概率统计习题解

1、1.设Fi(x)与F2(x)分别是随机变量X与Y的分布函数，为使aFjx) - bF2(x)是某个随机变量的分布函数，则a,b的值可取为).25_ 3_ 23 A. a ,b = -51C. a ,b22a2a ,b =3-a,b2从这批产品中随意抽取 4个，求这4个产品中B.D.2. 一批产品20个，其中有5个次品，的次品数X的分布律.解：因为随机变量 X = 这4个产品中的次品数X的所有可能的取值为：0, 1, 2, 3, 4.且 PX =0=晖C20-910.2817 ；323C3 C1PX =1 = 15 5PX =4"CT一969CCf 70c20323C；5C；_ 10C

2、：0323C5C 1PX =2PX =30.0310 ；:0.2167 ；455 0.4696 ；C；0 一 96昇.0010.X01234p0.28170.46960.21670.03100.0010因此所求X的分布律为:3.如果X服从0-1分布,又知X取1的概率为它取0的概率的两倍,写出X的分 布律和分布函数解：设 Px =1 = p，贝U Px =0 =1 - p.2由已知，p=2(1-p)，所以p= 3X的分布律为:X01P1/32/3当 x ：0 时，F(x)二 PX ZX =0 ;1当 0 乞 x ：1 时，F(x)二 PX 岂 x二 PX =0：3当 x _1 时，F(x) =P

3、X mx =PX =0 PX =1 =1.X的分布函数为:0F(x)=彳1/31x:00_x： 1x 二 14. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个, 若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以 前，已取出不合格品数的概率分布解：设X=在取出合格品以前，已取出不合格品数.则X的所有可能的取值为 0, 1, 2，3.720匕0Px =13 77=10 93017 / 12Px =23 210 97 7»=8 120Px=33 2 171-r-r t10 9 8 7120所以X的概率分布为:Px =0=CnC53955

4、2210995200.2215 ；P x -1C13C39c5227417666400.4114 ；X0123P7/107/307/1201/1205.从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布 解：设X= 其中黑桃张数.则X的所有可能的取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5.P x = 2P x = 3=Px=45C52C13C3927417C5C52-99960C3C2133916302C5C52-199920C13C394290.2743；0.0815 ；39984 °.0107 ；G；c3933Px =5135390.0005.C5266640所以X的概率分

5、布为：X012345P0.22150.41140.27430.08150.01070.00056. 一家大型工厂聘用了 100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约 有4%的培训者不能完成培训任务求：(1) 恰有6个人不能完成培训的概率；(2) 不多于4个的概率.解：设X = 不能完成培训的人数.则X J B(100,0.04),(1) PX -6C1oq0.046 0.9694 =0.1052；4(2) PX 乞4=為 C1ooO.O4k 0.9610 -0.629 .k=07. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率假设你是使用方

6、，允许次品率不超过p=0.05，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品试求使用方风险 是多少？(假设这批产品实际次品率为0. 06).解：设X= 100个产品中的次品数，则X LI B(100,0.06),所求概率为 PX 乞3G寫(0.06)K(0.94)1004< =0.1430.K空8. 甲、乙两人各有赌本 30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博 .约定若出现 正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输 10元，乙赢10元.分别求投掷 一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数解：设X甲=投掷一次后甲的赌本 , X乙=

7、投掷一次后乙的赌本.则X甲的取值为40, 20,且PX甲=40 = PX甲=20 =1 , PX乙=10 = PX乙=30=-,2 2X甲4020p1/21/2所以X甲与X乙的分布律分别为:9.设离散型随机变量X的概率分布为:X乙1030P1/21/2（1）Plx =k4a2k, k =1,2J|,100；(2) PX =k = a2上，k =1,2, ，分别求(1 )、(2)中常数 a的值.100 , 100解: （ 1）因为 7 PX =k 丨為 a2k =1,k 1k 1100、所以-1）2（12 ） 即a1，1-2QOOO(3)因为 v pX 二 kl 八 a2± =1,kW

