第十四章幂级数习题课教材

1、1第十四章幂级数习题课疑难解析与注意事项1 如何求缺项幕级数的收敛半径？答：如果一个幕级数有无限多个项的系数为零这样的幕级数称为缺项幕级数,对这种幕级数，不能直接用公式lim n石=J lim电1 n存 W I严c|an|=P)常用方法是:1）进行变量替换将原幕级数变为一个无缺项的幕级数.计算出后一幕级数的收敛半 径，再根据两变量之间的关系得出原幕级数的收敛半径.例如幕级数二4?x:心2：2n，可令y2二x，化为幕级数/IP :i/I斗yn，而幕级数7-L yn的收n J 2n J 2敛半径为R = 2，从而当x ：2 时,原幕级数收敛，当x22时，原幕级数发散，由此推出原幕级数的收敛半径为R

2、= .2 2nX尹22n 2 丄4 ，Xn2?n当 jL ：1 时,即 X ：:2 , L4n卫2nX2收敛，则原来级数绝对收敛； 当 上 1时,42）对缺项幕级数需要按照类似于定理14. 2来求.2n n卫2例如求幕级数7 Xr （缺项幕级数）的收敛半径.对于幕级数7n兰2nX22n发散，则原来级数发散，所以收敛半径R = 2 2 .如何求幕级数的收敛域?答：1）首先求幕级数的收敛半径R ;2）写收敛区间-R, R ;3）讨论端点处的收敛性即讨论Z anRn，瓦an（-R）n的收敛性，如果两个都收敛,n n曲则幕级数的收敛域为l-R,R 1,如果两个都发散，则收敛域为 - R,R，如果其中一

3、个收敛,QOOO一个发散，则收敛域为-R,R）（送an（-R）n收敛），（-R,R（送anRn收敛）.n =0n=03 幕级数在 -R, R内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何?答：1）幕级数在 - R,R端点处可能收敛可能发散.n例如幕级数7 的收敛区间是n-1,1 ,在端点1处，级数a -发散，在端点-1处级nn数、收敛，收敛域是1-1,1.n2)如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛.nn、 在端点-1处是条件收敛，V 笃收敛域是一1,1 ,在端点1与一1处都是绝对收nn敛的.4幕级数与逐项求导逐项积分后幕级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗？n -1答：不一定，例

4、如 7 Xn收敛域为-1,1，但逐项积分和幕级数为、收敛域为0oOoO1-1,1 .设幕级数 7 anXn Q nanXna.n z0n z!n zQxn1收敛域分别是D, D1, D2，则有 D)- D - D2n+1如果一个幕级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性一般来说，逐项求导后，系数由an变为nan,不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由an变为一莹，不会使收敛区间端点处的收敛性n+1变坏.5.如何求幕级数的和函数？答：首先求出幕级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求幕级数的和函数：(1) 变量替换法一一通过变

5、量替换，化为一较简单的幕级数.(2) 拆项法一一将幕级数分拆成两个(或几个)简单幕级数的和.(3) 逐项求导法一一通过逐项求导得出另一幕级数，而此幕级数的和函数是不难求得 的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幕级数的和函数.(4) 逐项积分法一一通过逐项求积得出另一幕级数，而此幕级数的和函数是可以求得 的；然后再通过求导数，得到原幕级数的和函数.一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有n!，向ex的幕级数展开形式转化，系数含有 2n !, 2n-1 !向sinx,cosx展开形式转化.注意：上述运算过程在幕级数的收敛区间内总是可行的(而在幕级数的收敛域上却不一定可行).因此，我们一般

6、只限定在幕级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区 间上的和函数，而求幕级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左(右)连续性来求.还需指出，这里所介绍的方法， 仅仅是可供选择的几种途经.对具体问题，常常要综合 利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解.6如何利用幕级数求数项级数的和？Xo处的值.然后求出幕级答：选择合适的幕级数，使该数项级数为幕级数在某收敛点 数的和函数S x，则S xo便是原数项级数的和.7.如何求函数f在X。处的幕级数展开式？答：主要有以下两种方法：(1) 直接法.计算函数f在Xo处的各阶导数f(n)Xo，写出它的泰勒级数，然后证明lim

7、 Rp x =0.n_(2) 间接法.借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者 逐项求积等方法，导出所求函数色幕级数展开式.这是常用的方法.注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围.1.典型例题求幕级数的收敛域：2n1)(x-2)；;(2n -1 )!3)4)(1 -)xn ；2 n5)O A2n nx n 2解：1)由于?an“imM：n ；：2(n 1)!Sm (n!)2(n 1)2-，因此收n ；：(2n 2)(2n 1)4敛半径1R4 ,当x二4时，这个级数为密，通项记为un，则有Un(n!)24n(n !)222n(2n)!(2n)!2 4 6 2n 2n 1,

