标准偏差与相对标准偏差公式..

1、标准偏差数学表达式：16n 值不应少于 20-30 个1n；S-标准偏差（ %） n-试样总数或测量次数，一般 i-物料中某成分的各次测量值，标准偏差的使用方法六个计算标准偏差的公式 1标准偏差的理论计算公式设对真值为 X 的某量进行一组等精度测量 , 其测得值为 l1、l2、 ln。令测得值 l 与该量真 值 X 之差为真差占 , 则有1 = l i - X2 = l 2 - Xn = l n - X我们定义标准偏差 （也称标准差 ）为1)由于真值 X 都是不可知的 , 因此真差占也就无法求得 , 故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差的常用估计贝塞尔公式由于真值是不可知的 , 在实际应用中

2、 , 我们常用 n 次测量的算术平均值来代表真值。理论上也证明 , 随着测量次数的增多 , 算术平均值最接近真值 , 当时, 算术平均值就是真值。于是我们用测得值 li 与算术平均值 之差剩余误差(也叫残差) Vi 来代替真差 , 即设一组等精度测量值为 l1、l 2、则通过数学推导可得真差 与剩余误差 V 的关系为将上式代入式 (1)有(2)式(2)就是著名的贝塞尔公式 (Bessel)它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当 时，,可见贝塞尔公式与 的定义式 (1)是完全一致的应该指出 , 在 n 有限时 , 用贝塞尔公式所得到的是标准偏差 的一个估计值。它不是总体标 准偏差。因此 ,

3、 我们称式 (2)为标准偏差 的常用估计。为了强调这一点 , 我们将的估计值用 “S ”表 示。于是 , 将式 (2)改写为(2')在求 S 时, 为免去求算术平均值的麻烦 , 经数学推导 (过程从略 )有于是 , 式(2')可写为按式 (2")求 S 时, 只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺 , 即标准偏差的无偏估计数理统计中定义 S2为样本方差数学上已经证明 S2是总体方差 2的无偏估计。即在大量重复试验中, S2围绕 2散布, 它们之间没有系统误差 。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差 的无偏估计 , 也就是说 S和 之 间存在系统

4、误差。概率统计告诉我们 , 对于服从正态分布的正态总体 , 总体标准偏差 的无偏估 计值 为(3)即 S1 和 S 仅相差一个系数 K,K是与样本个数测量次数有关的一个系数, K值见表计算 K 时用到(n + 1) = n n()(1) = 1由表 1 知 , 当 n>30 时 ,。 因此 , 当 n>30 时, 式(3')和式 (2')之间的差异可略而不计。在 n=30 50 时 , 最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当 n<10 时, 由于 K值的影 响已不可忽略 , 宜用式 (3'), 求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计

5、将 的定义式 (1) 中的真值 X 用算术平均值 代替且当 n 有限时就得到(4)式 (4) 适用于 n>50 时的情况 , 当 n>50 时 ,n 和 (n-1) 对计算结果的影响就很小了。2.5 标准偏差 的极差 估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大 , 不宜现场采用 而极差估计的方法则有运算简便 , 计算量小宜于现场采用的特点。极差用 "R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n 个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布 , 则maxl min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为S

6、3 称为标准偏差 的无偏极差估计 , d2为与样本个数 n(测得值个数 )有关的无偏极差系数 , 其 值见表 2由表 2 知, 当 n15时, 因此 , 标准偏差 更粗略的估计值为还可以看出 , 当 200n1000 时，因而又有(5")(5")显然 , 不需查表利用式 (5')和(5") 了即可对标准偏差值作出快速估计 , 用以对用贝塞尔公式 及其他公式的计算结果进行校核。应指出 ,式(5)的 准确度 比用其他公式的准确度要低 , 但当 5n15时,式 (5)不仅大大提高了计 算速度 , 而且还颇为准确 。当 n>10 时 , 由于舍去数据信息较多

7、 , 因此误差较大 , 为了提高准确度这时应将测得值分成四个或五个一组 , 先求出各组的极差 R1 、, 再由各组极差求出 极差平均值极差平均值 和总体标准偏差的关系为需指出 , 此时 d2 大小要用每组的数据个数 n 而不是用数据总数 N(=nK) 去查表 2。再则 , 分组 时一定要按测得值的先后顺序排列 ,不能打乱或颠倒。标准偏差 的平均误差估计平均误差的定义为误差理论给出(A)可以证明与 的关系为(证明从略 )于是(B)由式 (A)和式 (B)得从而有式(6)就是佩特斯 (C.A.F.Peters.1856) 公式。用该公式估计 值, 由于 right|Vright| 不需平方 故计算

8、较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞尔公式相似。标准偏差的应用实例 1对标称值 Ra = 0.160 < math > m < math > 的一块粗糙度样块进行检定 , 顺次测得以下 15 个 数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 m, 试求该样块 Rn 的平均值和标准偏差并判断其合格否。解： 1) 先求平均值2) 再求标准偏差 S若用无偏极差估计公式式 (5)计算 , 首先将测得的 , 15 个数据按原顺序分为三组 , 每组五

