求最值方法高考数学复习

1、一问一答 - 最值问题方法总论1 1 高中数学求最值有哪些方法？答：有 9 9 种方法： 1 1）配方法 2 2 ）判别式法； 3 3）不等式法； 4 4）换元法； 5 5）函数单 调性法；6 6）三角函数性质法； 7 7）导数法； 8 8）数形结合发 ； 9 9）向量法2 2 如何将恒成立问题转化为最值问题？答：1 1） a f（x）恒成立，则 a f（X）max2 2 ） a f （x）恒成立，则 a f（x）min一元整式函数最值1 1 、二次函数开口方向、对称轴、所给区间均确定 , , 如何求最值 ? ?答： 1 1 ）确定对称轴与x轴交点的横坐标是否在所给区间。 2 2）如果在所给区

2、间，一 个最值在顶点处取得，另一个最值在与顶点横坐标较远的端点处取得。3 3）若不在所给区间，利用函数的单调性确定其最值。2 2、二次函数所给区间确定，对称轴位置变化，如何求最值? ?答： 1 1 ）移动对称轴，将对称轴平移到定区间的左侧、右侧及区间内讨论，2 2）在区间内，只考虑对称轴与区间端点的距离即可。3 3、二次函数所给区间变化，对称轴位置确定，如何求最值? ?答：分类讨论，分为四种情况： 1 1 ）对称轴在闭区间左侧； 2 2）对称轴在闭区间右侧3 3)对称轴在闭区间内且在中点的左侧；4 4)对称轴在闭区间内且在中点的右侧(或 过中点)；4 4、二次函数所给区间、对称轴位置都不确定，

3、如何求最值? ?答：将其中一个看作是“定”的，另一个看作是“动”的，然后如上分四种情况进 行讨论。5 5、什么情况下运用基本不等式求最值？答：当两个变量的和或积为定值时运用， 有时需要变形。 即两个正数的积为定值时， 它们的和有最小值，两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。6 6、对于多项式乘积的最值问题，如何求解答：可以考虑展开后，利用基本不等式求解7 7、如何求复合型函数的最值答：若函数 f(x),g(x)在m.n上单调性相同，则 h(x) f(x) g(x)在mn上与 f(x),g(x) 有相同的单调性，可利用单调性求h(x)在m.n上的最值。8 8、 如何求三次及三次以上函数的最值？

4、答：用导数法求，利用函数的单调性；9 9、 如何求二次函数与指数、对数函数通过四则运算构成的函数 答：用导数法求单调性，利用单调性求最值1010、如何求含绝对值的函数的最值?答:1:1 ）去掉绝对值，转化为分段函数后求最值/11/11、如何求含参数的函数最值 答：1 1）利用导数求最值，2 2）根据参数的取值范围，用分类讨论思想求解1212、如何求指数，对数函数最值？答：利用换元法，转化成整式函数最值问题，注意换元后函数定义域的变化。分式函数最值问题1 1、如何求形如 y axb（x 0）的函数的最值x答：有两种方法 1 1 ）利用基本不等式求最值法 2 2）利用其单调性求最值，求解时，需先判

5、断其单调区间。2 2、 如何求一元二次分式函数，形如y笃bx g0）的函数值域？dx2ex f答：1 1）转化成关于自变量x的一元二次方程 2 2 ）利用判别式求 y 的取值范围。3 3）注意二次系数等于零的情况。3 3、分式函数 y 卫卫中分子的次数小于分母的次数最值问题，如何求解？g（x）答：可 取倒数后，利用基本不等式求解无理函数最值问题1 1、对于含有根式的最值问题，首先考虑如何处理答：考虑平方后，利用基本不等式求解12、如何求无理函数被幵方数含自变量的一次式，形如y ax b CT（a,c不为零）的最值答：利用整体换元法求解3 3、如何求解无理式的和、差最值问题答：1 1）将根号下的

6、变量进行配方 2 2 ）转化为两点间的距离的和、差最值 3 3 ）根据已 知条件，利用数形结合的方法求解。/4/4、如何求形如y m .,axb n、一 （ac 0）型函数的值域答：1 1）确定函数的定义域，设为闭区间Xi,X2 , 2 2）令x| X2Xi|si n2tXi，且 t0,三，原函数可化为 y Asin（t）型的函数，从而得出函数的值域。（例题在书上 105105 页）5 5、如何求形如 y mx n . aX2bx c（m 0,a 0,b24ac 0）型函数值域？答：1）确定函数的定义域，设为闭区间捲必,2）令 t 笃凶 笃sint 且 t 0-，换元，将 y Asin（ x

7、） t 型函数，求值域（例题在书上105105 页）条件最值问题a b1 1、已知或可化为已知 -1 型为条件的如何求 ex dy(a,b,c, d 均不为零)最值x y答：可利用“ 1 1”的代换求乘法，即 ex dy 1 (ex dy) (-a ) (ex dy)，展幵后用x y基本不等式求最值。2 2、 已知 ax by k(a,b,k 均不为零)，如何求 F(x,y) (m,n,c,d 均不为零)的最ex dy值？答：常将 ax by k(a,b, k 变形为axby 1 后，然后利用“ 1 1”的代换求乘法，展幵k k后用基本不等式求最值。3 3、 已知条件含形如 ax bxy ey

