消元法解二元一次方程组的概念步骤与方法

1、消元法解二元一次方程组的概念、步骤与方法湖南 李琳 高明生一、概念步骤与方法：1. 由二元一次方程组中一个方程， 将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来， 再代 入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 . 这种方法叫做代入消元法，简 称代入法 .2. 用代入消元法解二元一次方程组的步骤： （1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未 知数的式子表示出来 .（ 2）把（ 1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（ 3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（ 4）把所求得的一个未知数的值代入（ 1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，

2、从 而确定方程组的解 .注意：运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0=0 ”的形式，求不出未知数的值 当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1 或1时，用代入法较简便 .3. 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.4. 用加减法解二元一次方程组的一般步骤 :第一步 : 在所解的方程组中的两个方程 , 如果某个未知数的系数互为相反数 ,?可以 把这两个方程的两边分别相加 ,消去这个未知数 ;

3、如果未知数的系数相等 ,? 可以直接把两个 方程的两边相减 , 消去这个未知数 .第二步 :如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等 , 那么应选出一组系数 （选最小公倍数较小的一组系数 ）, 求出它们的最小公倍数 （如果一个系数是另一个系数的整 数倍,该系数即为最小公倍数 ）, 然后将原方程组变形 , 使新方程组的这组系数的绝对值相等 （都等于原系数的最小公倍数 ）, 再加减消元 .第三步:对于较复杂的二元一次方程组 ,应先化简 （去分母,去括号 ,?合并同类项等 ）, 通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边 ,? 常数项在方程的右边的形式 ,再作如 上加减消元的考虑 .注意：当

4、两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便如果所给（列）方程组较复杂，不易观察，就先变形（去分母、去括号、移项、合并 等），再判断用哪种方法消元好 .5. 列方程组解简单的实际问题解实际问题的关键在于理解题意，找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个 ,正确的列出一个 （或几个 ）方程,再组成方程组6. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：设出题中的两个未知数； 找出题中的两个等量关系； 根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，并组成方程组； 解这个方程组，求出未知数的值.检验所得结果的正确性及合理性并写出答案 . 注意：对于可解的应用题，一般来说，

5、有几个未知数，就应找出几个等量关系，从而列出几个方程即未知数的个数应与方程组中方程的个数相等二、化归思想所谓转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、 未知问题向已知问题转化等等在解二元一次方程中主要体现在运用“加减”和“代入”等消元的方法，把 新问题“二元”或“三元”通过消去一个未知数转化为旧问题“一元”，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决，它也是解二元一次方程最基本的思想.三、典型例题解析：类型一：基本概念：X 2,例1、（2005年盐城大纲）若一个二元一次方程的一个解为y1则这个方程可以是（只要写出一个）分析：本题是一道开放型问题， 考查方

6、程的概念，满足题意的答案不惟一， 解此类题目 时，可以先设出系数在代入算出另一边的值。X 2,解：可以先设左边为 3x + 2y，然后将 y 1代入：3x + 2y求得其值为4,则可以得X 2,到符合题意的一个方程：3x + 2y = 4;也可以先设左边为 X y，然后将 y 1代入：X y求得其值为1，则可以得到符合题意的一个方程：X y 1 ;评述：利用概念解题是初中数学的基本要求，注意概念的内涵和外延是解题的关键，本题实质是考查方程组的解与方程的关系，从而转化为代数求值的问题类型二：用含一个字母的式子表示另一个字母13x y 已知22用含X的式子表示y ；用含y的式子表示X .分析：用一

7、个字母表示另一个字母时，应该按照解方程的方法步骤，逐步“剥离”出要 表示的字母并把它放在等号的左边，其他未知项、常数项则要统统移到等号的右边解：去分母，得X 3y 2移项，得3 y = 2 X.2 x系数化为1，得y = 33 .去分母，得，X 3y 2移项，得X 3 y + 2.评述：用含一个字母的式子表示另一个字母是代入法消元法的基础，同时也是消元思想的目的，即消去一元化为一元一次方程。类型三：消元法解二元一次方程组的两种类型2x y 5,例3、( 2007年山东青岛)X 3y 6分析：当一个未知数前的系数为1时，两种方法都比较简单。方法1.代入消元法解二元一次方程组由可得x = 3y+