9、个 见表 3。表3组号l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.741.630.24因每组为 5 个数据按 n=5 由表 2 查得故若按常用估计即贝塞尔公式式 (2') , 则若按无偏估计公式即式 (3')计算 , 因 n=15 ，由表 1 查得 K = 1.018 , 则若按 最大似然估计 公式即式 (4')计算 , 则= 0.09296( < math > m < math > )若按平均误差估计公式即式 (6), 则现在用式 (5'

10、) 对以上计算进行校核可见以上算得的 S 、 S1、 S2、 S3 和 S4 没有粗大误差。由以上计算结果可知 0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即 S2 < S < S1 < S4 < S3可见 , 最大似然估计值最小 , 常用估计值 S 稍大 , 无偏估计值 S1 又大 , 平均误差估计值 S4 再 大 , 极差估计值 S3 最大。纵观这几个值 , 它们相当接近 , 最大差值仅为 0.01324 m。从理论上讲 , 用无偏估计值和常用估计比较合适 , 在本例中 , 它们仅相差 0.0017 m。可以相信 ,

11、 随着的增大 , S、S1、S2、S3 和 S4之间的差别会越来越小。就本例而言 , 无偏极差估计值 S3 和无偏估计值 S1 仅相差 0.0083 m, 这说明无偏极差估计是 既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。JJG102-89 表面粗糙度比较样块 规定 Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12% 17%,标准偏差应在标称值的 4% 12% 之间。已得本样块二产,产均在规定范围之内 , 故该样块合格。标准偏差与标准差的区别标准差 (Standard Deviation) 各数据偏离平均数的距离( 离均差 )的 平均数 ，它是离差平方 和平均后的方根 。用 表示 。因此，标准差 也

12、是一种平均数 。标准差是 方差 的算术平方根 。 标 准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如， A、B 两组各有 6 位学生参加同一次语文测验， A 组的分数为 95、85、75、65 、55、 45，B 组的分数为 73、72、71、69、68 、67。这两组的平均数都是 70，但 A 组的标准差为 17.08 分，B 组的标准差为 2.16 分，说明 A组学生之间的差距要比 B 组学生之间的差距大得多。标准偏差 (Std Dev,Standard Deviation) -统计学 名词。一种量度数据分布的分散程度之标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差

13、越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦 然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。有人经常混用均方根误差( RMSE )与标准差( Standard Deviation )，实际上 二者并不是一回事。1.均方根误差均方根误差为了说明样本的离散程度。均方根误差( root-mean-square error )亦称标准误差，其定义为 i1，2，3，n。在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示： 式中，n 为测量次数； di为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计分布是正 态分布，那么随机误差落在土 以内的概率为 68 。2.标准差 标准差是方差的算术平方根。 标准差能反映一个数据集

14、的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。均方根值也称作为效值 ，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为 100V 而 占空比为 0.5 的方波信号， 如果按平均值计算， 它的电压只有 50V ，而按均方根值计算则有 70.71V 。这是为什么呢？举一个例子，有一组 100 伏的电池组，每次供电 10 分钟之后停 10 分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10 电阻，供电的 10 分钟产生10A 的电流和 1000W 的功率，停电时电流和功率为零。那么在 20 分钟的一个周期内其平均功率为 500W ，这相当于 70.71V 的

15、直流电向 10 电阻 供电所产生的功率。而 50V 直流电压向 10 电阻供电只能产生的 250W 的功率。对于电机 与变压器而言，只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。PMTS1.0 抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的，不会 因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。均方根误差 为了说明样本的离散程度。对于 N1,Nm, 设 N=(N1+.+Nm)/m; 则均方根误差记作： bbs.itgoal.c om.F 6F!M n+t8Q5i.Y-mt=sqrt(N2-N12)+.+(N2-Nm2)/(m(m-1)；

16、比如两组样本：第一组有以下三个样本： 3，4，5第二组有一下三个样本： 2，4，6这两组的平均值都是 4，但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小， 方差就是表示这个的。同样，方差、标准差 (方差开根 ,因为单位不统一 )都是表示数据的离散程度的。 几种典型平均值的求法n 代表测(1)算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、 、x n 为各次的测量值，量次数，则算术平均值为2)3)均方根平均值对数平均值4)5)加权平均值相对标准方差的计算公式准确度： 测定值与真实值符合的程度绝对误差： 测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用 表示。相对误差： 绝对误差与真

17、值的比值称为相对误差。常用百分数表示。绝对误差可正可负， 可以表明测量仪器的准确度， 但不能反映误差在测量值 中所占比例， 相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例， 衡量相对误差更 有意义。例：用刻度 0.5cm 的尺测量长度，可以读准到 0.1cm，该尺测量的绝对误差 为 0.1cm；用刻度 1mm的尺测量长度，可以读准到 0.1mm，该尺测量的绝对误差 为 0.1mm。例：分析天平称量误差为 0.1mg, 减重法需称 2 次，可能的最大误差为 0.2mg, 为使称量相对误差小于 0.1%，至少应称量多少样品？答：称量样品量应不小于 0.2g 。 真值（）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不 可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠 的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。 精密度： 几次平行测定结果相互接近的程度。各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。偏差： 单次测量值与样本平均值之差：平均偏差： 各次测量偏差绝对值的平均值。 相对平均偏差： 平均偏差与平均值的比值。标准偏差： 各次测量偏差的平方和平均值再开方， 比平均偏差更灵敏的反映较大 偏差的存在，在统计学上更有意义。相对标准偏差（变异系数）