8、 d 0(abe 0)型的关系式，如何求关于 x, y 一次式的 和或积的最值问题答：将关系式 ax bxy ey d 0 变形，用一个变量表示另一个变量后求解，相当于消元后再利用基本不等式求最值。4 4、 如何求解对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如 a b e) 的表达式的最值？答：用增量换元法进行换元，换元的目的是为了减元。/5/5、举例说明增量换元法 答：若 a,b R,a b 1，求 y (a 2)2(b 2)2最小值,因为 a b 1，所以可设 a - t,b - t，代入方程2 26 6、如何求已知条件含关系式 x2y2r2型最值问题答：1 1）利用 x rc

9、os ， y rsin 换元，转化成三角函数求最值问题求解。2）若涉及 x2y2r2，则利用 x rcos，转化成三角函数求最值问题求解。y r sin，其中|r | 1,0,2 ），将问题转化成三角函数求最值问题求解。线性规划中最值问题1 1、如何求解线性规划中最值问题？答：在线性约束条件下目标函数最值问题求解步骤：1 1）作图-画出约束条件下（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直 线系中的任意一条直线 2 2）平移-将直线平行移动，以确定最优解所对应点的 位置 3 3 ）求值一解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函 数的最值。（例题在 115115 页）三

10、角函数最值问题1 1、一次三角函数，女口 y asinx bcosx 型，采用什么方法？答：采用引入辅助角法，利用关系式asiasi nx+bcosxnx+bcosx二.a2b2si nx/ / 2 2、二次三角函数，只含有正弦函数或余弦函数，采用什么方法?类型三：asx bsinx da 0）型。此类型答.可化为at bt da 0）在区间11上的最值问题。3 3、二次三角函数 y asin2x bsinx cosx ccos2x 的三角函数，采用什么方法？答：利用倍角公式化为y asinx bcosx，然后求解。4 4、对于表达式中同时含有 sinx+cosxsinx+cosx，与 sin

11、xcosxsinxcosx 的函数，采用什么方法？换元法 sinsin x+cosxx+cosx二t t转化为 t t 的二次函数去求最值，要用到sin x cosx21 2sin xcosx,必须要注意换元后新变量的取值范围。2 25 5、合理的拆添项，凑常数，化简成acotx btan xsinsin x0,a0,a0,a1sinx0,a1，采用什么方法？sin x答：不能用均值不等式求最值， 适合用函数在区间内的单调性来求解。换元，求导,根据定义域确定单调性。9 9、含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。答：含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。1010、 条件最值问

12、题答：根据条件，将高次函数化为降幂，将多多元函数降元。化简后再求解。立体几何最值问题/ /1 1、求解立体几何最值问题方法是什么？答：1 1）转化为平面问题求解 2 2 ）转化为函数的最值，需要恰当引入参变量，准确建立目标函数。2 2、如何求解三视图中最值问题答：将三视图还原成几何体，并且将三视图中线段的长度正确反映到几何体中，从 而求得最值/3/3、如何求解几何表面距离最短的问题?答：1 1）将空间几何体表面展幵，将立体几何问题转化为平面几何问题，2 2）利用平面内两点间距离最值问题求解 3 3）求解时注意分类讨论思想。4 4、立体几何求最值可用的公理和定义有哪些？答：1 1）两点之间线段最

13、短 2 2 ）分别在两异面直线上的两点的连线中，它们的公垂线 最短。/5/5、如何求解与立体几何动点有关的最值问题答：建立目标函数法，将动态问题转化为目标函数最值问题。解析几何最值问题1 1、求解解析几何最值问题有哪些方法？答：1 1）结合定义，转化为平面几何知识求解，利用三角形两边之和大于第三边，或三角形两边之差小于第三边；点到直线的垂线最短等2 2）不等式组求解法：列出参数适合的不等式组，通过解不等式组得出参数范围；3 3）函数值域求解法 4 4 ）构造一个二次方程，利用根的判别式/ /2 2、如何求解关于圆的最值问题答：1 1）根据圆的对称性，转化为与圆心有关的最值问题，即圆心与圆外的点

14、距离最 值与圆半径和、差的关系2 2）数形结合求解最值；如几何意义是圆上一点与原点连线的斜率；如 y x,最值，x可设 y x b , y x b 则为纵截距最值问题；如 x2y2为圆上的点与原点距离的平 方。3 3、 如何求解涉及椭圆（或双曲线）上的动点与其中一个焦点及另外一个动点的距离 和、差最值问题答/1/1 ）借助椭圆（或双曲线）定义，转化为该动点与另一个焦点的距离与定点的距离和、差问题， 2 2）然后利用平面几何知识求解， 其中常用“两边之和大于第三边”， “两边之差小于第三边”。4 4、 如何求解圆锥曲线上的动点与圆上动点间的距离最值问题答：1 1）涉及四个变量，无法直接求解 2

15、2 ）转化为圆心与圆锥曲线动点距离最值与圆 半径和、差的关系 3 3）也可构造以圆的圆心为圆心，以半径 r（r 0）的动圆与已知圆 锥曲线相切，利用消元后得到的二次方程判别式0 求得r的值。 / /4 4、 如何求解圆锥曲线上的点与定直线距离最值问题答：1 1）代数法，设出圆锥曲线上点的坐标，用点到直线的距离公式转化为某一变量 的函数，利用函数最值方法求解。2 2）几何法：通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所 求的最值，切点就是曲线上取得最值的点。5 5、 如何求解圆锥曲线上的点与定点距离最值问题 答：设出圆锥曲线上点的坐标，用两点间的距离公式转化为某一变量的二次函数，利用函数最值方法求解。多元变量最值1 1、怎样解多元变量之间具有相等关系的最值问题答：1 1）利用它们之间的相等关系，选择一个变量用其他变量表示后，代入，消去这个变量后求最值。 2 2）若不能选择一个变量用其他变量表示，将已知关系式变形后， 结