求数列通项公式的十种办法

1、总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法) 、迭代法、 对 数 变 换 法、 倒 数 变 换 法、累加法适用于：an i an f(n)转换成ani anf(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。例1已知数列an满足ani an 2n 1, ai 1，求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1

2、得 an 1 an 2n 1 则例2已知数列an满足am an 2 3n 1,印3，求数列务的通项公式 解；由 an 1 an 2 3n 1 得a. 1 a. 2 3n 1 则(asa?)(a2 a1) a1n(2 311)(2n 231)L12(33n 2L1、33 )(n3(13n1)2(n1) 313n33n13an(anan 1) (an 1 an 2) L2 1(2 31) (2 31) 31) 33nn 1练习1.已知数列an的首项为1,且an 1an 2n(n N*)写出数列an的通项公式.答案:n2 n 1anan 1练习2.已知数列an满足a13，1n(n 1)(n2)，求此

3、数列的通项公式.答案:an裂项求和、累乘法1.适用于：an 1 f (n)an这是广义的等比数列2.若也 f(n),则 af(1),叟anasaia2f(2),-an 1anf(n)n两边分别相乘得，空aif(k)aik i例4例4 已知数列an满足c 3，a. ian，求 an。解：由条件知色1a丄，分别令nn 11,2,3,(n 1)，代入上式得(n 1)个等式累乘之，即又印3a1an23n.公式法：已知Sn (即a1a2 Lan f(n)求an，用作差法:an例2 .已知数列an的前n项和Sn满足S,n 1 .求数列anS1,(n1)。Sn Sn 1, ( n 2)的通项公式。解:由a1

4、S12a1 1a11当n2时,有a nSnSn 12(anam)2( 1)nan 12an 22(1)n2,.a22a12.n(1)n2an经验证a1 1也满足上式，所以an -2n2 ( 1)n13点评：利用公式an 。n J求解时，要注意对n分类讨论，但若能合Sn Sn 1n 2写时一定要合并.练一练：已知an的前n项和满足log2(Sn 1) n 1，求a.； 数列an满足 q 4, Sn Sn 1 5a. 1，求 an ；3四、待定系数法适用于an 1 qan f(n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1 .形如an 1cand,

5、(c 0其中a1 a)型(1)若C=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=0时，数列 an为等比数列；（3）若C 1且d 0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设an1c(an彳导 a n 1can (c1),与题设an 1cad,比较系数得(c 1) d,所以所以有:an m c(a因此数列an构成以aidC为首项，以C为公比的等比数列,dan 所以 c 1(aiSc1即:an (a1d 、 n 1 厂)c规律：将递推关系a n 1 cad化为an1亠 c(anc 1宀），构造成公比为C的等比数列h从而求得通项公式an1(a1)c 11逐项相减法

6、（阶差法）：有时我们从递推关系an 1 can d中把n换成n-1有an can1 d , 两式相减有an1 an c（an弘1）从而化为公比为C的等比数列1务,进而求得通项公 式.an 1 an 心2引），再利用类型（）即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列an中，q 1,an 2an1 1（n 2），求数列 可的通项公式解法一：Qan 2an1 1（n 2）, a. 1 2（a. 1 1）又Qa1 1 2, an 1是首项为2,公比为2的等比数列a. 1 2n，即 2n 1an1 1练习.已知数列an中，1 n1 2 n 2求通项an。答案:n2.形如：an 1 p an

7、q （其中q是常数，且n 0,1） 若p=1时，即：an1 an qn，累加即可.丄n 若P 1时，即：an1 P an q求通项方法有以下三种方向:i.两边同除以p1.目的是把所求数列构造成等差数列an 1 ann 1n即：P q(p)n,令 S器 b P ，则n 1 bn討，然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以1.目的是把所求数列构造成等差数列。即:an 1p an1n 1nqqqq,则可化为P1bn 1bnqq.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列1设 an 1 qP(annP）.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要

8、求q,否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an1 2an1，a1 1，求数列an的通项公式。解法（待定系数法）：设an 1i3n2（an 3 1），比较系数得14, 2 2 ,则数列an 4 3 1是首项为ai4 31 15，公比为2的等比数列,所以an4 3n 15 2n5 2n 1解法二（两边同除以1）:两边同时除以an 13n1 得:2 an43 332，下面解法略解法三（两边同除以1）：两边同时除以an练习.（2003天津理）设a0为常数，且an1 得:12an 1 (nN)4 T3） n3 2 ，下面解法略证明对任意n 1,且k 0)1) y).an】3n( 1)n1 2n (