8、1 3 5(2n -1 )于是limn-C1为(74).=；3,所以当X = 4时级数7 (n!Lxn发散，从而可知这个级数的收敛域 (2n)!2)令t = X - 2，则级数f2n X2n -1V住可 转化为7 (缺陷幕级数)，(2n -1)!(2n-1)!丄2n 1 t -F面先求的收敛域，因为(2n -1)!limnt三i ，：，v 都收敛,(2n -1)!f2n 1(2n1)!(2n -1)!,2n 1t t2=lim0 1，即对任意j(2 n 1)2 n因此V 的收敛域为 -:：，：，因此的收敛域为(2n _1)!3)令t =x 1，则级数a 3卜2) (x 1)n转化为a 3回tn

9、，下面先求a 3(一2) tnn的收敛域,-3 ,所以收敛半径由于二nmn =吨因而级数2的收敛区间为(一1丄)331x3时，级数为3n+(2)打仃辽_1心13X肓时，级数为-11-1齐收敛，311 i 2 收敛(E 1 J.n.3收敛,敛域为3因为lim23:1)，11发散,n虾寄y发散，因此，的收nn级数(x 1)n的收敛域为汰仆2的解集，即_4)因为n 丄兰；1 + 丄 +1 Vn 1，又 lim 3n 1 = 1， n .2 nn所以”雪1 2 n 二1,从而收敛半径 R=1，又当时,1 1nd+j+ j(1)n 工0，11可见级数v (1)xn在X = -1时发散，故这个级数的收敛域

10、为2n(T,1) 1 15)法1：(将其看成不缺项的幕级数0xX20 x 4222设an2kn =2k -1n = 2k=limoC doO2n n二齐 Xanx ,nJ 应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幕级数的和函数n 4 1法2:令X2=t , Z -tn收敛半径为2,故r = J2 .n q4 2法3:(将其视为以x为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)limUn 1 (x)W Un(x)2 2.X X =limn :，： ： 22当1即X 运时幕级数收敛,2当x 、. 2时发散，故R T(应同时指出它们的收敛域 ):(1 )求幕级数n-的和函数;即收敛半径为R 2 ,收敛区间是-.

11、22 ,当x= 匚时，二x2n为n 2、 ：2n1发散，因此收敛域为 - J.2 . n 4 2n 1nF nn(2)求幕级数a 的和函数;nn +1qQ(3) 求幕级数nxnA的和函数;n 土(4) 求幕级数宀nxn的和函数；n 土(5)求幕级数2n 1X2n 1- 的和函数;:n(6) 求幕级数X的和函数；n# n(n +1)n(7) 求幕级数v 的和函数.n # n!注：应用：求幂级数的和函数思想：一般是通过逐项求导， 逐项积分向等比级数转化.（假如系数含有n!,向ex的展开形式转化，假如系数含有2n !, 2n-1 !向sinx,cosx展开形式转化）.必须的知识点:1)2)等比级数a

12、二丄壮 1丄x牛顿莱布尼兹公式ZL-首项、公比丿f tdt = f x - f a ;x3) a f t dt 二 f X 注意点:1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求f 0时必须要看级数展开式中第一项；例设f x =7 anxn，先看展开式中第一项是 a0，因此f 0 =a0 .常见错误，有些人把 0直接代通项，f 0 =一0=0 .n qQ设f x 八anxn，先看展开式中第一项是 a x，因此f 0 =0 .n :i3）涉及到除以x时，要讨论x为0不为0.幕级数求和函数步骤：求其收敛半径R和收敛域D .在收敛区间内求和函数.（利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法），（假如 系数含

13、有n!，向ex的展开形式转化，假如系数含有 2n !, 2n-1 !向si nx,cosx展开形式 转化）;收敛域若不是开区间，还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续.写出和函数，注明定义域D .解（1） 1）求收敛域；1叽： 叽，n =nimn1n =1 （或vm牛 vm:罗 可）；n收敛半径R =2 =1 ；收敛区间-1,1 ；nX=_1时，1一收敛；当X =1时，1发散.n丄 nn丄n因此收敛域为11,1.2）向等比级数转化;nOO xn1分析：因为等比级数系数为 1或（V ），而2 x的系数为-，要向等比级数转化必须要*2 nn把n抵

14、消，此题可以通过逐项求导就可以把n抵消.odxn 令f X八午，n 土 n在收敛区间 -1,1上逐项求导（注意幕级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）XX 1f Xtdt f 00 石dt1 nx , x. -1,1 .qQx = _1时，（若幕级数-anxn在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这n ：0一端点上右（左）连续.）f（一1）匕噌（X）匕唱+一1 n门一xI n2 .（2） 1）求收敛域;收敛域为1-1,1 .2）向等比级数转化;分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的n1抵消，但是只有xn 1的求导才能出现，而要除以x，就必须讨论x为0O xn 1 oO xn +n V

