空间直角坐标系

1、空间直角坐标系【学习目标】 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画 点的位置 . 通过表示特殊长方体 （ 所有棱分别与坐标轴平行 ）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公 式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系从空间某一定点 0引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点0叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如

2、果中指指向 z 轴的 正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 .3. 空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y， z）来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作 A（x， y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1. 空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标 .特殊点的坐标：原点 0,0,0 ； x, y,z轴上的点的坐标分别为x,0,0 , 0,y,0 , 0,0, z ；坐标平面xOy, yOz, xOz 上的

3、点的坐标分别为 x,y,0 , 0,y,z , x,0,z .2. 空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点 P x,y,z ，则有点 P 关于原点的对称点是 P1 x, y, z ；点 P 关于横轴 （x 轴） 的对称点是 P2 x, y, z ；点P关于纵轴（y轴）的对称点是F3 x,y, z ；点F关于竖轴（z轴）的对称点是F4 x, y,z ；点P关于坐标平面xOy的对称点是F5 x, y, z ；点P关于坐标平面yOz的对称点是F6 x, y, z ；点P关于坐标平面xOz的对称点是F7 x, y,z .要点三、空间两点间距离公式1. 空间两点间距离公式空间中有两点 A x

4、1 , y1 , z1 ,B x2,y2,z2 ，则此两点间的距离d |AB|'(为 X2)2 (yi y2)2 (乙 Z2)2 .特别地，点 A x, y, z与原点间的距离公式为 OAx2 y2 z2 .yi y2 ZiZ2,2_2. 空间线段中点坐标空间中有两点 A x1, y,z1 ,B x2,y2,z2 ，则线段AB的中点C的坐标为【典型例题】类型一：空间坐标系例1 在正方体 ABCD AiBiCiDi中，E、F分别是BBi、D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标 系，求点E、F的坐标。11 1【答案】E 1,0, , F -,-,122 2【解析】法一：如图，以 A为坐

5、标原点，以 AB , AD ,间直角坐标系，点 E在xOy面上的投影为B (1, 0, 0),1 i点E竖坐标为丄， E 1,0,丄。2 2F 2,2,i。F在xOy面上的投影为BD的中点G,竖坐标为1 ,Di ( 0, 1 , 1), B F为BiDi的中点，(1, 0, 0)法二：如解法一所建立空间直角坐标系, B1 (1, 0, 1),1,0,，.1,1。2 2E为BBi的中点， E的坐标为F的坐标为 2点评：本题主要考查空间中点的坐标的确定，关键是建立坐标系找到各个坐标分量。由于正方体的棱 AB , AD , AA i互相垂直，可以以它们所在直线为坐标轴建系。点的各个坐标分量就是这个点

6、在各个坐标 轴上的投影在相应坐标轴上的坐标。举一反三： 【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC DiAiBiCi是单位正方体，是BB 1的中点，求这个单位正方体各顶点和点N的坐标.【答案】O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (1 , 1 , 0), C ( 0 , 1 , 0), Di (0 ,1、1), Ai (1 , 0, 1), Bi (1, 1, 1), Ci (0 , 1, 1), N (1, 1 ,)。2例2 .在平面直角坐标系中，点P (x , y)的几种特殊的对称点的坐标如下：(1) 关于原点的对称点是 p/ ( x, y);(2) 关于x轴的对称

7、点是P"( x, y);(3) 关于y轴的对称点是P''' ( x , y).那么，在空间直角坐标系内，点P (x, y, z)的几种特殊的对称点坐标为: 关于原点的对称点是 Pi； 关于横轴(x轴)的对称点是P2； 关于纵轴(y轴)的对称点是P3； 关于竖轴(z轴)的对称点是 P4； 关于xOy坐标平面的对称点是 P5； 关于yOz坐标平面的对称点是 P6； 关于zOx坐标平面的对称点是 P7.【答案】(x, y, z) 笑(x, y, z)(x, y, z) (x, - y, z)(x, y, z) (一x, y, z) 炉(x, y, z)【解析】类比平