8、kW1即a1，所以a =1.1-1210. 已知一电话交换台服从彊=4的泊松分布，求：(1)每分钟恰有8次传唤的概率; (2)每分钟传唤次数大于 8次的概率.解：设X= 每分钟接到的传唤次数，则X LI P(')，查泊松分布表得(1) PX =8PX _8 -PX _ 9 =0.0511 -0.0214 ；(2) PX _8 =0.02136 .11. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出X的概率分布.解：X的所有可能的取值为1, 2, 3.C2610P"2点C；10C2Px = 3 = C3C5丄10所以X的概率分布为

9、:12.X123P6/103/101/10ax + b ,0 £ x c1设随机变量X的密度函数为f(x) = *其它0rPX，试求常数a和b.1a b03(ax b)dx 坯运P X1 (ax b)d4a -2b、3 丿 3,a b 4a 2b由183913.已知随机变量 X的概率分布如下,a 二-1.5,-1 00. 20. 250. 300. 252求Y = 3X1及Z = X2 1的概率分布.解：Y - -3X 1的所有可能的取值为 4，1，-2，-5.且 PY =4 = PX 二-1 =0.2 ；PY =1 =PX =0 =0.25 ；PY 二 -2 = PX =1 =0.

10、3 ；PY 二5 =PX =2 =0.25.所以Y =3X - 1的分布律为Y =<X +1-5-214P0.250.30.250.22Z二X1的所有可能的取值为1, 2, 5且 PZ T =PX =0 =0.25 ;PZ =2 =PX = -1 PX =1 =0.5 ;PZ =5 =PX =2 =0.25.所以Z =X 2 T的分布律为Z =X2 +1125P0.250.50.2514.服从柯西分布的随机变量E的分布函数是 F(x)=A+Barctanx ,求常数 A, B;P X <1以及概率密度f(x).解:二 1 F(-：)二 lim (A B arctan x)二 A B

11、 = 0 A ! f2 得！2二 1F( ：) =!im_(A Barctanx) = A ? B =1 B =-1 1所以 F (x) = arctan x ；2 兀PX ：1二P-1 ： x ：1 = F(1)F(-1) =0.5；1 1f(x) =F'(x)厂兀 1 +x215.设连续型随机变量 X的分布函数为0 , x ： 0F(x) =Ax ,0 乞 x ：11 , x -1求：(1)常数A的值；(2)X的概率密度函数f (x) ；( 3)P'X乞21解：(1)由 F(x)的连续性得 F(10) =F(1 0) =F(1)=1即 lim Ax2x 1 -=1，所以 A

12、 =1 ,20,F(x) = x ,1,x : 0x _1(2) f(x)二 F'（x）二 2x，I。，0 ： x : 1其他(3) PX< 2H F (2) = 1.16.设随机变量X的分布密度函数为4 f (x) = W1 - x20当 x : 1其它试求：（1）系数A ；（2）P1X<2 ；（3）X的分布函数F(x).解：（1）因为二匚f (x)dx1 a二dx = Aarcsin x21所以A =丄jif(上2-X0其它(2) P 112dx= 1 arcsi nxji1一 ；3(4)当 x -1 时，f(x) =PX Ex =0,x 1当 0 EX ：1 时，f

13、(x)二 PX Ex二"(1 -12dt 二丄 arcsinji1当 x -1 时，f (x)二 PX x二二吕dt"，0,X v-1所以F (x)Uarcsinx,1 兰x c12 n?-x£117.设随机变量XN(5, 4)，求a使:(1)px " = 0.903 ；（ 2）p|X 5>a =0.01.解:由 X N(5, 4）得X 一52-N(0,1)（1)px “=cX -5P <a _5f =a 56()=0.90322 J25查标准正态分布表得：1.3，所以=7.6 ；2(2)由 P<X 5 ao( = 0.01 得，p X