9、 1)n 2nao5 ；3.形如an1 Pan kn b（其中k,b是常数,方法1:逐项相减法（阶差法）方法2 :待定系数法通过凑配可转化为（anxn y） P（an 1 x（n解题基本步骤：1、确定f(n)=kn+b2、设等比数列bn (an xn y)，公比为p3、列出关系式(an xn y) p(a. 1 x(n 1)y),即S PS 14、比较系数求小5、解得数列(an xn y)的通项公式6、解得数列an的通项公式例8在数列an中,a1 11 an 13an 2n，求通项an.(逐项相减法)解.an 1 3an 2n, n2 日寸an 3an 12(n 1)两式相减得an 1 an

10、3(an办a n 则 bn 3b利用类型5的方法知bn 5 32 即 an 1 an5 3n 1an再由累加法可得5 3n1212 .亦可联立解出例9.在数列an中，3a1,2an2an 1 6n 3,求通项a(待定系数法)解：原递推式可化为2(anxny) an 1 x(n 1) y比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn b所以an 6n 9S是一9(2)个等比数列，首项b| a1 6n2 ,公比为2 .1bjy 即：an故n19 (一)26n4.形如an 1pan2a n bn c(其中 a,b,c是常数，且a 0)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数

11、集的一 个函数。例10已知数列an满足an1 2an 3n2 4n 5,印1，求数列%的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a“ xn2 yn z)比较系数得X 3, y 10,z 18 ,所以 an 13(n 1)2 10(n 1) 1822(an 3n 10n 18)0，得 an 3n2 10n 1803(n 1)2 10(n 1) 18 2，故数列则也 2an 3n 10n 18an 3n2 10n 18为以 a1 3 12 10 1 181 3132 为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1，则an 2n 4 3n210

12、n 18。5.形如an 2 pan 1 qan时将a.作为f (n)求解分析：原递推式可化为aan1( P )(an 1an）的形式，比较系数可求得,数列an 1an为等比数列。例11已知数列an满足an 25an6an,a11,a22，求数列an的通项公式。角军：设 an 2 an 1(5)(an 1比较系数得3或2，不妨取2 ,（取-3结果形式可能不同，但本质相同）2 2an 13(a2an），则可1 2an是首项为4,公比为3的等比数列n 1n 1n 1an 12an4 3 ，所以 a.4 35 2练习数列an中，若a1 8，a2 2,且满足an 2 4a1 3an 0 求 an 答案.

13、an 113r四、迭代法an 1 pan（其中p,r为常数）型例12已知数列an满足an 1审1）2，冃5，求数列an的通项公式。3( n 1)2n解：因为an 1 an，所以由 a1 3 12 10 1 18 1 3132n（n 1）3n 1 n! h 又a15，所以数列an的通项公式为an 5。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13. （ 2005江西卷）1已知数列an的各项都是正数，且满足：ao 1,an 12an（4 an），n N，(1)证明an务1 2，n N; (2)求数列an的通项公式an.解:an 1（1）略（2）1 1 22an（4 an）2（an

14、2）4，所以 2（an1 2）（an 2）2令bn an 2,则 bnhn211bn22）21（1）2bn221222221 2n 1bn（2）即an1 2n 11 1 2 2n 2（2）n 12 nbn又bn二一1，所以2 bn 2 W1 2C 1 方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设cnbn，则Cn 2 n ,转化为上面类型(1)来解r五、对数变换法适用于an1 pan(其中p,r为常数)型p0，an 02 例14.设正项数列an满足a1 1 , an 2an1 (门2).求数列的通项公式.解：两边取对数得：log： 1 2 log V 1 , log；n 1 2

15、(log；n1 1)，设 bn log；n 1，则 bn 2bn 1 bn1n 1n 1ann 1ann 1是以2为公比的等比数列，b1 log 2 1 1bn 1 22, log 2 1 2 , log221 ,_2n 1 1. an 2练习数列an中，a1 1 , an 2詬二(n 2),求数列an的通项公式.2 22 n答案：an 2例15已知数列an满足an1 2 3n a5 , 3 7 ,求数列an的通项公式。解：因为 an1 2 3n a；,印 7，所以 a. 0, a. 1 0。两边取常用对数得lg an 1 5lg an n lg3 lg 2设 lg an 1 x(n 1) y

16、 5(lg a“ xn y)(同类型四)比较系数得，x空必4164由 lga1 lg3 1 lg3 192 7 !g3 1 lg3 192 o，得 曲门朋 必。,416441644164所以数列lg anlg3 必是以lg7四lg3 必为首项，以5为公比的等比数列，则41644164lg3nlg3lg2(lg7 lg3 lg3 lg2)5n1，因此41644164(lg7lg3lg3 lig2)5n 1 lg3n lg3lg24164 )4641 11n11ig(734 3诵24)5n 1 lg(3刁 3忑 24)Ig anIg an111n 11n 1|g(7 34 316 24)5 lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162)5n 4n 15n 1 1则 an751 3 162F六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列an满足a2aan,a1 1，求数列an的通项公式。解：求倒数得1 an丄an1an 111 1an2an 1-为等差数列