实数满足,则 b 的取值范围是（）。例题 6.如图建立平面直角坐标系xOy,x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上， 其中 k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小 )

16、，其飞行高度为3.2 千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。解： (1)令(2)设飞行物的坐标为(a,3.2)(a>0),要击中飞行物，其坐标必须在炮弹飞行的轨迹方程上，即,整理成关于k 的二次方程得：,解得：.由,要检验，将代入 (*) 式，解得a 的最小值为6.注：把 (*) 式看成关于k 的二次方程，只是方程在上有解的必要条件并不充分，应当通过检验 “当，”说明 a 能取得最大值6.例题 7.如图某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点 A,B 及 CD的中点 P 处，已知AB=20km,BC=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域

17、上 (含边界 )且与 A,B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO.OP,设排污管道的总长为y km.(1) 按下列要求写出函数关系式：设将 y 表成的函数关系式；设 OP=x(km),将 y 表成的函数关系式；(2) 请选用 (1) 中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。解 :(1)由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 BAO=(rad) ，则 OAAQ10,coscos10OP 10 10tan1010故，所以 yOAOBOP10 10 tan ，又OBcoscoscos所求函数关系式为y2010sin100cos4若 OP= x (km)，则 OQ 10 x ，所以 OA =OB=10x2x220x 200102所求函数关系式为yx2 x220x200 0x10(3) 选择函数模型用求导数的方法可以解决（省略）。选择函数模型,关键是去掉根号，转化为关于x 的二次方程，即,所以有：,解得：又当时,所以点 P 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边例题 8.求证 (1)(2)分析：构造以为系数的一元二次方程，由条件确定 c 的范围。解： (1) 设, 显然 a、 b 是的零点，.。(2)由 (1).注：关于将式