14、 5 va = 0.99所以 p X 5 £ = pG cX 5 £0(X - 5=P()-：(一)=2皿(一)-1 = 0.99I 222 j 222即:：（一）=0.995，查标准正态分布表得2.58，所以:=5.162 218.设 X N（10 ,22），求 P«0 ： X : 13 , P X -10 ： 2.X 10解：由 X N(10 ,22)得 N (0 ,1)2P10 ： X ：13?=P 0 :X 10|丁 w.5)n9934932 ；p X 10| <2 = P2 ex 10 £2X 10-P -11=：（1）-（-1）二2：（

15、1）-1 =2 0.8413 -1 =0.6826.219.某地8月份的降水量服从 "-185 mm, -28 mm的正态分布，求该地区8月份降水量超过250 mm的概率.解：设随机变量 X = 该地8月份的降水量,则 XL N(185,282)，从而L N(0,1)28所求概率为X _185250 185PX_250=P -85旦 =1 一门(2.32) =1 0.9898 =0.010228 2820.测量某一目标的距离时，产生的随机误差X(cm)服从正态分布 N(0, 400)，求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过 30 cm的概率.解：由 X U N(0,400)得 X

16、 L N(0,1)20设Y = 在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm的次数，则YU B(3, p)其中 p = PX c30=P30cX c30=P1.5cX £1.5-"(1.5) - 门(一1.5) =2(1.5) -1 =2 0.9332 -1 = 0.8664所以P3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过 30 cm = PY _1= P0 =C3)0.8664) 0.13320.997621. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数.解：由已知，x LIg(p)所以 P(X =

17、i) = p(1-p)i,i =0,1,21 川l|.22. 已知测量误差 X N(7.5,102), X的单位是mm，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于0. 9.解：设必须进行n次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于 0. 9.2 x _7 5由已知 X N(7.5,102), N(0,1)10设Y = n次测量中，绝对误差不超过10mm的次数，则丫口 B(n, p)其中 p=PX 叮0 =P X 乞 0.25 -：（0.25） =0.5987所求概率为PY _1 . 0.9，即PY=0乞0.1C°0.59870

18、0.4013 <0.1，解之得，n 一3必须进行3次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm的概率大于0. 9.23. 参加某项综合测试的 380名学生均有机会获得该测试的满分 500分.设学生的得 分XN（），二2），某教授根据得分 X将学生分成五个等级：A级：得分X_（）二）； B 级：乜 X : （亠；上：）；C 级：- ；）乞 X L ； D 级：（亠一2二）乞 X ：（-）； F级：X ：:（亠-2二）.已知A级和C级的最低得分分别为 448分和352分，则：（1）和二是多少？ （ 2）多少个学生得 B级？解：（1）由已知,; - 4481 -c -352，解之得一

19、400- - 48（2）pex ；八 P0: 1a= G（1）_：G（0） =0.8413 -0.5 =0.341324. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.解:X的所有可能的取值为 0，1，2，3.且 PX =0二1 ；2PX =2PX =3111222111x x22218 ；18 ；所以X的概率分布为X0123P1/21/41/81/8125. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（ min ）服从的指数分布.某顾客5在窗口等待服务，若超过 10

20、min，他就离开.若他一个月到银行 5次，求：（1） 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；求PY1解：(1)由已知，X E( ),YB(5, p)5110 10 1 一其中 P = PX 10 =1-PX 乞10 =1 - f(x)dx=1 - 耳5dx 二e八"5所以 Y 的分布为 PY =k pk(1 - p)5“= C5k(e，)k(1-e)5上,(k =0,1,2,3,4,5)；(2) pfY _1.；=1 PY =0 =C°(e)0(Ve)0.5167.26.设X E()，求Y =aX (a - 0)的概率分布解：因为 Y =g(X) =aX(a 0)所以 g'(x)=a 0,h(yH-,h'(yH1，而 fx(x)二 飞a a 10,fY(y)二 fx(h(y)山'(y)|= e丄=-e , (y -0)a aY = aX (a 0)的密度函数为0y _oy 027.假设你要参加在11层召开的会议，在会议开始前5 min你正好到达10层电梯口, 已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min之间的均匀分布.电梯运行一层的时间为10 s，从11层电梯口到达会议室需要20秒.如果你不想走