时间序列分析降水量预测模型

1、课程名称:时间序列分析题目:降水量预测院系:理学院专业班级：数学与应用数学10-1学号:学生姓名：戴永红指导教师：潘洁2013年12 月13日1. 问题提出能不能通过以前的降水序列为样本预测出2002的降水量？2. 选题以国家黄河水利委员会建站的山西省河曲水文站1952年至2002年51年的资料为例，以1952年至2001年50年的降水序列作为样本，建 立线性时间序列模型并预测2002年的降水状态与降水量，并与 2002年 的实际数据比较说明本模型的具体应用及预测效果。资料数据见表1。表1山西省河曲水文站55年降水量时间序列时段降水量(mm) 时段 降水量(mm) 时段降水量(mm)19521

2、97119901953197219911954197319921955197419931956197519941957197619951958197719961959197819971960197919981961198019991962198120001963198220011964198320021965198419661985196719861968198719691988197019893.原理模型表示均值为0,具有有理谱密度的平稳时间序列的线性随机模型的三种形 式，描述如下：1、 AR( p)自回归模型：t 1 t 1 2 t 2 L p t p t由p 2个参数刻 画；2、 MA(

3、q)滑动平均模型：t t 1 ti 2 t2 L q t q由q 2个参数 刻画；3、ARMA(p,q)混和模型：ARMA(p,q)混和模型由p q 3个参数刻画；自相关函数k和偏相关函数kk1、 自相关函数k刻画了任意两个时刻之间的关系，k k/ 02、偏相关函数kk刻画了平稳序列任意一个长k 1的片段在中间值丄tk1固定的条件下，两端t， tk的线性联系密切程度。3、线性模型k、 kk的性质表2三种线性模型下相关函数性质 模 型 函数拖尾k q截尾拖尾k p截尾拖尾拖尾模型识别通常平稳时间序列乙，t 0, 1L仅进行有限n次测量(n 50)，得到一1 n个样本函数，且利用平稳序列各态历经性

4、：Z丄Zj做变换，t乙，n j it 1丄n,将乙 L , Zn样本换算成为样本i,L , n，然后再确定平稳时间序 列 t，t 0, 1L 的随机线性模型。331 样本自相关函数平稳序列L , 2, 1, 0, 1, 2L ， E( t) 0，对于样本，定义自协方差 函数：I1 n k?k 12宀LJ 1 j k j，?k ?壮。同时为了保证?kk，nn j 1?kk一般取 n 50,k n/4。常取 k n/10。3.3.2确定模型类别和阶数在实际应用中，我们常用有一个样本算出的?k k，彳k kk判别k，kk是拖尾还是截尾的。随机线性模型的三种形式的判别分别如下：1、 若k拖尾，kk截尾

5、在k p处，则线性模型为AR(p)模型。k拖尾 可以用的点图判断，只要样本自相关函数的绝对值愈变愈小； 当k p时, 平均20个样本偏相关函数中至多有一个使？k 2八n，则认为kk截尾在 k p处。2、若kk截尾，k在k p处截尾，那么线性模型为MA(q)滑动平均模 型。kk拖尾可以根据样本偏相关函数的点图判断， 只要彳k愈变愈小。当 k q时，若平均20个样本自相关函数中至多有一个使 ?k 21、，。3、若样本自相关函数和样本偏相关函数都是拖尾的，则线性模型可以看成混和模型模型参数估计1、AR(p)模型参数估计：AR(p)模型有 p 2个参数：p, 1, 2,l , p, 2。利用 Yule

6、-Walker 方程，利用Toeplitz 矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk。AR(p)模型的参数值不必作专门的计算，只要在样本偏相关函数计算的记 录中取出样本参数值即可。此时1, 2,L , p,都已经确定了，经过推理我们p可以得到：20 j j。j 12、MA(q)滑动平均模型参数估计：可得q 1个方程，求？, ？L彳，？2，即解这个非线性方程组。3、ARMA(p,q)混和模型参数估计对于满足一个条件：t 1 t 1 . p t p at何1 . pat q采用先计 算?,?,L ,?，在计算?,?L ?,?的方法，具体如下：1)可利用Toeplitz 矩阵和作矩阵乘法的方法

7、求出？,？,L汽。2)令t t 1 t1 . p t p混 和模型化为：；at 1at1 . patq这是关于t的MA(q)模型，用t'的样 本协方差函数估计？,？L ?, ?的值。4.步骤采用MATLA处理数据。1、 对一个时间序列做n次测量得到一个样本函数z1,Z2,L乙。实验采 用表1中的降水量数据，n 50。图1山西省河曲水文站55年降水量时间序列502、 数据预先处理：做变换t Zt Z，其中Z Zj50 j 1图2将时间序列变为期望为 0的平稳时间序列3、 计算样本自协方差函数k，样本自方差函数k。 ?k ?k/?°，其中In kk 0,123,4,5，22 k

8、2 L丄 j k j。由图-3 数据可得：nn j 1随着k的增大，k越来越小，具有拖尾性。图3计算样本自相关函数接下来计算偏相关函数kk( k 1)。利用Yule-Walker方程，利用Toeplitz矩阵求逆和作矩阵乘法的方法算样本偏相关函数kk。2/ .50 0.283，由图-4得到的数据可得，k p 2时，只有一个偏相关函 数大于。所以确定阶数为：p 2。图4计算偏相关函数5、由上综述：确定模型为AR(2)模型。下面进行AR(2)模型参数的估?10.1695，pj j 得: j 1?20.0190，由图-3 的，?1.6320e+004，由公1.5855e+004图5噪声方差的计算由上

9、可知模型为:0.1695 t 1 0.0190 t 2 t，又知 Z1 Zj 402.82，n j 11.5855e+004 。?2402.82 0.1695(乙 1402.82) 0.01900 2 402.82)最后确定AR(2)模型为：Zt1.5855e+004Zt 0.1695Zt 1 0.0190Zt 2t 478.75，6、通过确定的模型估计2002年的降水量一步估计公式：Zk(1) Z"(k 1)0.1695Zk 0.0190Zk1 478.75。其中，2001年的降水量为234.4mm 2001年的降水量为289.6mmZ20020.1695*234.40.0190*

10、389.6478.75431.62 mm一步预报误差为2 ?79.66mm而2002年实际降水量为487.3mm为了提高预报准确度，可以提供更多样本点，进行预报估计。5.部分程序代码及注释rainfall= ;b=length(rainfall);z=sum(rainfall)/b;计算均值w=rainfall-z;由 Zt构造 t序歹廿sumw=zeros(1,6);sumw1=0;for j=1:50sumw1=sumw1+w(j)A2; .计算 0endfor k=0:5for i=1:(b-k)sumw(k+1)=sumw(k+1)+w(i)*w(i+k); 计算 kendendr=sumw/b; r0=sumw1/b; p=r/r0;. 计算自相关函数kk11=p(2); a2=1,p(2);p(2),1 a22=inv(a2);计算11kk2=a22*p(1,2:3)'计算 22kk22=kk2(2,1);a5=1,p(2),p(3),p(4),p(5);p(2),1,p(2),p(3),p(4);p(3),p(2),1,p(2),p(3);p