正弦定理余弦定理及其实际应用

1、第7讲正弦定理、余弦定理及其实际应用随堂演练巩固1在 ABC 中，如果 BC=6,AB=4,cos B =1 .那么 AC 等于 （）A.6B. 2i6C.3 _6D.4i6答案:A2.在 ABC中.BC = 2 B = 若厶ABC的面积为身.则tanC为（）A. -.“：3 B.1C.可 D.答案:C解析：由 S abc = ； BC - BAs in B = f 得 BA=1,由余弦定理得 AC2=AB2 BC2-2AB BC cosB, AC = 3 AC2 BA2 二 BC2 . ABC为直角三角形，其中A为直角， tan CAB3=AC = T5 / 53.已知 ABC外接圆的半径为

2、 R,且 2R（sin 2 A - sin 2C） = C 2a - b） sinB,那么角C的大小为 （ ）A. 30 B.45 C.60 D.90答案:B解析:根据正弦定理，原式可化为2R（tr _4R2）=（ *2a _b）去-二 a2 -c2 = （, 2ab）b a2 b2c2 二 2ab.结合余弦定理可知cosC二翳2 = ¥ C=45 .4. 若 ABC 中,acosA=bcosB,则厶 ABC 一定是（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 直角三角形答案:C解析:由acosA=bcosB,根据正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB

3、,即 sin2A=sin2B. 2A=2B 或2A+2B=二,即 A=B 或 A B =£ ABC是等腰三角形或直角三角形.5. 如图，某船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东:-角，前进m km后在B 处测得该岛的方位角为北偏东 ：角，已知该岛周围n km范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续 东行.当a与0满足条件时，该船没有触礁危险。答案：mcos 二 cos I ：n sin（xI ''）解析:由题可知，在厶ABM中,根据正弦定理得sinBM0二sin（m_厂解得BM二盘管要使船没circ有触礁危险,需要BMsin（ 90； - J =罟芒葺 n

4、.所以与的关系满足 mcoscos卩： n sinC -）时，船没有触礁危险|课后作业夯基1在 ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边 若a=2bcosC,则此三角形一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形答案:C解析：因为a=2bcosC,所以由余弦定理得：a =2b 耸工 整理得bc2 .则此三角形一定是 等腰三角形|2已知A、B两地的距离为10 km,B、C两地的距离为20 km,现测得.ABC =120 ,则A、C两 地的距离为（）A.10 kmB. .3 kmC.10 .5 kmD.10、,7 km答案:D解析：利用余弦定理

5、ACAB2 BC2 -2AB BC cos120=102 202 -2 10 20 （弓）=700,AC = 10. 7（ km）.3下列判断中正确的是（）A. ABC 中,a=7,b=14,A=30 ,有两解B. ABC 中,a=30,b=25,A=150 ,有一解C. A ABC 中,a=6,b=9,A=45，有两解D. ABC 中,b=9,c=10,B=60 ,无解答案:B解析:A: / a=bsinA,二有一解；B: / A>90 circ ,a>b,.有一解;C: / a<bsinA, 无解；D: / c>b>csinB, 有两解.4. 在 ABC 中，

6、若2cosBsinA=sinC,则厶 ABC 一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形答案:B解析:法一:由正、余弦定理得2 吟尹 ikABC外接圆半径）,整理得a2 =b2. a=b. ABC 一定是等腰三角形.法二：/ sinC=sin二-（A+B）=sin（A+B）=si nAcosB+cosAsi nB,由已知得 sinAcosB-cosAsinB=0,即 sin （A-B）=0.又 A - B （-二，二），二 A-B=0,即A=B. ABC为等腰三角形.ooo5. 已知 ABC的三边长分别为a,b,c且面积Sabc = +（b c -a ）则A等于（）

7、A.45 B.30 C.120 D.15答案:A解析：由 S abc = ；(b c a )=2 bc sinA,.2,2 2得sin A = cosA,a,b,c.若 C=120.c、2a 侧 A=45 6.(2010湖南高考，文7)在厶ABC中,角A,B,C所对的边长分别为 ( )A. a>bB. a<bC. a=bD. a与b的大小关系不能确定答案:A解析:在 ABC 中,由余弦定理得 c2 = a2 b2 2abcos120 = a- b2 ab 将 c =.：；i2a 代入上式，得 2aa2 b2 ab 从而 a b2 ab, a2 - b2 二ab 0. a2 b2 .

8、 a>b.7.(2010北京高考，文10)在厶ABC中,若b=1 C= GC二手则a=答案:1解析:在厶ABC中,由余弦定理知cosC =2ab a2 1 J312a1.二空.- a2 a-2=0.解得a=1 或a=-2(舍去),故填1.8.在 ABC 中.AB = 3 BC = . 13 AC = 4 .则 ABC 的面积为A 4 C答案3 3 解析：由余弦定理知cos A = =4為更=1 .则sin A 二则 Sabc =2 3 4 4 = 3 - 3 .9. 在 ABC中，三边a、b、c所对的角分别为 A、B、C,若 a2 b c2. 2a 0则角C的大小为答案:亍解析:由题知，

9、cosC二吟A二筈一因为C (0 .二),所以C二宁.10. 在厶ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2, C= "3 (1) 若厶ABC的面积等于求a,b;(2) 若sinB=2sinA,求厶ABC的面积.解:(1)由余弦定理及已知条件，得a2 b2 -汕二屯又因为 ABC的面积等于.3所以；absinC -、3 得ab=4.r 22联立方程组 <a b -ab 二 4 ab = 4 .解得 a=2,b=2.由正弦定理，已知条件化为b=2a,-2 2联立方程组彳a b ab 二 4.2 3解得a =翠.b b = 2a .所以 ABC的面积s = 2

10、absin C二#11.已知A、B、CABC的三个内角，且其对边分别为 a、b、c,且2cos| cosA=0.(1) 求角A的值；(2) 若a = 2i 3 b c =4求厶ABC的面积. 解: 由 2cos2-A cosA=0,得 1+cosA+cosA=0,即cos A -畀.角A ABC的内角， A =务.由余弦定理得a2二 b2c2-2bccos A A 二2.则a2= (b c)2 - be.又 a=2.3b c=4 有 12=42-bc 则 bc=4.故 S abc = 2 bcsin A = 3.12.如图矩形ABCD是机器人踢球的场地,AB=170 cm,AD=80 cm,机

11、器人先从AD中点E进入场 地到点F处,EF=40 cm .EF _ AD .场地内有一小球从点 B向点A运动，机器人从点F出发去截小球.现机器人和小球同时出发，它们均做匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍.若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球解:方法一:设该机器人最快可在点 G处截住小球，点G在线段AB上.连接FG, 设FG=x cm.根据题意，得=2x cm.则 AG=AB-=(170-2x)cm.连接 AF.在厶 AEF 中,EF=AE=40 cm EF _ AD所以 - EAF =45 AF =40.2 cm.于是FAG = 45 circ .在厶 AFG 中，由余弦定理，得 FG2 = AF2 AG2 -2AF AG cos FAG . 所以 x2 =(40、2)2(170 2x)2 -2 40-2 (170 2x) cos45 .解得 x, =50 x2370 .所以AG=170-2x=70 cm,或AG =-釁cm(不合题意，舍去).答:该机器人最快可在线段 AB上离A点70 cm处截住小球.方法二：设该机器人最快可在点 G处截住小球，点G在线段AB上.连接FG,设FG=x cm.根据题意，得=2x cm.过点F作FH _ AB垂足为H.因为AE=EF=40 cm E AD