8、面直角坐标系，在空间直角坐标系有如下结论： Pi ( x, y, z尢 P2 (x, y, z); P3 ( x, y, z兀 P4 ( x, y, z); P5 (x, y， z); p6 ( x, y, z); P7 (x, y, z).【总结升华】上述结论的证明，可类比平面直角坐标系的方法加以证明：如P点关于原点的对称点 Pi,则有PPi的中点为原点。由中点坐标公式即可求出Pi点坐标.上述结论的记忆方法：“关于谁对称谁不变，其余的相反”，如关于x轴对称的点，横坐标不变，纵、 竖坐标变为原来的相反数；关于xoy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标相反.举一反三：【变式U (20i5春福

9、建厦门期末)在空间直角坐标系Oxyz，点P (i, 2, 3)关于xOy平面的对称点是()A . ( i, 2, 3) B . ( i， 2, 3)C . (i, 2, 3) D . (i， 2, 3)【答案】C【解析】空间直角坐标系中任一点P (a, b, c)关于坐标平面 xOy的对称点为R(a ,b , c)；由题意可得：点P ( i, 2, 3)关于xOy平面的对称点的坐标是(i, 2, 3).故选：C.【总结升华】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记 住某些结论性的东西将有利于解题.空间直角坐标系中任一点P (a, b, c)关于坐标平面 xO

10、y的对称点为P4 (a,b, c);关于坐标平面yOz的对称点为F5( a,b,c);关于坐标平面xOz的对称点为( a,b,c).类型二：两点间的距离公式例3.空间坐标系 Oxyz中，点A在x轴上，点B (i, 0, 2),且| AB | J5，则点A坐标为【思路点拨】根据点 A在x轴上，设点A (x, 0, 0),再由|AB| ,5结合空间两点距离公式，建立 关于x的方程，解得x值，从而得到点 A坐标.【答案】(0, 0, 0)或(2, 0, 0)【解析】点A在x轴上，可设点 A (x, 0, 0),又 B (i, 0, 2),且 | AB |-.5 , '.(X i)2 (0 0

11、)2 (0 2)2,5 ,解之得x=0或2，所以点A的坐标为：(0, 0, 0)或(2, 0, 0);故答案为：(0, 0, 0)或(2, 0, 0).【总结升华】本题给出 x轴上一点到空间两个已知点的距离相等，求该点的坐标，着重考查了空间两点的距离公式和含有根号的方程的解法.举一反三：【高清课堂：空间直角坐标系381528知识点3中的例题1】【变式1】在空间中，已知点 A(1,0, 1), B(4,3, 1)，求A、B两点之间的距离【变式2】(2016湖南衡阳模拟)四棱锥 SABCD中，底面边长为2,侧棱长为3, E是侧棱SC的中 点，建立如图所示的空间直角坐标系，试求点A、C、E的坐标.【

12、思路点拨】根据如图所示的空间坐标系，即可求出点A、C、E的坐标.【答案】E( 2,o,7)2 2【解析】四棱锥 S ABCD中，四边形 ABCD为正方形，SO丄平面ABCD , SO丄 AC,/ AB=2 , AO OC 2 ,/ SC=3, SOSC2 OC2 , 32 27 ,点 A( 2,0,0) , C( .2,0,0) , S(0,0, , 7),例4在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA丄PB1.1 1【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz ,设棱长为1，则人(1，0, 0)，B1 (1，1, 1)，P 2'2'1|A

13、P|由两点间的距离公式得叫,'4 4 4，|ABi1 11 J。/ |AP|2+|PBi|2=|ABi|2=2AP 丄 PBi.【总结升华】本例的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷又易行，方法的对照比 较，也更体现出了坐标法解题的优越性.依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，禾U用空间中两点间的距离公式可以求距离、证垂直、求角 度等，为我们提供了新的解题方法.举一反三:【变式1】如下图所示，已知PA丄平面 ABCD，平面 ABCD为矩形，M、N分别是 AB、PC的中点,求证：MN丄AB。【解析】如图所示，以 a为坐标原点，分别以标系，则 a (0, 0, 0),设 B (a, 0, 0), Da b cN(jr)。2 2 2a点，所以 M ( ,0,0),2方法一：连接anamnab、ad、ap所在直线为(0, b, 0), P(0,