生活中的最优化问题

1、生活中的最优化问题新乡市一中 刘秀辉 初中生的数学学习过程，事实上是一个体验生活、不断积累生活经验的过程。数学课程 中许多问题的解决，实际上就是为学生创设一个或若干个选择的情境，让学生在模拟的实际 背景下学会解决问题，在解决问题的过程中学会“选择”。教师应尽可能多地为学生设置“真 实情景”的活动平台，使学生在对数学实际问题的探究活动中学会选择最佳解决方案。下面 是我在生活中的最优化问题的教学过程中，利用生活中的几个实际问题，引导学生学会 如何做出最佳选择的。一、创设问题情景，搭建“选择”平台 师：数学来源于生活。生活中许多实际问题可以转化为数学问题来解决，请同学们看大 屏幕，认真观察老师为大家

2、收集的几个生活中的问题，看这些问题背景材料有什么共同特点？背景材料 1：（人教版七年级上册教材 100页数学活动 1）一种笔记本售价为 2.3 元/本，如 果买 100本以上（不含 100 本），售价为2.2元/本。某班级要统一购买练习本，怎样购买才划算？背景材料 2：某地上网有两种收费方式 用户可以任选其一：（A）记时制：2.8元/时（B ）包月制：60元/月此外，每一种上网方式都加收通信费 1.2元/时。你能帮一位新上网客户策划一下选用哪种 收费方式？背景材料 3：为了使学生更多地了解牧野文化，新乡市一中七年级某班班主任带领学生准 备去牧野公园参观，参观门票是每张 20元，售票员告诉老师说

3、有两种优惠方式：一种是老师 免费，学生按 7. 25折优惠；一种是全体师生都按 7 折优惠。如果你是这个班的班主任，怎样购 买门票划算？背景材料 4：某市移动通讯公司开设了两种通讯业务： “全球通”使用者先缴 50元月租费， 然后每通话 1分钟，再付电话费 0.4元；“神州行”不缴月租费，每通话 1分钟，付话费 0.6元。如 果你的爸爸因为工作需要刚刚购买一部手机，你能帮他参考选用哪种收费方式吗？（同学们边看边小声议论，问题展示完毕，便有同学站起来回答老师的问题。）生 1：我认为这些生活的数学问题，都提供了多种方案，让我们做出选择。生 2：在选择这些实际问题的方案时要结合自己的实际情况，没有最

4、好，只有更好！ 师：同学们的见解很独到，很精彩！对问题的理解比较到位。让我们快行动起来，来探 究这些有趣的数学问题吧！二、实际问题探究，引领学生学会 “选择”（考虑到初一学生自主探究的能力比较薄弱，教师设计好一系列有梯度，有层次的问题， 为学生搭建几级台阶，从以上四个生活中常见的问题情景中选取两个和学生生活接近又具有代表性的问题：背景1和背景2,让学生在问题的牵引下，通过小组合作，自主探究，研究问 题的解决方案，积累数学经验，提高分析问题和解决问题的能力，让学生学会选择”。）背景材料1： 一种笔记本售价为2.3元体，如果买100本以上（不含100本），售价为2.2元/ 本。（此活动的开展由教师

5、引导学生从以下四个问题去探讨和解决。）师：请同学们列式表示买n本笔记本所需钱数（注意对n的大小要有所考虑）（问题提出，同学们分小组讨论稍许，便有同学发表自己小组的看法。）生3:分两种情况：当nW 10（本时，买n本笔记本所需钱数为2.3n元；当n>100本时，买 n本笔记本所需钱数为2.2n元。师：按照这种售价规定，会不会出现多买比少买反而付钱少的情况？（这个问题比较新鲜，有点挑战性，同学们讨论得比较热烈。）生4:哪有这样的好事！生活中都是买的越多付的钱越多，我们认为不会出现这样的现象。（该生话音刚落，马上遭到其他同学的反对，几乎是群起而攻之。）生5:真是少见多怪！生活中常出现这种事情，

6、岂不闻薄利多销”乎！经过我们小组研究会出现多买比少买反而付钱少的情况。比如：买100本需230元，而卖101本却只需222.2元。生6:我们小组通过计算，发现多买比少买反而付钱少的情况比较多，比如：买99本需227.7元，而买101本仅需222.2元，102本仅需224.4元，103本仅需226.6元。（看来同学对这问题已有所研究，但还不够透彻，需要进一步研究！）师:如果班级需要100本这种笔记本，你能有省钱的购买办法吗？说出来与大家共享。（此问题比较复杂，课堂上我们留给学生充分的活动时间，让学生在小组中探讨，研究， 发表自己的观点和看法。活动结束，每个小组派一名代表作中心发言。）生7:通过我

7、们小组研究，发现笔记本的购买数量直接影响着这次购买活动的结果。我们 采用了表格处理数据的方法，把有关数据统计如下表：买的本数单价（元）所需钱数992.3227.71002.32301012.2222.21022.2224.41032.2226.61042.2228.81052.2231从上表可以看出，能省钱的办法有四种，可购买101本、102本、103本或104本。但最省 钱的办法还是购买101本，这样做既可以达到目的，又最省钱。（精彩！分析全面，方法新颖，同学们给与了热烈的掌声。）生8:通过上表还可以看出购买99本练习本也可以做到省钱。生9:我们还发现购买98本、97本均能省钱，但少于97本