15、，必须要乘一个 x，除以一个 x, -1nm n +1X n 土 n +1不为0.当x =0时，f o严0匕:i n 1二育就会求出f x，下面求匕:i nn 1当x =0时,f X X-,(只需要求出n n 比 X n 士 n 十1:-n 1 J)nn 1令g x x，收敛域1-1,1在收敛区间-1,1上逐项求导.Xg X i= Yxnn 1xx tg x = g tdt g 0pdt=xIn 1 x , x-1,1 .X - -1 时，g _1 = lim g x = lim -x -In 1 -x =1-1 n2 .0x =0In 1 -x-x&1,0 J 0,1XIn2 -1x = 1

16、(3)收敛域为-1,1令f x 八nxn,n 1qQ对f X = nxn在-1,1上逐项积分;n 土xx 二 n 1二0 f t dt = o nt dt Xn 丄n -1Z _-X 1 X 2(4)解1 :收敛域为-1,1oOoof x nxn =x、nxn-1n n X2C-x2由于lim.n an =limn n 1 =1，且当x二1时，这个幕级数发散，所以幕级数的收敛域为(-1,1),oO设 f(x)八 nxn士OQoO状 nxn 1，令 g(x)八 nxn 4n 土n吕在(-1,1)上对 g(x)逐项积分得， g(t)dtntn dt =二 xn 口n =1nm1 -X所以 g(x)

17、=( 1)= J，从而 f (x)二1_X(1_x)(1_x)(5)讨论级数COZn _0x2n12n_1严因为 2n3，因为limX2n12n 12QO宀X1，即X1，即X1,工n2n +1发散,R =1，收敛区间为当:x2n 1发散,因此收敛半径-1,1，0ZnzQ 2 n 12n 1O0 A1都是发散级数，所以幕级数的收敛域n 0 2n 1O0 x2n +设 f(x)2，f(X)仝2nXn -0X 111 + x所以 f (x)dt = In1-1221 -x在逐项求导可得(X : 1)，(6)由 lim1二1知幕级数的收敛半径为n(n 1)R = 1.又X = 1时，级数均收敛,O0故

18、幕级数的收敛域为-1,1.令S(x)八,山 n(n +1)x -1,1则由于-X (-1,1)，有Xn 1QOXS(X)匚命 x zoO(xS(x)(n 1Xnm n(n 1):n二(xS(x)八(J 八n 3 nxn11 -X从而* (-1,1),有xx d t(xS(x) =(tS(t) dt =In(仁 x),1 txxxS(x) (tS(t) dtIn(1-t) d t = x (1 - x) In(1-x),于是1 _x S(x)“ In(1_x),-x (-1,1) 0.x而由S(x)的定义，S(0) =0 此外，当x = _1时，S(x)在x = -1处右连续,x =1处左连续.

19、故1 _ xln (1 _x) =1 _2l n2, x1 _ xS(1) = lim S(x)二 lim 1ln(1-x) =1.J 一xt-xS(-1) = lim S(x)二 lim综上知0,1 -xS(x) 1ln(1-x),xx =0;x -1,1) 0;1,x =1.(7)易求收敛域为：；：_=,：:- n八-1n=0 n!QO1)求级数v 2nx2n的和函数,n dn并求数项级数 7匚的和;nT 92)求级数彗1的和;心2方法：先选择适当的幕级数,使该数项级数是所选幕级数在某收敛点x0处的值，然后求出和函数S(x),则S(x。)便为所求之和.解(1)法 1:级数 a 2nx2n

20、的收敛域为 -1,12nx2n2nx2n4，令n AnTnTQO2n 4s(x)二 2nx ,n =1逐项积分X:0s(x)dx 八n =12X 2n1- 2nX2nx 一dx - x2 ,o1 x)将函数f xi = lnx展开成(x 1)的幕级数;n41 x3 两边求导,2得 s1(x7r2x2、2， -X )所以二2nxn 42n二 x$(x)=(12x2T11、2n覚叫)19(i-2 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便.法 2 令s(x) = 2x2 +4x4+6x6 + +2nx2n + ,-2nx2(n1)-468-x s(x)二-2x -4x 6x2(1x )s(x)46二

21、2(x x x2n丄、2XX )所以s(x)二,x -1,1 2x22?2 (1 - X )(2)作幕级数7互二!x2n， n三2n并设和函数为S x ,x:则 0s(x)dx 0n =1x2n -12n X2nddx1nxnd 2n2X(x = 0),X2两边求导，得S(x)2 x2珂士7,2 x2 )2(x :： 一2),因为X =1在收敛区间内，故用x=1带入上式得S(1)2n 14 求函数的幕级数展开式21)将函数f X二ex , ax, sin X2展开成x的幕级数;4)在X = 0处的泰勒级数展开式;求ln注意:看清要在哪点展开;确保得到的是幕级数;注出定义域.解：1)将X2视为一个整体，由ex的展开式可知eXW(x2)nn卫n!I 2nXn=0 n!类似地.： 1=、(x