8、6将代入得：2 (3y + 6)+ y = 5，解得：y = - 1，将y = - 1，代入得：x 3x 3,二原方程组的解是y 1-方法2.加减消元法解二元一次方程组3,得6x 3y 15.，得7x 21,x 3.把x 3代入，得2 3 y 5,y 1.x 3,二原方程组的解是y 1-评述：解二元一次方程组有代入消元法和加减消元法，一般是当可以比较容易的把一个未知数用含有另一个未知数的式子表示的时候，用代入消元法；否则可用加减消元法用代入消元法时，对用含有一个未知数的式子表示另一个未知数要特别细心.用加减消元法时，当两个方程相减时，要特别注意符号问题，这都是容易出错的地方另外,解二元一次方程

9、组是“化 归”思想的充分体现，要注意体会这种数学思想.考点四：列二元一次方程组解决实际问题：例4、为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池 ，第一天收集1号电池4节，5号电 池5节，总重量为460克，第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总重量为240克，试问1? 号电池和5号电池每节分别重多少克 ？分析：如果1号电池和5号电池每节分别重 x克，y克，则4克1号电池和5节5?号电池 总重量为4x+5y克，2节1号电池和3节5号电池总重量为 2x+3y克.解：设1号电池每节重x克，5号电池每节重y克，根据题意可得4x 5y 4602x 3y 240x 2-,得y=20把 y=20 代入,得 2x

10、+3 x 20=240,x=90x 90所以这个方程组的解为y 20答:1号电池每节重 90克,5号电池每节重20克.评述：列二元一次方程组解决实际问题一般需要般要遵循如下步骤审题；确定相等关系；设出未知数；解方程；检验、写出答案四、举一反三：A十丿-4,1、（ 2007江苏南京）解方程组 0-丿=工答案提示：+，得 H 解得.把心三代入，得：x - 3,:-原方程组的解是=12、（2007恩施自治州）团体购买公园门票票价如下：购票人以上每人门票（元）13元11元9元今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于 50人，乙团人数不超过100人.若分别购票, 两团共计应付门票

11、费 1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元.（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人.（2）求甲、乙两旅行团各有多少人？答案提示：（1 ）v 100 x 13= 1300<1392乙团的人数不少于 50人，不超过100人（2）设甲、乙两旅行团分别有x人、y人，则 += 1080解得：1.J-S4所以甲、乙两旅行团分别有36人、84人3、（ 1） （2006扬州）xy = 16,写出满足 x与y的值.sL（2） （2006烟台）在横线上，写出一个解为*三乂="=2的二元一次方程组：答案提示：这两个填空题以发散的形式考查方程（组）的概念和方程（组）解的定义

12、，它们的答案都不唯一 第（1题首先可想到 42= 16;第（2）题列两个含有1和2的等式，然后用x和y分 别代换1和2，并将它们联立起来，即可得到一个解为的方程组解：（1） x= 4, y = 2 或 x= 2, y= 4.（2） 归小2 =0. 1+2=3,2 X1-2=O.怎=LX十尸3 r4、以为解的一个二元一次方程组是丨Z-r=0-x+y=3 , 2x-y=0.定规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系图:方衽粗乗令解的需合若方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1，方程组2,方程组3,，方程组n.（1）将方程组1的解填入上图中；（2） 请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组

13、n和它的解直接填入集合图中;（3）若方程组b的值，并判断该方程组是否符合（2)中的规律？答案提示:的通式分别为通过两个集合代数式中项的上下数字的对比不难发现方程组和方程组的解b-如尸4岛1尸_（岔_丿，找到这个规律，问题就变的很简单了解：(1) 2,-1.20 十(-9,(3)由题意，得hOTb/解之得I it=l 1，Im心11 *11=- i.严+尸11卜亦尸ii,该方程组若为 L - -，：l'3'那么它符合(2)中的规律；若为-；-' 则不符合x2+ (n-1) x-n=0(1) 请解上述一元(2) 请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可 答案提示

14、：(1) <1><2><n>1 次方程 <1>、<2>、<3><n><3>(x+2)( x-1)(x+3)(x-1)(x+1)=0，=0，(x-1) =0， 所以 x仁-1， x2=1. 所以所以x1=-2，x1=-3，x2=1.x2=1.x1=-n ,共同特点是：都有一个根为1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等6、在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造，已知这项工程由甲程队独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做 10天，那么剩下的工程还需要两队合做<n>(2)(x+n)(x-1)=0，所以x2=1.5、已知下列n (n为正整数)个关于 x的一兀二次方程x2-仁0<1>x2+x-2=0<2>x2+2x-3=0<3>20天才能完成.(1) 求乙工程队单独完成这项工程所需的天数(2)