8、就不能省钱了。师：太好了！下面我们就来研究一下什么情况下购买能省钱，省钱的方案分别有多少种？ 请同学们以小组为单位，共同研究，一起分享。（这个问题是前一个问题的延续和补充，有利于学生深层次的研究此类问题，打开学生的 思维，为学生提供更为广阔的 选择”空间。学生继续开展小组活动，在前一问题的方法引导 下，很快结论浮出水面。）生10：仿照以上问题的解决方案，我们对有关数据通过表格进行了整理，发现：购买96本笔记本，没有省钱的办法；购买 97本可以做到省钱，办法是购买101本。同时，通过这个问 题的解决，我们还发现了购买98本、99本的省钱办法。购买98本的省钱办法有两种：购买101 本或102本；

9、购买99本的省钱办法有三种：购买101本、102本或者103本。买的本数单价（元）所需钱数962.3220.8972.3223.1982.3225.4992.3227.71002.32301012.2222.21022.2224.41032.2226.61042.2228.81052.2231（生10的回答已经比较圆满了，但同学们似乎对问题的解决还不够满意，小组内争论不 休，马上有人提出了自己组内同学们的建议。）生11：通过我们小组讨论，我们发现购买练习本的数量如果少于 97本，也有省钱的办法 比如要买96本练习本，我们可以和同学们商量看有没有人需要购买练习本，然后大家联营购 买，岂不是两全其

10、美之举吗？（太有创意了！教师内响起了热烈的掌声，同学们被这样的好点子折服了。教室内顿时 像一锅烧开了的水沸腾起来，各小组议论纷纷，同学们争相发表自己的看法。）师：同学们的想象力太丰富了！对问题的理解和处理让老师敬佩。如果对此题还有兴趣， 课后再去探究，并把你们研究的结果整理出来在全班交流。（以上四个问题层层深入，一级接一级，环环相扣，使学生的思维不断超越，符合学生思维发展的一般规律和特点。通过师生，生生之间的相互合作、搀扶，加深师生感情，在生活 中形成团结互助的良好氛围。 ）背景材料 2：某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一（A）记时制：2.8元/时（B ）包月制：60元/月此外，每一种上

11、网方式都加收通信费 1.2元/时。（通过对背景材料 1 的探索和研究，同学们具备了一定的对实际问题研究的能力，并能在 多种方案中做出优化选择。因此背景材料 2 的处理教师适当放手，利用多媒体出示问题，让同 学们在问题牵引下自主探究，然后小组派中心发言人在全班交流解决问题的办法。 ）问题1:如果设用户一个月上网时间为t小时，则A种方式和B种方式的费用各是多少？（问题 1 较为简单，学生思考片刻便有代表回答结果。）生 12：根据材料提供的信息，我们计算出两种上网方式的收费标准为：A 种方式的费用为： 2.8t+1.2t=4t；B 种方式的费用为： 60+1.2t。问题 2：如果某用户一个月上网 2

12、0小时选用哪种上网方式比较合算？（在问题 1 的引导下，问题 2的解决学生较为容易做出选择。）生13：知道上网时间，就可以利用问题1中的收费方式计算出A、B两种方式的费用，费 用少的就合算。当t=20 （小时）时A种方式的费用为：2.8t+1.2t=4t=80 （元）；B种方式的费用为：60+1.2t=84 （元）所以，上网20小时选用A种方式合算。问题 3：如果用户计划每个月 120元用于上网，选用哪种方式比较合算？（问题 3在前两个问题的基础上稍进一步，但有了前两个问题解决的过程和自身的生活经 验，同学们讨论稍许，便有了结果。）生 14：已知上网费用，可以通过上网时间的长短来判断选用哪种方

13、式比较合算。设上网 时间为t小时，由每个月上网费用为120元可得：A 种方式 2.8t+1.2t=4t=120t=30B 种方式 60+1.2t=120t=50所以，如果用户计划每个月120元用于上网，选用B种方式比较合算。 问题 4：如果你作为业务经理，请你为用户设计一个方案使用户能合理的选择上网方式。 （这是个有趣的问题，同学们颇有兴致。一个个劲头十足，跃跃欲试，讨论的热火朝天。 ） 生 15：通过以上两个问题的研究，我们发现选择上网方式的标准与上网时间密切相关， 所以用户选择上网首先要核算自己的上网时间，然后再作选择。具体标准如下：先计算上网多长时间的时候 A种方式和B种方式的费用相同由

14、 2.8t+1.2t=60+1.2t得：t 21结合问题 2和 3 的计算结果，可得选上网选择标准：如果上网时间约是 21 小时，则两种方式收费一样；如果上网时间超过 21小时，则选择 B 种方式收费一样；如果上网时间约是 21小时，则选择 A 种方式收费一样。（以上四个问题的设计由浅入深、由易到难，正反结合，理论与实践对接，旨在引导学 生加深对生活实际的认识，学习建立数学模型解决实际问题，并能参与实际问题工作的策划 和选择，进一步体会数学来源生活，服务于生活的基本理念。 ）三、回顾总结，形成经验师：通过这节课的学习，你有哪些收获？生 16：方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具。我们要学会利用一元一次方程 选择最优选择。生 17：数学来源于生活，应用于生活，我们从小就要树立学好数学的信心和决心。生 18：通过这节